Part 3 中值定理與導數應用

中值定理與導數應用

• 1. 理論準備
  • 1.1. 極值
  • 1.2. 極值點的性質
    • 1.2.1. 費馬定理
    • 1.2.2. 極值點性質定理
• 2. 中值定理
  • 2.1. 羅爾的思考
    • 2.1.1. Rolle定理
    • 2.1.2. Rolle定理的幾何意義
  • 2.2. 拉格朗日
    • 2.2.1. Lagrange的幾何構造意義
    • 2.2.2. Lagrange定理
    • 2.2.3. 對拉氏構造的幾何分析
  • 2.3. 投機取巧的柯西
    • 2.3.1. Cauchy定理
  • 2.4. 中值定理的關系
• 3. 洛必達與未定式的極限
  • 3.1. 分析
  • 3.2. \(\mathscr{L'H}\hat{o}pital\;\frac{0}{0}\)
  • 3.3. \(\frac{\infty}{\infty}\)型
  • 3.4. 可以洛之後的極限求算小結
  • 3.5. 其他未定式極限
    • 3.5.1. \(0\cdot\infty\)
    • 3.5.2. \(\infty-\infty\)
    • 3.5.3. \(1^\infty\)
    • 3.5.4. 指數型未定式
  • 3.6. 洛必達的一個使用誤區
  • 3.7. 數列極限未定式
• 4. 導數的應用
  • 4.1. 羅爾定理的應用
    • 4.1.1. 證明方程根的存在性
    • 4.1.2. 用于證明含有\(\xi\)的等式
  • 4.2. 拉格朗日定理應用
    • 4.2.1. 拉格朗日定理的幾種形式
    • 4.2.2. 拉氏定理的應用
      • 4.2.2.1. 單調性定理：
      • 4.2.2.2. 證明不等式
      • 4.2.2.3. 極值的判斷
      • 4.2.2.4. 求函數單調區間與極值的步驟
  • 4.3. 數學模組化初步
    • 4.3.1. 求一進制函數的最大值和最小值
• 5. 泰勒公式
  • 5.1. 引入
  • 5.2. 定理描述
  • 5.3. 五個函數的麥克勞林展開式
  • 5.4. 泰勒公式的應用
    • 5.4.1. 在數值分析中的應用
    • 5.4.2. 證明不等式
    • 5.4.3. 證明含有\(\xi\)的等式
  • 5.5. 帶Peano的Taylor公式
    • 5.5.1. Peano餘項Mac公式應用
    • 5.5.2. 兩種泰勒公式的比較
• 6. 曲線作圖
  • 6.1. 函數的凹凸性與拐點
    • 6.1.1. 凹凸性
    • 6.1.2. 拐點
  • 6.2. 漸近線
  • 6.3. 函數作圖的步驟
  • 6.4. 曲率

1. 理論準備

預備：閉區間上連續函數的最值定理。

問題：這些最值點在哪裡？

• \(1^。\)先找懷疑點。畫出圖形之後，直覺的懷疑點出現在閉區間端點和峰、谷。
• \(2^。\)給出以上猜想的數學描述。
• \(3^。\)查漏補缺。
• \(4^。\)計算這些可疑點的函數值。進而得出結論。

1.1. 極值

定義：設對函數\(f(x),\exists x_0\in D(f),\delta>0\,s.t.U(x_0, \delta_0)\subset D(f),\exists 0<\delta_0 < \delta,\)當\(x\in U(x_0, \delta_0)，\)都有\(f(x)\leq f(x_0),\)就稱\(f(x_0)\)是極大值，\(x=x_0\)為極大值點。

這裡的模糊不等關系，使得\(y=C\)上處處是極大極小值，條件更弱，進而有更多的極值點，使用可能更廣泛。

補充定義：極大值和極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點。

• 說明：由于定義中使用了鄰域的概念，進而排除了區間兩個端點的可能性。即：極值點一定出現在函數定義域的内部。以下我們研究的就是“峰”和“谷”。

1.2. 極值點的性質

盡管我們找到了對這些概念的數學描述，但找到這些可疑點還需要再走出一步，這一步就是對極值點性質的研究。

1.2.1. 費馬定理

通過作出圖像，以及我們看出的這些“峰”“谷”處的切線，我們大膽猜想，這些地方的導數值為零。

這個想法即為費馬定理:

若\(f(x)\)在\(x=x_0\)處取到極值且\(f'(x_0)\)存在，則\(f'(x_0)=0\)。反之不成立（存在非極值點的駐點）。

進而這個定理又稱為取到極值的必要條件。

• 證明：由\(f(x)\)在\(x=x_0\)處取到極值，不妨設\(f(x)\)在\(x=x_0\)處取到極大值，即\(\exists\delta_0>0, x\in U(x_0, \delta_0),f(x)\leq f(x_0)\Leftrightarrow f(x) - f(x_0)\leq 0,\)由\(f'(x_0)\)存在，即\(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0},\)由引理得\(f'_-(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0.f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0.\)故而\(f'(x_0)=0.\)

引理：(保号性)若\(\exists\delta_0>0,\)當\(x\in U_0(x_0, \delta_0)\)時，都有\(f(x)\leq g(x),\)且\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A.\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B，\)則\(A\leq B\)

