泛函分析 05.04 共轭空间和共轭算子 - 自共轭的有界线性算子

§5.4自共轭的有界线性算子 

∙以下我们还是在Hilbert空间中讨论,A是从H到 

H的有界线性算子. 

1.在有限维空间,A=(a ij )的共轭算子(共轭转置矩阵)是 

A ∗ =(a ¯  ji )(H↦H的映射). 

2.在实的Hilbert空间,A=A ∗ ⇔a ij =a ji ,即A是对称的. 

∙我们考虑的问题: 

在Hilbert空间是否可以类似的考虑线性算子A的某种对称性? 

即:A和A ∗ 的关系. 

∙(5.3.11)式定义的A的共轭算子A ∗ 也是从H到H的有界线性算子, 

∙于是可以研究和比较A和A ∗ ,看它们是否相等? 

即它是否是自共轭. 

∗对称具有许多非常好的美学性质,自共轭是对称的一个直接推广. 

▼下面我们将看到,自共轭算子具有与对称矩阵相类似的许多性质, 

自共轭算子的谱(特征值)是相对简单的. 

5.4.1有界自共轭算子的定义、例 

定义5.4.1是A是Hilbert空间H到H的有界线性算子. 

如果A=A ∗ ,则称A是自共轭的. 

注1：由定义5.3.5,有界线性算子A是自共轭的,当且仅当 

(Ax,y)=(x,Ay),∀x,y∈H(5.4.1) 

注2：对于有界线性算子而言,自共轭算子也称为对称算子. 

例5.4.2令H=C n ,其上定义的内积为(x,y)=∑ i=1 n ξ i η i  ¯ ¯ ¯  , 

A是C n 到C n 的有界线性算子, 

A=(a ij ),i,j=1,2,⋯,n,Ax=z, 

其中x=(ξ 1 ,ξ 2 ,⋯,ξ n ),z=(ς 1 ,ς 2 ,⋯,ς n ),且 

ς i =∑ j=1 n a ij ξ j (i=1,2,⋯,n) 

对于∀y∈C n ,y=(η 1 ,η 2 ,⋯,η n ),由于 

(Ax,y)=∑ i=1 n (∑ j=1 n a ij ξ j )η i  ¯ ¯ ¯  =∑ j=1 n ∑ i=1 n a ij η i  ¯ ¯ ¯  =∑ j=1 n (∑ i=1 n a ij η i  ¯ ¯ ¯  )ξ j  

=∑ j=1 n (∑ i=1 n a ¯  ij η i ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ξ j =∑ i=1 n ξ i (∑ j=1 n a ¯  ji η j ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  =(x,A ∗ y), 

我们有A ∗ =(a ¯  ji )=(a ij ) ∗ ,即A ∗ 是A的转置共轭. 

A=(a ij ) n×n ,A ∗ =(a ¯  ji ) n×n  

因此A是自共轭的充分必要条件是矩阵(a ij ) 

和它的共轭转置矩阵(a ¯  ji )相等. 

注:如果在R n 中,A是自共轭的充分必要条件是矩阵 

A=(a ij ) n×n 是对称的. 

例5.4.3记H=L 2 (I),其中I⊂R是一个可测集合. 

k(s,t)是I×I→C的函数,满足 

∫ I ∫ I |k(s,t)| 2 dsdt<∞(5.4.2) 

K是L 2 (I)到L 2 (I)的线性算子,定义z=Kx,其中 

z(s)=∫ I k(s,t)x(t)dt(5.4.3) 

它的共轭算子K ∗ : 

(K ∗ y)(s)=∫ I k(t,s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(t)dt, 

注：条件(5.4.2)保证K从L 2 (I)到L 2 (I)是有界的. 

证明:对于∀y∈L 2 (I)由于 

(Kx,y)=∫ I [∫ I k(s,t)x(t)dt]y(s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ds 

=∫ I ∫ I [k(s,t)x(t)]y(s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dsdt 

=∫ I x(t)[∫ I k(s,t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(s)ds] ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt=(x,K ∗ y). 

因此 

(K ∗ y)(s)=∫ I k(t,s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(t)dt=∫ I k ∗ (s,t)y(t)dt, 

即K ∗ 也是积分算子,且k ∗ (s,t)=k(t,s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯   

注：积分算子K是自共轭算子的充要条件是 

k(s,t)=k(t,s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ,t,s∈I. 

例5.4.4在L 2 (−∞,∞)上考虑乘法算子 

F:x(t)→f(t)x(t), 

其中|f(t)|≤M<∞几乎处处成立. 

容易验证，F是有界线性算子且 

∥F∥=esssup t∈R |f(t)|=∥f∥ ∞  

由于 

(Fx,y)=∫ ∞ −∞ f(t)x(t)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt=∫ ∞ −∞ x(t)f(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt=(x,F ∗ y) 

即它的共轭算子F ∗ 也是乘法算子: 

F ∗ :y(t)→f(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(t). 

注：显然F是自共轭的,当且仅当f(t)是实函数. 

5.4.2自共轭算子的性质 

∗显然,若A和B是自共轭的,则A+B也是自共轭的, 

∗并且对于任何的实数α,αA也是自共轭的. 

▶进一步地我们有: 

定理5.4.5Hilbert空间H上的全体自共轭算子组成的 

集合是B(H)中的一个闭集. 

