Part 1 函數、極限與連續

函數與極限

• 1. 函數
  • 1.1. 基本函數性質與相關函數
    • 1.1.1. 有界函數
    • 1.1.2. 無界函數
    • 1.1.3. 複合函數
    • 1.1.4. 反函數
    • 1.1.5. 單調函數
    • 1.1.6. 函數的基本性态
      • 1.1.6.1. 單調性
      • 1.1.6.2. 奇偶性
      • 1.1.6.3. 周期性
      • 1.1.6.4. 有界性
  • 1.2. 基本初等函數
    • 1.2.1. 高中基本初等函數
      • 1.2.1.1. 常值函數
      • 1.2.1.2. 幂函數
      • 1.2.1.3. 指數函數
      • 1.2.1.4. 對數函數
      • 1.2.1.5. 三角函數
      • 1.2.1.6. 反三角函數
    • 1.2.2. 幾個相對新的概念
      • 1.2.2.1. 初等函數
      • 1.2.2.2. 非初等函數
      • 1.2.2.3. 幾個重要的函數
• 2. 數列極限
  • 2.1. 數列
  • 2.2. 極限
    • 2.2.1. 定性描述
    • 2.2.2. 定量描述
    • 2.2.3. 極限的意義
    • 2.2.4. 極限的證明
      • 2.2.4.1. 一般方法
      • 2.2.4.2. 适當放大法
    • 2.2.5. 幾個重要極限
  • 2.3. 收斂數列的性質
    • 2.3.1. 唯一性
    • 2.3.2. 有界性
      • 2.3.2.1. 相關的性質
      • 2.3.2.2. 有界性(\(\ast\))
    • 2.3.3. 保序性
      • 2.3.3.1. 性質1
      • 2.3.3.2. 性質2
      • 2.3.3.3. 思考
      • 2.3.3.4. 推論 保号性（\(\ast\)）
    • 2.3.4. 極限的四則運算性質
    • 2.3.5. 極限值和無窮小之間的關系
  • 2.4. 判斷數列收斂的兩個準則
    • 2.4.1. 夾逼定理
    • 2.4.2. 單調有界收斂原理
  • 2.5. 研究\(\{{(1+\frac{1}{n})}^n\}\)的收斂性
  • 2.6. 子列
• 3. 函數極限
  • 3.1. 從數列到函數
  • 3.2. 函數極限的一個充要判别
  • 3.3. 函數極限的性質
  • 3.4. Heine定理——另一個判别
    • 3.4.1. Heine定理的内容和簡要證明
    • 3.4.2. Heine定理的應用
  • 3.5. 無窮量與無窮量的階
    • 3.5.1. 無窮小量和無窮小量的階
      • 3.5.1.1. 無窮小量
      • 3.5.1.2. 無窮小量的性質
      • 3.5.1.3. 無窮小量的階
    • 3.5.2. 無窮大量和無窮大量的階
      • 3.5.2.1. 無窮大量
      • 3.5.2.2. 無窮大量的性質
      • 3.5.2.3. 無窮大量的常見比較
    • 3.5.3. 等價量替換定理
  • 3.6. 判斷函數極限的準則
  • 3.7. 兩個重要函數極限
    • 3.7.1. 多項式和三角的關系
    • 3.7.2. 多項式和\(e\)的關系
  • 3.8. 函數連續
    • 3.8.1. 函數連續的三種定義
    • 3.8.2. 左連續和右連續
    • 3.8.3. 間斷點與間斷點的分類
    • 3.8.4. 連續的性質
    • 3.8.5. 初等函數的連續性
      • 3.8.5.1. 幾種初等函數連續性說明
      • 3.8.5.2. 複合函數的連續性定理
      • 3.8.5.3. 初等函數連續性定理
    • 3.8.6. 連續的幾個宏定義
    • 3.8.7. 閉區間上連續函數的性質
      • 3.8.7.1. 最值定理：
      • 3.8.7.2. 介值定理
  • 3.9. 11個重要極限

1. 函數

• （重要性）函數是微積分的研究對象，是溝通中學數學和微積分的橋梁。

大學重新學習函數的形式：

1. 新的性質
2. 複習深化

1.1. 基本函數性質與相關函數

1.1.1. 有界函數

在中學我們知道，函數的對應法則和定義域可以唯一确定一個函數。

描述有界函數的量：值域

方法：用定義域和對應法則來描述值域

• 自然語言表述：值域在有限的區間上的函數\(\Rightarrow\)數學語言表述：利用函數和定義域來說明。

\( 定義： 設y=f(x),x\in\mathbb{D},\exists N, M\in\mathbb{N}, N\leq M, s.t.\forall x\in\mathbb{D}, N\leq f(x)\leq M,則稱f(x)是有界函數。 \)