若\(f(x)\)在\(x=x_0\)取到極值：

1. \(f'(x_0)\)存在，則\(f'(x_0)=0.\)
2. \(f(x)\)在\(x=x_0\)處不可導。

進而我們有：

1.2.2. 極值點性質定理

• （定理）極值點一定包含在區間内部的駐點或内部導數不存在的點之中。這些點一定在定義域内。

綜合起來，我們對最值的懷疑點有了相對明确的了解：一定在端點或區間内部的駐點或者内部不可導點中。

那我們既然已經了解了最值點的性質了，為什麼還要研究極值點呢？

畢竟隻是閉區間上可以有這樣的好性質。隻要有一邊是開，最值點的性質就無用武之地了。

例題略：關于閉區間上求最值的主要步驟：

1. 求導
2. 尋找可疑點（端點，内部兩類點）
3. 比較可疑點的值，得出答案。

2. 中值定理

重大的科學成就，無往不是站在巨人的肩膀上做出的。有些時候，還是很多人站在同一個人肩膀上……

2.1. 羅爾的思考

函數具有什麼樣的性質，才能使得\(f'(x)=0\)有一個根？

1. 首先要使得\(f(x)\)上有最大最小值：\(f(x)\in C[a, b]\)
2. 對于常值函數必成立，另外為了保證非常值函數的兩個最值至少有一個不在端點處取得：\(f(a)=f(b)\)（否則為常值函數）故而\(\exists\xi\in(a, b)\,s.t.f(\xi)=M\)為極大值。
3. 還需要排除不可導的情況：\(f(x)\in D(a, b)\)

2.1.1. Rolle定理

若\(f(x)\)定義在閉區間\([a, b]\)上，

1. \(f(x)\in C([a,b]),\)
2. $ f(x)\in D(a, b),$

3. $ f(a)=f(b),$

   則至少存在一點\(\xi\in(a, b)\)使得\(f'(\xi) = 0.\)

• 證：由\(f(x)\in C[a, b]，\)則\(f(x)\)在\([a, b]\)上一定能取到最小值\(m\)與最大值\(M\)且\(m\leq M\)：
  1. \(m=M,\)即\(\forall x\in[a, b]m\leq f(x)\leq M = m,\)故而\(f(x)=m,x\in[a, b].\Rightarrow f'(x)=0.\forall\xi\in(a, b),f'(\xi)=0\)
  2. \(m<M，\)由\(f(a)=f(b),\)最小值\(m\)與最大值\(M\)至少有一個在\((a, b)\)内取到，不妨設\(\exists\xi\in(a, b)\,s.t.f(\xi)=m\)是極小值，且\(f'(\xi)\)存在，由費馬定理\(f'(\xi)=0.\)

2.1.2. Rolle定理的幾何意義

幾何意義，閉區間\([a,b]\)上處處連續，且在\((a, b)\)内部曲線的切線處處存在、不平行于\(y\)軸，而且兩端點函數值相等，則在曲線内部存在一點\(\xi, f(\xi),\)在該處的切線平行于\(x\)軸。通俗地說，離開這條線，想要再回來肯定會回頭，這個思想是拉格朗日中值定理的基礎。

2.2. 拉格朗日

怎樣減弱羅爾的條件限制？

1. 連續必然保留。否則沒有最大最小值。
2. 可導。導數是研究的工具，沒有導數怎樣描述函數性質。
3. 隻能去掉\(f(a)=f(b)\)那麼就不一定能保證必有\(f'(\xi)=0\)了。但拉格朗日畢竟是拉格朗日，總能想到點新辦法······

2.2.1. Lagrange的幾何構造意義

去掉\(f(a)=f(b)\)那隻能自己創造這個相等咯。轉換坐标系。（第35講16min）

2.2.2. Lagrange定理

若\(f(x)\)在閉區間\([a, b]\)上滿足下面兩個條件：

1. \(f(x)\in C[a, b]\)
2. \(f(x)\in D(a, b)\)

則至少存在一點\(\xi\in(a, b)\,s.t.f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

證：要證存在\(\xi\in(a, b)\,s.t.f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

隻要證\(f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\)成立（把式子移到等式一邊進而構造羅爾定理的條件）。

隻要(利用積分)\(F(x)=f(x)-\frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x+C)\)在\(x=a, x=b\)處有\(F(a)=F(b)\)，為了消解分式結構，我們最好取\(C=a或C=b.\)不妨取\(C=a，\)那麼我們有\(F(a)=F(b)=f(a).\)

那麼我們索性構造\(G(x)=F(x)-f(a)\)由\(G(x)\in[a, b],G(x)\in D(a, b),G(a)=0, G(b)=0,\)結合Rolle定理得\(\exists\xi,G'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,\)即\(f(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\)

2.2.3. 對拉氏構造的幾何分析

如上的\(G(x)\)就是曲線減去弦所在的直線。

拉氏定理的意義即是，開區間對應的曲線上存在\(\xi\,s.t.f(\xi)=k,\)其中\(k\)為割線斜率。

2.3. 投機取巧的柯西

在微分中值定理的條件已經幾乎無法減弱的時候，柯西将\(x,y\)看作參數方程，進而構造出更加一般的情形。

2.3.1. Cauchy定理

參數方程

\[\begin{cases} x=g(t),\\ y=f(t). \end{cases}\]

确定函數\(y=y(x)\)滿足的拉氏條件，\(k_{AB}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)，進而利用拉格朗日定理的形式猜結論，寫證明。

定理内容：若\(f(x),g(x)\)滿足下面兩個條件：

1. \(f(x), g(x)\in C[a, b]\)

2. \(f(x), g(x)\in D(a, b),g'(x) \not=0\)

   則至少存在一點\(\xi\in(a, b)\)使得\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)

   證：令\(F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}-f(a),F(x)\in[a, b],F(x)\in D(a, b),F(a)=F(b)=0.\exists\xi\in(a, b)\,s,t,F'(\xi)=0，\)而\(F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x),\)且\(g(x)\not=0\)故而得到\(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\)