证明:考虑B(H)中的一个由自共轭算子A n 组成的点列 

A n →A(n→∞),A∈B(H). 

我们要证明A是自共轭的. 

即 

(Ax,y)−(x,Ay)=0,∀x,y∈H. 

由于A n 是自共轭的,我们有对∀x,y∈H 

|(Ax,y)−(x,Ay)| 

=|(Ax,y)−(A n x,y)+(x,A n y)−(x,Ay)| 

≤|((A−A n )x,y)|+|(x,(A n −A)y| 

≤2∥A n −A∥∥x∥∥y∥→0(n→∞), 

即(Ax,y)=(x,Ay),所以A是一个自共轭算子. 

注:全体自共轭算子组成实的赋范线性空间,但是在复的有 

界线性算子空间B(H)中,它不是B(H)中的子空间. 

定理5.4.6设A、B是Hilbert空间上的有界自共轭算子, 

则AB是自共轭的充要条件是AB=BA. 

证明:按照定义,AB是自共轭的⇔对于∀x,y∈H有 

(ABx,y)=(x,ABy). 

由于A、B是自共轭的, 

根据共轭算子的定义,我们有:对∀x,y∈H 

(ABx,y)=(Bx,A ∗ y)=(Bx,Ay) 

=(x,B ∗ Ay)=(x,BAy), 

即AB是自共轭的⇔AB=BA. 

定理5.4.7设A是Hilbert空间H上的有界线性算子, 

则A是自共轭的当且仅当对∀x∈H,(x,Ax)是实的. 

证明:(⇒)因为A是自共轭的,所以 

(x,Ax)=(Ax,x)=(x,Ax) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  . 

(⇐)如果(x,Ax)=(x,Ax) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  =(Ax,x),对于任何的 

x,y∈H,由直接计算我们有 

4(x,Ay)=(x+y,A(x+y))−(x−y,A(x−y))+i(x+iy,A(x+iy))−i(x−iy,A(x−iy)) 

=(A(x+y),x+y)−(A(x−y),x−y)+i(A(x+iy),x+iy)−i(A(x−iy),x−iy) 

=4(Ax,y), 

即A=A ∗ . 

定理5.4.8设A是Hilbert空间H中有界自共轭算子,则 

∥A∥=sup x∈H {|(Ax,x)|∥x∥=1} 

=sup x∈H,y∈H {|(Ax,y)||∥x∥=∥y∥=1}. 

证明：令α=sup{|(Ax,x)|∥x∥=1},因为 

|(Ax,x)|≤∥A∥∥x∥ 2 , 

所以α≤∥A∥. 

反之,对于任何的γ>0,由于(Ax,Ax)=(A 2 x,x), 

通过直接计算和应用平行四边形法则, 

4∥Ax∥ 2 =(A(γx+γ −1 Ax),γx+γ −1 Ax)−(A(γx−γ −1 Ax),γx−γ −1 Ax) 

≤α∥γx+γ −1 Ax∥ 2 +α∥γx−γ −1 Ax∥ 2  

=2α(γ 2 ∥x∥ 2 +γ −2 ∥Ax∥ 2 )(5.4.4) 

不妨设∥Ax∥≠0,令γ −2 =∥x∥∥Ax∥ ,由(5.4.4)式有 

4∥Ax∥ 2 ≤2α(∥Ax∥∥x∥ ∥x∥ 2 +∥x∥∥Ax∥ ∥Ax∥ 2 ) 

≤4α∥Ax∥∥x∥(5.4.5) 

于是我们有∥A∥≤α.令 

β=sup x∈H,y∈H {|(Ax,y)||∥x∥=∥y∥=1}, 

因为|(Ax,y)|≤∥A∥∥x∥∥y∥,所以β≤∥A∥, 

注意到α≤β,结合∥A∥≤α.有∥A∥=α=β. 

5.4.3Cartesian分解 

∙对∀z∈C,可分解为:z=a+bi,其中a,b∈R. 

▶类似地: 

定理5.4.9设H是一个Hilbert空间,T∈B(H),则 

T可分解成 

T=A+iB,(5.4.6) 

其中A、B是Hilbert空间中的有界自共轭算子,并且 

这种分解是唯一的. 

证明:令 

A=12 (T+T ∗ ),B=12i (T−T ∗ )(5.4.7) 

显然A=A ∗ ,B=B ∗ ,即A、B是有界自共轭算子,且 

T=A+iB,T ∗ =A−iB(5.4.8) 

可以证明这样的分解是唯一的. 

事实上,若T=A 1 +iB 1 ,其中A 1 、B 1 是自共轭的,于是有 

A−A 1 =i(B 1 −B), 

这样对于∀x∈H,有 

((A−A 1 )x,x)=(i(B 1 −B)x,x)=i((B 1 −B)x,x). 

由于A−A 1 和B−B 1 是自共轭的,上式左边是实的, 

右边是纯虚数(如果不是0). 

于是 

((A−A 1 )x,x)=i((B 1 −B)x,x)=0,∀x∈H, 

由于A−A 1 和B−B 1 是自共轭的,根据定理5.4.8有 

A−A 1 =B−B 1 =0. 

注：(5.4.6)式给出的分解T=A+iB,其中A、B是 

Hilbert空间中的有界自共轭算子,称为T的Cartesian分解.