• 說明：
  • N, M隻需要存在即可。
  • 隻要有一個上界（下界），就有無窮多個上界（下界）
  • 上下确界。

定義：有上界和有下界

\( 有上界函數：設y=f(x), x\in\mathbb{D}, \exists N\in\mathbb{N}, s.t.\forall x\in\mathbb{D}, f(x)\leq N.則稱f(x)是\mathbb{D}上的有上界函數。 有下界函數定義方法類同。 \)

幾何意義：平面上的有界函數被兩條線給限制住了。

• 一個推廣（絕對值推廣）：
  • 将N, M減少一個；
  • 可以使用絕對值函數的性質
• 例 證明：\(f(x)=sin^{80}x-6cos^{60}2x\)有界
  • 确定其定義域：\(\mathbb{R}\)
  • 用好絕對值不等式的性質：\(|f(x)|=|sin^{80}x-6cos^{60}2x|\leq |sin^{80}x|+|6cos^{60}2x|\leq 1+6=7\)
• 例 證明：\(f(x)=\frac{x}{1+x^2}sinx\)有界
  1. （基本不等式整體）\(ab\leq \frac{1}{2}(a^2+b^2)\)當且僅當\(a=b\)時取等。拆成加和用絕對值不等式
  2. （分母）\(\frac{|x|}{1+|x|^2}\leq \frac{|x|}{2|x|}, 隻需單獨讨論x=0.\)
  3. （分子）\(\frac{|x|\cdot 1}{1+|x|^2}\leq \frac{\frac{1}{2}(|x|^2+1)}{1+|x|^2},甚至不用讨論。\)

1.1.2. 無界函數

（反向的拓展）

• （預備）幾組對立：\('\forall'和'\exists','\leq' 和'>'\)

• 對有界函數的定義做如上的反向：

  定義 \(\forall M>0, \exists x_M\in\mathbb{D}，s.t.|f(x)|>M\)

  練習這種反向表述，有利于我們使用反證法。

• 例 證明：\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}在(0，1]\)上是無界函數
  • （分析法：要證B成立隻要A成立）
  • 構造出一系列的左箭頭(或者說向左的更重要)：\(\forall M>0,若要|f(x)|>M成立\Leftrightarrow |\frac{1}{\sqrt{x}}|>M\Leftarrow\frac{1}{\sqrt{x}}>M\Leftrightarrow\frac{1}{x}>M^2\Leftrightarrow(回到已知)0<x<\frac{1}{M^2}且0<x\leq1\),在最後的這兩個條件限制之下，取一個合适的值:\(x=\frac{1}{(1+M)^2}\)

1.1.3. 複合函數

（求導的預備）

• 設\(y=f(x),u\in D(f),u=\varphi(x),u\in R(\varphi)\),如果\(D(f)\cap R(\varphi)\not=\varnothing,則稱f(x)和u(x)是可以複合的。f(u)=f(\varphi(x)){\xlongequal{\mathrm{def}}}G(x)是兩個對應法則的複合。\)\(其中u稱為中間變量，f是外函數，\varphi 是内函數\)
• 例 \(y=\sqrt{u},u=-(1+x^2)\Rightarrow y=\sqrt{-(1+x^2)}就是不存在的。\)
  • 但同時我們不難發現，部分函數的定義域和值域都是不友善求出的，實際上，我們可以直接做出複合函數之後再進行求定義域操作，看有無定義域決定這個複合函數是否有意義。
• 例 \(f(x)=\sqrt u, u=sin(x),複合的結果是y=\sqrt{sinx},定義域非空，要求sinx\geq0,得出x\in[2k\pi, (2k+1)\pi](k\in\mathbb{Z})\)、
• \(\color{#FF0000}{例誤}\) \(（複合的陷阱仍然要注意基本數學運算，不可以盲目亂括）f(x)=2^x, \varphi(x)=x^2, F(x)=(2^x)^2=2^{2x}, G(x)=2^{x^2}\not=(2^x)^2\)
• \(\color{#FF0000}{例誤}\) \(y=\frac{1}{\frac{1}{1-x}-1}的定義域：\)
  • \(\ast 原式=\frac{1}{\frac{1-(1-x)}{1-x}}=\frac{1-x}{x}\)，看似直接可以得出\(x\not=0\),，又是沒有考慮約分的時候已經有的\(x\not=1\)被忽略掉了。

從這裡我們可以看出蘇德礦老師對于高中實際情況的體察，或許這才是數學本來的樣子？

1.1.4. 反函數

• 定義 設\(y=f(x), x\in\mathbb{D}, \forall x_1,x_2\in\mathbb{D}且x_1\not ={x_2}都有f(x_1)\not ={f(x_2)},則稱y=f(x),x\in\mathbb{D}\)為一一對應，反之，\(\forall y\in\mathbb{R}(f), \exists|x\in\mathbb{D}且f(x)=y\)與之對應。由這種對應關系，我們可以得到一個定義在\(R(f)上的函數。記作x=f^{-1}(y),稱為y=f(x), x\in\mathbb{D}\)的反函數。一一對應是函數有反函數的充要條件。