2.4. 中值定理的關系

羅爾定理\(\xrightleftharpoons[特例]{推廣}\)拉格朗日定理\(\xrightleftharpoons[特例]{推廣}\)柯西定理

從左向右，普遍性增強。

從這個關系上說，能用羅爾、拉格朗日定了解決的問題肯定可以直接代入柯西求解，但更多地，我們會使用到前兩個，因為不一定需要那麼一般的結論。

能用拉格朗日、柯西定了解決的問題，一定能通過構造函數再利用羅爾定了解。這在一些故意挑事的題目裡面是很常見的。

3. 洛必達與未定式的極限

3.1. 分析

\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\Big(\frac{0}{0}型\Big)\)

分析知，\(x=x_0\)點處至少為一個可去間斷點。

\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0.\)

但這樣的條件都局限在去心鄰域之上，進而我們應該考慮補充定義：

令

\[F(x)=\begin{cases} f(x),&x\not=x_0\\ 0, &x=x_0\\\end{cases} \]

\[G(x)=\begin{cases} g(x),&x\not=x_0\\ 0,&x=x_0\end{cases} \]

要求\(F(x), G(x)\)在\([x_0, x](x_0 < x)\)或\([x, x_0]\)上連續，在\(U_0(x_0,\delta)\)内可導，且\(G'(x)\not=0\)即\(\exists\delta > 0,\)當\(x\in U_0(x_0,\delta)\)時，\(f'(x),g'(x)\)存在且\(g'(x)\not=0\)

如果再有\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\Big/\infty，\)

\[\begin{aligned} &\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\\=&\lim\limits_{x\to x_0}\frac{F(x)-0}{G(x)-0}\\=&\lim\limits_{x\to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}\\=&\lim\limits_{x\to x_0}\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}(\mathscr{Cauchy}定理)\\=&\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\=&\lim\limits_{\xi\to x_0}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}(特殊路徑的趨近)\\ =&\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\Big/\infty \end{aligned}\]

分析知，如果以上的條件不完全滿足，仍然有可能使得特殊路徑的趨近成立。

3.2. \(\mathscr{L'H}\hat{o}pital\;\frac{0}{0}\)

由上述的分析，我們将這個法則總結如下：

若：

1. \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0\)（簡潔的兩者相除能作為割線（原點線）斜率，是原點處切線<第一個等号>能作為原點線極限的基礎）
2. \(\exists\delta > 0, x\in U_0(x_0,\delta)\)時，\(f'(x),g'(x)\)存在且\(g'(x)\not=0\)（還要導數除式在\(x=x_0\)一點連續，保證轉移過程是一個趨近，其中每一步都可以是未定式，進而可以多次洛必達）
3. \(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=A\Big/\infty\)（保證\(u'\)确實有極限，可以轉移原式的結果）

則\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\Big/\infty.\)

• 注意：洛必達法則是一個充分條件。邏輯上可以假設我們找到了一對均可導但是導數劇烈震蕩以至于沒有比值極限的函數，但它們經由特殊路徑\(\xi\)能趨近一個值。（這一點存疑，應該不能）

補充：一個減弱版：若\(f'(x_0),g'(x_0)\)均存在（這時隻需要這兩個函數在這一點可導），那麼\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}.\)

上式中\(x_0\)為常數，\(x\to x_0\)改成\(x\to x_0^-, x\to x_0^+, x\to\infty, x\to+\infty, x\to-\infty\)将相應的條件改變，結果依然成立。

以\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\Big(\frac{0}{0}\Big)\)為例，

\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(\frac{1}{t})}{g(\frac{1}{t})}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f'(\frac{1}{t})(-\frac{1}{t^2})}{g'(\frac{1}{t})(-\frac{1}{t^2})}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f'(\frac{1}{t})}{g'(\frac{1}{t})}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\Big/\infty.\)

3.3. \(\frac{\infty}{\infty}\)型

由于我們并不知道\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}\)的值，進而不能簡單地化到\(\frac{0}{0}\)型。詳情見數分PDF.P204

3.4. 可以洛之後的極限求算小結

1. 如果有幂指函數，均可歸入\(\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}\)型。過程或繁或簡。
2. 一般方法是洛必達法則。
3. 不要悶頭洛到底，謹注意結合等價量替換、分步極限（允許乘式中的不為零的因式先取定極限值）、加減拆項等方法簡化計算。
4. 使用套娃法洛的過程當中，要時刻注意洛必達的條件是否還滿足：去心鄰域可導，最終導數之比有極限。

• 對于\(\frac{\infty}{\infty}\)如果根式多，或者多次仍不能發現導數之比時，就不用洛必達，這一類往往可以借鑒抓大放小的思想來解決。
• \(n\)階可導函數可以洛到出現\(n-1\)階導數，\(n\)階連續可導函數可以洛到\(n\)階導數。這個結論是洛必達法則第二個條件的必然要求。

3.5. 其他未定式極限

3.5.1. \(0\cdot\infty\)

\(\lim\limits_{x\to0^+}x^a\cdot\ln x(a>0, 常)\)

\(=\color{#FF0000}{\lim\limits_{x\to0^+}}x^a\cdot\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=0\cdot\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=0?\)

這是一個典型錯誤，不僅是對沒有極限的兩個部分進行拆解，還錯誤以為\(0\cdot\infty=0.\)

解：原式\(=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x^{-a}}\xlongequal{洛}\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-ax^{-a-1}}=-\frac{1}{a}\lim\limits_{x\to0^+}x^a=0.\)

3.5.2. \(\infty-\infty\)

直接通分，化成洛必達結構。

例 \(\lim\limits_{x\to0}\big(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\big)=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}\xlongequal{洛}\frac{e^x-1}{2x}=\frac{1}{2}\)

3.5.3. \(1^\infty\)

利用\(f(x)\to0,\)則\(\lim\limits_{x\to x_0}[1+f(x)]^{\frac{1}{f(x)}}=e.\)一個更好的思路是\([1+f(x)]=e^{f(x)}\)

3.5.4. 指數型未定式

\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}\Big(1^\infty,\infty^0, 0^0\Big)\)

• 關于這幾個為什麼是未定式的分析：

原式\(=\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\),這三種未定式分别對應\(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty},\frac{\infty}{\infty}\)

類似的，\(0^\infty\)不是未定式。

幾個很好的例題：

• \(0^0\)型：

  \(\lim\limits_{x\to0^+}(\sin x)^x=e^{\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln\sin x}=e^{\lim\limits_{x\to0^+}\sin x\ln\sin x}=e^{\lim\limits_{t\to 0^+}t\ln t}=e^0 = 1.\)(利用了\(\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\))

• \(\infty^0\)型

  \(\lim\limits_{x\to 0^+}(\ln\ln\frac{1}{x})^x=e^{\lim\limits_{x\to0^+}x\ln(\ln\ln\frac{1}{x})}=e^{\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{\ln\ln\ln t}{t}}=e^{\lim\limits_{t\to+\infty}}\frac{1}{\ln\ln t}\frac{1}{\ln t}\frac{1}{t}=e^0=1.\)

3.6. 洛必達的一個使用誤區

例 \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x-\sin x}{x+\cos x}\xlongequal{洛}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-\cos x}{1-\sin x}\)

等号後的式子沒有極限。但這并說明原式無極限，而隻能說明不能用洛必達法則。

這個問題，代表了\(\frac{\infty}{\infty}\)不可消除的一類，應當使用抓大放小的思想

3.7. 數列極限未定式

求\(\lim\limits_{n\to\infty}f(n)\)（未定式），如果\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A\Big/\infty,\)則\(\lim\limits_{n\to\infty}f(n)\)（未定式）\(=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A\Big/\infty.\)

但是，如果\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\)極限不存在，那麼\(\lim\limits_{n\to\infty}f(n)\)需要使用其他方法求解。

例 \(\lim\limits_{n\to\infty}[(1+\frac{1}{n})^n-e]\cdot n\quad(0\cdot \infty)\)

原式\(=\lim\limits_{x\to+\infty}[(1+\frac{1}{x})^x-e]\cdot x=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}-e}{t}=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{e^{\frac{\ln(t+1)}{t}}-e}{t}(法二)=\lim\limits_{t\to0^+}e^{\frac{\ln(1+t)}{t}}\cdot\frac{\frac{t}{1+t}-\ln(1+t)}{t^2}=e\lim\limits_{t\to^+}\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2(1+t)}=e\lim\limits_{t\to0^+}\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2}=e\lim\limits_{t\to0^+}\frac{1-\ln(1+t)-1}{2t}=\frac{e}{2}.\)

法二：（從接口處來）原式\(=\lim\limits_{t\to0^+}e\cdot\frac{e^{\frac{\ln(1+t)}{t}-1}-1}{t}=e\lim\limits_{t\to0^+}\frac{\frac{\ln(1+t)}{t}-1}{2t}=e\lim\limits_{t\to0^+}\frac{\ln(1+t)-t}{t^2}\)然後洛必達

4. 導數的應用

4.1. 羅爾定理的應用

4.1.1. 證明方程根的存在性

證明\(f(x)=0\)在\((a, b)\)内有一個根\(\xi\Leftrightarrow\exists F(x)\,s.t.\forall x\in[a, b],\)都有\(F'(x)=f(x),F'(\xi)=0,\)對\(F(x)\)在\([a, b]\)上應用羅爾定理\(\exists\xi\in(a, b)\,s.t.F'(\xi)=0,\)即\(f(\xi)=0.\)

設任意\(a_1, a_2,\cdots a_n\)均為實常數。求證\(a_1\cos x+a_2\cos2x + \cdots + a_n\cos nx=0\)在\((0, \pi)\)内至少有一個根。

證：設\(f(x)=a_1\cos x+a_2\cos2x + \cdots+a_n\cos nx,\)由\(f(x)\in C[0, \pi],f(0)=a_1+a_2+\cdots+a_n,\)\(x=\pi\)時加加減減，情況類似，得不到具體的正負性。由\((\frac{1}{n}\sin nx)'=\cos nx,\)我們可以構造函數\(F(x)=a_1\sin x+\frac{1}{2}a_2\sin2x+\cdots+\frac{1}{n}a_n\sin nx.\)分析知\(F(x)\)滿足羅爾定理的條件，更重要的\(F(0)=F(\pi),\)故而\(\exists\xi\in(a, b)\,s.t.F'(\xi)=f(\xi)=0\quad■\)

4.1.2. 用于證明含有\(\xi\)的等式

尤其是含有\(\xi\)處的導數\(\Leftrightarrow\)對函數\(F(x)\)使用羅爾定理得到\(F'(\xi)=0\)

4.2. 拉格朗日定理應用

4.2.1. 拉格朗日定理的幾種形式

\(\exists\xi\in(a, b),\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\Leftrightarrow f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)（1）\)(建立了函數和導數的關系)

而當\(b<a\)時，隻要\(f(x)\)在\([b, a]\)上滿足拉氏條件，則\((1)\)式仍然成立，對\(f(x)\)在\([b, a]\)上用拉氏定理\(f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b),b<\xi<a，\)變形後仍有\(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)。\)故不論\(a, b\)的大小關系，隻要\(f(x)\)滿足拉氏條件，便有：

\[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \]