• \(\color{#FF0000}{例誤}\) \(\ast\) 函數與反函數的圖像關于\(y=x\)對稱。

  實際上，它們的圖像是相同的，利用方程與曲線上點的對應關系（隐函數）來了解。

  我們所說的對稱的兩條直線，是将反函數經過習慣化替換（y是因變量的情況）得到的函數。

• 例 （常考點）若\(y=f(x)\)的反函數，記為\(x=\varphi(y)，那麼f(\varphi(y))=y, \,\varphi(f(x))=x\)(這個例子足以說明反函數中兩個變元嚴格的一一對應關系)
  • 由這個對應關系，反函數有一類很好的性質，即單調性，且嚴格單調，與我們中學期間的單調概念基本等價。在數學分析課上我們已經給過證明。我們為了了解函數，還需要再把單調性的概念再次重溫一下
• （低頻）求反函數：對原式變形，用\(y\)表示\(x\)而後對兩個變元對換，即得（jcP4.3）。

1.1.5. 單調函數

• 定義：\(y=f(x), x\in\mathbb{D}, \forall x_1, x_2\in\mathbb{D},且x_1<x_2都有f(x_1)\leq f(x_2)（或f(x_1)\geq f(x_2)), 那麼我們稱y=f(x)是\mathbb{D}\)上的遞增（遞減）函數， 這兩類函數統稱單調函數。

  \(若\forall x_1, x_2\in\mathbb{D}且x_1, x_2, 都有f(x_1)< f(x_2)(或者f(x_1) > f(x_2))\)那麼稱為嚴格遞增（嚴格遞減）函數, 這兩類函數統稱為嚴格單調函數。

• 定理：\(y=f(x),x\in \mathbb{D}\)是嚴格單調函數則必有反函數，反之不成立；
  • 典例 \(y=\frac{1}{x}.\)

1.1.6. 函數的基本性态

1.1.6.1. 單調性

利用單調性定義、一階導數的正負進行判定。

1.1.6.2. 奇偶性

1. 奇函數關于原點對稱，若\(x=0\)處有定義則函數值必為\(0.\)偶函數關于原點對稱
2. 同性函數相加不改變奇偶性，相乘為偶函數。奇偶函數之積為奇函數。

1.1.6.3. 周期性

1.1.6.4. 有界性

1.2. 基本初等函數

1.2.1. 高中基本初等函數

1.2.1.1. 常值函數

\(y=C\)， 定義域：\(x\in\mathbb{R}\)

注意這是一個函數，而不簡單是一個常數

1.2.1.2. 幂函數

\(y=x^\alpha\;\)

定義域：\(x\in\mathbb{D},\)其中\(\mathbb{D}\)視\(\alpha\)的值而定。

例如：

• \(\alpha\)是正數時，特别地，是自然數時：\(\mathbb{R}\)
• 對一般正有理數：若\(\alpha\)的分母是偶數，則\(x\)必須不小于零\((\color{#00FFFF}思考：\)其反函數是一個偶次幂的幂函數，值域不小于零)，
• \(\alpha=0\,\)時，\(\{x\in\mathbb{R}|x\not=0\}.\)
• 對于一般負有理數，可以用倒數的方式将其轉化到前述情況，特别地，其分子為偶數時，則必須有\(x>0\)，因為分母不能為零。
• 無理數時，是通過有理數對其趨近，在趨近過程當中的有理數\(\alpha\)一定會出現偶數為分母的情況，故而必須有\(x\not< 0\)，且對負無理數有\(x\not=0.\)

1.2.1.3. 指數函數

\(y=a^x, (a>0, a\not ={1}\;\ulcorner若a=1,思考其反函數不存在)\)

定義域\(x\in\mathbb{R}\)

\(a>1時單增，0<a<1時單減。\)

• \(\color{#00FFFF}{思考：}\)
  • 為什麼\(a\not=1\)?這個和我們即将談到的對數函數互為反函數，\(a=1\)時，那麼對數無意義是顯而易見的事實：不存在一個數，使得1的這個數次方等于非1的數，而這正是對數函數運算的實質。因而兩者各自在系數和底數取得1時無意義。
  • 為什麼\(a\not<0\)?同幂函數的分母為偶的情況，當\(a<0\),由指數函數的連續取值，其在非整數次方處取值則無意義。
  • 幂函數限制定義域，指數函數限制系數