其中\(\xi\)介于\(a, b\)之間。

不論\(a>b||a<b,0<\frac{|\xi-a|}{|x-a|}<1\)或者寫作\(0<\big|\frac{\xi-a}{b-a}\big|<1(0<\theta<1)\Leftrightarrow0<\frac{\xi-a}{b-a}<1,\)令\(\theta=\frac{\xi-a}{b-a}\)那麼\(\xi\)可以記作\(a+\theta(b-a),\)即有:

\[f(b)-f(a)=f'(a+\theta(b-a))(b-a) \]

進一步可以改寫成：

\[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(x_0+\theta\Delta x)\Delta x \]

4.2.2. 拉氏定理的應用

4.2.2.1. 單調性定理：

設\(f(x)\)在閉區間\([a,b]\)上連續，在\((a, b)\)可導。

• 當\(x\in(a, b),f'(x)\geq0(f'(x)>0)\)則稱\(f(x)\)在\((a, b)\)上單調遞增（嚴格單調遞增）
• 當\(x\in(a,b),f'(x)\leq 0(f'(x)<0)\)則\(f(x)\)在\((a, b)\)上遞減遞減（嚴格單調遞減）。
• 當\(x\in(a,b),f'(x)\equiv0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上是常值函數。

證：\(\forall x_1, x_2\in(a,b)\)且\(x_1,<x_2\)，由\(f(x)\)在\([x_1,x_2]\)上滿足拉氏條件。\(\exists\xi\in(x_1,x_2)\,s.t.f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\)

\(x\in(a,b),f'(x)\geq0, \xi\in(a, b)f'(\xi)\geq0,x_2-x_1>0\Rightarrow f(x_2)-f(x_1)\geq0\Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)\)，知\(f(x)\)在\((a,b)\)上是遞增函數。同理可證第二條。

對于第三條\(x\in(a,b),f'(x)=0\Rightarrow f'(\xi)=0\Rightarrow f'(\xi)(x_2-x_1)=0\Rightarrow f(x_2)-f(x_1)=0\Rightarrow f(x_2)=f(x_1)\)即\(f(x)\)是\((a,b)\)上的常值函數

4.2.2.2. 證明不等式

例 設\(b>a\geq e\)，證明\(a^b>b^a.\)

證：要證\(a^b>b^a\)成立，隻要證\(\ln a^b >\ln b^a\)成立，隻要證\(b\ln a>a\ln b\)成立，隻要證\(\frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}（1）\)

可以構造函數求導利用單調性定理，也可以使用拉格朗日中值定理說明

1. 設\(f(x)=\frac{\ln x}{x},x\in[a,b]\)，由于\(f(x)\in C[a,b],f(x)\in D(a,b),f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0,\)得知\(f(a)>f(b)\)，即\(\frac{\ln a}{a} >\frac{\ln b}{b}（1）\)成立。故而得證
2. （利用拉格朗日中值定理）\(\frac{\ln b}{b}-\frac{\ln a}{a}=f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)<0\)，經過比較，拉格朗日定理雖然可以解決問題，但實際在可以直接寫出答案的基礎上再增加了一次變形，這是沒有必要的。這也是因為單調性定理本來是拉格朗日定理的推論，進而其具有一定的黑盒性。

4.2.2.3. 極值的判斷

由極值點一定包含在區間内部的駐點或不可導點中

\(1^。\)判斷取到極值的第一充分條件：

若\(f(x)\)在\(U(x_0,\delta)\)内連續，在\(U_0(x_0, \delta)\)内可導（強調\(f(x)\)在\(x_0\)處連續，這是拉格朗日定理的必然要求）進而包括了極值點和尖點的兩種情況。

但要注意的是，極值本身是不需要在點處連續的，例如可去間斷點（甚至左右極限不相等都可以）是以說，這個條件是充分的

1. 當\(x\in(x_0-\delta,x_0)\)時，\(f'(x)>0\)，當\(x\in(x_0, x_0+\delta)\)，有\(f'(x)<0\)，則\(f(x_0)\)為極大值。
2. 當\(x\in(x_0-\delta,x_0)\)時，\(f'(x)<0\)，當\(x\in(x_0,x_0+\delta)\)時，\(f'(x)>0\)，則\(f(x_0)\)為極小值。
3. 若\(f'(x)\)在\(x_0\)兩側同号，則\(f(x_0)\)不是極值。

\(2^。\)判斷取到極值的第二充分條件

若\(f'(x_0)=0\)，且\(f''(x_0)\)存在：

1. \(f''(x_0)>0\)，則\(f(x_0)\)為極小值
2. \(f''(x_0)<0\)，則\(f(x_0)\)為極大值
3. \(f''(x_0)=0,\)無法判斷

拓展：若\(f''(x_0)\)存在，隐含在\(U(x_0)\)内\(f'(x)\)存在，則\(f(x)\)當\(x\in U(x_0)\)必然連續

簡要證明\((1)\)當\(f''(x_0)>0,f''(x_0)=\lim\limits_{x\to x_)}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}=f''(x_0)>0\)，由保号性，\(\exists\delta>0\)，當\(x\in U_0(x_0,\delta)\)時\(\frac{f'(x)}{x-x_0}>0\)，當\(x\in(x_0-\delta,x_0),f'(x)<0\)，當\(x\in(x_0,x_0+\delta),f'(x)>0\)，由\(（1）\)知\(f(x_0)\)為極小值

4.2.2.4. 求函數單調區間與極值的步驟

1. 求出函數的定義域
2. 求出内部的駐點或倒數不存在的點
3. 清單，利用第一充分條件總結結果

4.3. 數學模組化初步

微積分的初步應用問題

4.3.1. 求一進制函數的最大值和最小值

1. （第一充分條件）若\(x\in[a,b],f'(x)\geq 0,f(x)\nearrow\)，則\(m=f(a),M=f(b)\)

   若\(x\in[a,b],f'(x)\leq 0,f(x)\searrow\)則\(m=f(b),M=f(a).\)

2. （閉區間上連續函數極最值存在定理）若\(f(x)\in C[a,b]\)，則\(f(x)\)的極大極小值點一定包含在内部的駐點或者内部不可導點中。最值的考慮點集是極值的考慮點集的超集。
3. （唯一極值定理）若\(f(x)\)在（開/閉）區間\(I\)上連續，且\(f(x)\)在\(I\)上取到唯一的極值\(f(x_0)\)
   1. 若\(f(x_0)\)為極大值，則\(f(x_0)\)為最大值，且在\(x_0\)左側嚴格增，在\(x_0\)右側嚴格減。
   2. 若\(f(x_0)\)為極小值，則\(f(x_0)\)為最小值，且在\(x_0\)的左側嚴格減，右側嚴格增

這個極值唯一的條件實在太強了，不容易達到。更多地我們使用連續函數的極值存在定理會更好。

5. 泰勒公式

5.1. 引入

例 \(f(x)=e^x\)，求\(f(3.15)?\)

目的是近似求解超越函數的符合誤差的解。

理論基礎：多項式相關計算的便利性。

由拉氏定理，若\(f(x)\)在\([a,b]\)上滿足拉氏條件，則\(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\Rightarrow f(b)=f(a)+f'(\xi)(b-a)\)，令\(b=x,a=x_0,x\not= x_0\)且\(f'(x)\)存在，得\(f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0),\xi\)介于\(x_0,x\)之間。

若\(f''(x)\)存在，我們猜想地将原函數值表示稱一個多項式的組合：\(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\mathscr{K}(x-x_0)^2\)，其中\(\mathscr{K}=\frac{f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)]}{(x-x_0)^2}\)

或者我們通過線性函數的類推來得到猜想：對于一階，如果\(f(x)=a_0+a_1(x-x_0),f'(x)=a_1,f(x_0)=a_0,f'(x_0)=a_1\)，則\(f(x)=f(x_0)+f'(x-x_0)\)，那麼對于一個更高階的函數，我們可以将其表示稱一個線性函數\(f(x)=f(x_0)+f'(x-x_0)\)和一個高階小量的和，進而構造\(\frac{f(x)-[f(x_0)+f'(x-x_0)]}{(x-x_0)^2}=\mathscr{K}\)

現在我們來研究這個\(\mathscr{K}\)的值到底是多少。

令\(F(x)=f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)],G(x)=(x-x_0)^2,\)

\(F'(x)=f'(x)-f'(x_0),F''(x)=f''(x),F(x_0)=0, F'(x_0)=0;\)

\(G'(x)=2(x-x_0),G''(x)=2!,G(x_0)=0,G'(x_0)=0.\)

\(\mathscr{K}\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{F'(\xi_1)}{G'(\xi_1)}=\frac{F'(\xi_1)-F'(x_0)}{G'(\xi_1)-G'(x_0)}=\frac{F''(\xi)}{G''(\xi)}=\frac{f''(\xi)}{2!}\)

5.2. 定理描述

設\(f^{(n)}\)在區間\(I\)上連續(對應拉氏的閉區間連續)，在\(I\)内部\(f^{(n+1)}\)存在（開區間可導），<如果求皮亞諾餘項隻需要\(x_0\)處\(n\)階可導>取\(x_0\in I,\forall x\in I\,s.t.x\not= x_0\)，則\(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)稱為\(f(x)\)在\(x_0\)處的\(n\)階泰勒公式

有時條件可以加強一些，改為在\(I\)上\(f^{(n+1)}(x)\)存在。

稱\(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\xlongequal{\mathrm{def}}P_n(x)\)稱為\(n\)次泰勒多項式，稱\(\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\xlongequal{\mathrm{def}}R_n(x)\)稱為拉格朗日餘項。\(\xi\)介于\(x_0, x\)之間，\(\xi=x_0+\theta(x-x_0), 0<\theta<1,R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x+\theta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)稱為柯西餘項，如果\(f(x)\approx P_n(x)\)，誤差\(|f(x)-P_n(x)|=|R_n(x)|=|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}|=\frac{|f^{(n+1)}(\xi)|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\)若\(|f^{(n)}(x)|\leq M(常),n = 0, 1, 2\cdots\)，原式\(\leq M\cdot\frac{|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}\)，由重要極限可得誤差當\(n\to\infty\)時誤差極小。

特别地，若\(0\in I,\)取\(x_0 = 0\)，此時泰勒公式為\(f(x)=f(0) +f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}x^{n+1}\)稱為\(f(x)\)在\(x=0\)處的Maclaurin公式。

\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}\)是麥克勞林公式的拉格朗日餘項。

5.3. 五個函數的麥克勞林展開式

\[\begin{aligned} e^x&=1+x + \frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\xi}}{(n+1)}x^{n+1}\\ \sin x&=x-\frac{x^3}{x!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}+\frac{f^{(2k+2)}(\xi)}{(2k+2)!}x^{2k+2}\\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{(-1)^{k}}{2k!}+\frac{f^{(2k+1)}(\xi)}{(2k+1)!}x^{2k+1}\\ \ln x&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}x^n+R_n(x), x\in(-1, +\infty)\\ (1+x)^{a}&=\sum_{i=0}^{n}\mathrm C_n^i\,x^i \end{aligned}\]

說明：

1. \(\sin x\)的展開式的餘項可以展開到\(x^{2k+1}\)項，畢竟式子隻展開到這一項；但由我們先前得到的重要極限，展開項數越多，誤差越趨近\(0\)，是以從增加精确度的角度，我們完全可以展開到\(2k+2\)項進而對應表達式中的拉格朗日餘項為\(2k+3\)次（反正\(2k+2\)項不在這，你管我😏）
2. (待補充)為什麼\(\ln(1+x)\)的展開式要限制定義域

5.4. 泰勒公式的應用

5.4.1. 在數值分析中的應用

例 證明\(e\)是無理數（wsj.pdf220.ex5.3.14）

例 近似計算\(e\)的值（誤差小于\(10^{-6}\)）

\(|\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}|=\frac{e^\xi}{(n+1)!}<\frac{e}{(n+1)!}\leq\frac{3}{(n+1)!}\leq 10^{-6}\)

對分式，計算到第九位，合并後取八位，四舍五入到六位就會準确。

5.4.2. 證明不等式

例 \(f''(x)>0,\)且\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1\)，證明\(f(x)\geq x\)

證：由\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1\)且\(\lim\limits_{x\to0}x=0\Rightarrow \lim\limits_{x\to0}f(x)=0=f(0)\)

\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\Rightarrow f'(0)=1\)

\(f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi)}{2!}x^2\geq x+\frac{f''(\xi)}{2!}x^2\geq x\)

引理：若\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=C\not=0,\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,\)則\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0\)，當\(C\)可能為零時，隻能反向推\(\lim\limits_{x\to0}g(x)=0\Rightarrow\lim\limits_{x\to0}f(x)=0\)

5.4.3. 證明含有\(\xi\)的等式

尤其是含有\(\xi\)處的高階導數的問題

例 \(f(x)\)在\([a, b]\)上\(n\)階可導且\(f(a)=0, f^{(k)}(b)=0,k=0, 1, 2,\cdots, n-1\)，則至少存在一點\(x\in(a, b)\,s.t. f^{(n)}(\xi)=0\)（\(n\)階泰勒展開）

5.5. 帶Peano的Taylor公式

分析：Taylor公式的兩種餘項表達形式\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)要麼太抽象，要麼太繁瑣，有沒有一種折中的思路既能簡單地寫出來，同時又能保證一定的資訊量？

\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n}}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)=0\)，進而\(R_n(x)=o[(x-x_0)^n](x\to x_0).\)

\(Peano\)定理：

若\(f(x)\)在\(x_0\)處\(n\)階可導， 則\(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n](x\to x_0)\)

特别的，\(x_0=0\)，則\(f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n(x\to0)\)稱為帶有Peano餘項的Maclaurin公式

• 類似先前得到的結果，我們可以寫出帶Peano餘項的五個基本公式
• 利用帶有Peano餘項的Maclaurin公式可以用于求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}(\frac{0}{0})\)

5.5.1. Peano餘項Mac公式應用

\(f(x)=0+0\cdot x+\cdots+0\cdot x^{k-1}+A\cdot x^{k}+o(x^k)(x\to0)=A\cdot x^k+o(x^k)\sim Ax^k(x\to0)\)，同理寫出\(g(x)\sim Bx^m\)，借助抓大放小的思想得解。

展開原則：

1. 加減幂次最低(展到第一項不為零的項)
2. 相除上下同階

例 \(x-\sin x\)當\(x\to0\)是\(x\)的幾階無窮小？

用原則一：\(x-\sin x=x-(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3))=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)(x\to0)\)進而是3階無窮小

用原則二：待定系數（用一次洛必達）\(\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^k}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{kx^{k-1}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{kx^{k-1}}\Rightarrow k-1 = 2\)

### 幾個常用公式的補充

$$

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\\

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2)\\

\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}+o(x^5)\\

\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\

\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)

$$

5.5.2. 兩種泰勒公式的比較

• 條件必然不同，皮亞諾餘項僅要求\(x=x_0\)處\(n\)階可導，拉格朗日餘項要求\(x_0\)的鄰域\(n+1\)階可導
• 使用：
  • Peano餘項更局部，适合條件較弱的情形，用于解決極限與極值問題。
  • Lag餘項可以稱作區間泰勒，用于解決最值與不等式證明。

補充：使用時，哪一點處資訊多就從那一點展開

6. 曲線作圖

6.1. 函數的凹凸性與拐點

6.1.1. 凹凸性

1. 與切線的位置關系
   • 若\(x\in(a, b)\)時，函數段都在曲線上任意一點切線的上方，則稱，曲線\(y=f(x)\)在\((a, b)\)内是凹的。
2. 與割線的位置關系
   • \(\forall x\in(x_1, x_2), x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2(0<\lambda<1), \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\geq f[\lambda x_1+(1-\lambda)x_2]\)
3. 若\(f(x)\)在\((a, b)\)内二階可導，
   1. 當\(f''(x)>0\)，則曲線在\((a,b)\)内是凹的。
   2. 當\(f''(x)<0\)，則曲線在\((a,b)\)内是凸的。

利用泰勒公式，我們可以由3.1推1：

\(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2>f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)，不等式左側是函數曲線，右側是切線，進而證明是凹的。

6.1.2. 拐點

曲線\(y=f(x)\)上凹凸的分界點\(\mathbf{(x_0, f(x_0))}\)稱為曲線的拐點。

• 這個拐點一定在區間内部。
• \(f(x)\)在\(x_0\)處有定義。

定理：若\(f''(x_0)=0\)，且\(f'''(x_0)\not=0\)，則\((x_0, f(x_0))\)是曲線的拐點。

由\(f'''(x_0)\not=0,\)不妨設\(f'''(x_0)>0,\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f''(x)-f''(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f''(x)}{x-x_0}=f'''(x_0)>0\)，由保号性，\(\exists\delta>0,\)當\(x\in U_0(x_0, \delta)\)時，\(\frac{f''(x_0)}{x-x_0}>0,x\in(x_0-\delta, x_0), x-x_0<0\Rightarrow f''(x)<0x\in(x_0, x_0+\delta)\)時，\(x-x_0<0\Rightarrow f''(x)>0,\therefore (x_0,f(x_0))\)為拐點

進而利用這個定理，求拐點的步驟劃歸入\(f'(x)\)的極值問題。

隻要把極值求算的“一個必要，兩個充分”擡高一階就可以

• 注意一個不同點：拐點可以不用一階導函數連續。隻需原函數在點處連續即可。

6.2. 漸近線

把例如\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的函數無窮遠處的圖形畫出來：沒有畫出，勝似畫出（甚至還知道趨勢）

定義：設\(y=f(x)\)是一個給定的曲線，\(\ell\)是一個給定的直線，若曲線上\(P(x, f(x))\)到直線\(\ell\)的距離，當\(P\)無限遠離原點時，該距離的極限為0，稱直線是曲線\(y=f(x)\)的漸近線，若\(\ell\nparallel y\)軸，稱\(\ell\)為曲線\(y=f(x)\)的斜漸近線。

可以設\(\ell:y=ax+b\)

若\(\ell\)是曲線\(y=f(x)\)的斜漸近線\(\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta |OP|\to0}|PQ|=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to\infty}\frac{|f(x)-ax-b|}{\sqrt{1+a^2}}=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-ax-b]=0\Rightarrow\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}[f(x)-ax-b]=0\Rightarrow\lim\limits_{x\to\infty}[\frac{f(x)}{x}-a-\frac{b}{x}]\)即:

\[\begin{aligned} a&=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\\ b&=\lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-ax]\\ \end{aligned}\]

• 相當于逐個擊破的思路。
• 注意這裡的\(\infty\)沒有考慮符号，實際上，正負極限的漸近線可能不同，研究過程當中盡量先考慮正負無窮極限相同的情況即按照：先\(\infty\)，後\(\pm\infty\)，如果再均不存在，無斜漸近線。
• 一個函數最多有兩條斜漸近線
• 特别地，斜漸近線\(y=ax+b\)中的\(a=0\)稱\(\ell:y=b\)為水準漸近線。同樣，正負無窮對應的水準漸近線可能不同
• 當漸近線\(\ell\parallel y\)軸，稱\(\ell\)為垂直漸近線，隻要\(x\to x_0,x\to x_0^+, x\to x_0^-\)一種情況下有\(\lim|PQ|=0\)即可。
  • 對垂直漸近線，初等函數的間斷點，分段函數的分界點是懷疑點。
• 一個有利的觀點：将函數式表達為\(ax+b+\alpha(x)\)，其中\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\alpha(x)=0\)，分别找正負無窮時的漸近線：斜漸近線+水準漸近線最多共2條。然後再尋找垂直也來得及嗯··· ···

6.3. 函數作圖的步驟

1. 求出函數的定義域
2. 研究函數的有界性、奇偶性和周期性

3. 解方程\(f'(x)=0\)，清單确定函數升降區間和極值點

   解方程\(f''(x)=0\)，清單确定函數的凹凸區間和拐點

4. 求出函數的斜漸近線和垂直漸近線
5. 計算一些重要點的函數值，坐标軸交點、極值點、拐點

• 不在函數定義域的點，不是極值點、拐點。

6.4. 曲率

通過分析，我們感受到，對一定的弧度，弧長越大，曲率越小；對一定的弧長，弧度越大，曲率越大。

進而我們可以定義平均曲率：

\[\mathcal{k}=\lim\limits_{{\widehat{AQ}}\to A\atop s\to0}\frac{\theta}{s} \]

若曲線\(\Gamma:\begin{cases}x=x(t)\\y=x(t)\end{cases},\alpha\leq t\leq\beta\)，\(A(x(t),y(t))\)，取\(Q\big(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t)\big),\widehat{AQ}\to A\iff Q\to A\xleftrightarrow{x(t),y(t)連續},\tan \alpha=\frac{y'(t)}{x'(t)},\alpha = \arctan\frac{y'(t)}{x'(t)}\Rightarrow\theta =\Big|\alpha(t+\Delta x)-\alpha(t)\Big|=|\Delta\alpha|\)

此處我們求解弧長的一階導數要應用到定積分的内容，進而暫時略去：\(s'(t)=\sqrt{x'^2+y'^2}\)，而弧度\(\alpha'(t)=\Big(\arctan\frac{y'(t)}{x'(t)}\Big)'=\frac{x'y''-x''y'}{x'^2+y'^2}\)(這裡相當于條件再次加碼：二階可導？)

由于曲率為正值，故\(k=\frac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}\)

• 一般的曲線\(y=f(x)\)可以表示成\(\begin{cases}x=x\\y=f(x)\end{cases}\)，進而也可以代公式。

例 \(\begin{cases}x=a\cos \theta, \\y=b\sin\theta\end{cases}\)其中\(0\leq\theta\leq2\pi, 0<b\leq a\)求\(\theta\)處的曲率。

\[\begin{aligned} k=&\frac{|-a\sin\theta(-b)\sin\theta-(-a\cos\theta )b\cos\theta|}{(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta)^{\frac{3}{2}}}\\=&\frac{ab}{[b^2+(a^2-b^2)\sin^2\theta]^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}\]

分析知，\(\theta=\frac{\pi}{2}\Big/\frac{3\pi}{2}\)時曲率最小，\(\theta =0\Big/\pi\)時曲率最大。