1.2.1.4. 對數函數

（是指數函數的反函數， 思考見指數函數）

\(y=\log_ax(a>0, a\not=1，類似指數函數)\)

\(a>1時單增\)

1.2.1.5. 三角函數

\(y=\sin x, y=\cos x, y=\tan x\)

在大學拓展：

\(y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}(x\not ={k\pi})\),

\(y=\csc x=\frac{1}{\sin x}(x\not={k\pi})\),

\(y=\sec x=\frac{1}{\cos x}(x\not={\frac{(2k+1)\pi}{2}})\)

它們的定義域限制均來自于分母不為零。而幂指對函數的定義域時常是由偶數分母分數次幂與反函數的存在性（這個與倒數有一定的對稱性）所得。

• 重要的關系：

  \(1+\tan^2x=1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}\)

1.2.1.6. 反三角函數

引入：

\(y=\sin x，x\in \mathbb{R}\)是顯然不單調且不一一對應的，但是，當我們把定義域縮小到\(x\in[\)-\(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)時，\(f(x)=\sin x\)是嚴格單調函數，是有反函數的。由其值域為\([\)-\(1,\,1]\)

進而我們定義：

\[x=\arcsin y, y\in[-1, 1], 值域為[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \]

按照習慣，反函數寫成\(y=\arcsin x, x\in[-1, 1]\),由前述對反函數的讨論，是與原函數對稱的。

但這種改寫有時候是多餘的，視題目而定。

同樣的可以定義\(y=\arccos x,x\in[-1,1]\)， 值域為\([0, \pi]\).與\(\cos x\)在\([0,\,\pi]\)上的單調性一緻.\(y=\arctan x,x\in\mathbb{R}\)，值域為\([-\)\(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)

1.2.2. 幾個相對新的概念

1.2.2.1. 初等函數

由六種基本初等函數經過有限次四則運算或複合運算得到的函數稱為初等函數。由定義不難看出，初等函數是有限的。

由六種基本初等函數函數經過有限次四則運算的函數稱為簡單初等函數。

1.2.2.2. 非初等函數

中學：分段函數是非初等函數：

• 例

\[f(x)= \begin{cases} \ln(1+x)&x>0,\\ x^2&x\leq0. \end{cases}\]

\[g(x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x}&x\not=0,\\ 1&x=0. \end{cases} \]

• \(\color{#FF0000}{反例}\)

\[f(x)=\begin{cases} -x&x<0,\\ x&x>=0 \end{cases}=|x|=\sqrt {x^2},是初等函數 \]

是以我們應該找到一種更加普适的方法來判别是不是初等函數。

• 法一：

  可以數，将一個大式拆成很多小的初等函數，并找出這些四則運算和複合運算。（見ky課程第三節）

• 法二：（一種感性的想法）

  在可用初等函數（在一定程度上受個人數學技巧影響）表達的情況下不分段。

• 法三：

  如果一個函數可以拆成幾個基本初等函數或簡單函數的複合那麼就可以

• 例

  \(y=e^{\sqrt{1+\sin {\sqrt x}}}\),可以看成是由\(y=e^u\)和\(u=\sqrt v, v=1+w, w=\sin t, t=\sqrt x複合而成的。\)

1.2.2.3. 幾個重要的函數

• \(1^。\) 符号函數（不定積分的簡化，第二類曲面積分會用到）

  \[f(x)=sgn\,x=\begin{cases} -1,&x<0,\\ 0,&x=0,\\ 1,&x>0.&\\ \end{cases} \]

• \(2^。\)取整（高斯）函數

  是關于剛剛談到的感性判斷初等函數法的一個反例：僅有一個表達式？但實際上它的表達式并不是基本初等函數。

• \(3^。\) Dirichlet 函數
  • 畫不出圖像
  • 所有正有理數都是它的周期
  • 可以用于連續性舉反例
• \(4^。\) 幂指函數

  • 常用性質

    \(y=u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}\)

    由于\(e\)相關的導數很簡潔，是以這樣的代換在以後的分析當中是非常有益的。

2. 數列極限

• （重要性）
  • 數列極限是微積分的核心，其思想方法貫穿于整個微積分中。
  • 蘇德礦: 數列極限是最基本、最核心、最重要，也可能是最難的部分：“星星之火”

2.1. 數列

定義：無限排列的一列數，稱為數列，記作\(\{a_n\}\),\(a_n\)是數列的通項。

構造：對函數\(y=f(x), x\in\mathbb{D}\,取\,\mathbb{N^*}\)，由于自變量n可以按照自然數的順序排成一無限列。\(f(n):, f(1), f(2), f(3), \cdots\cdots,f(n), \cdots\)這個函數值的排列就是數列，換成記号\(\{a_n\}\)就得到慣常所說的數列，\(f(n)\)也就稱為數列的通項公式。

不研究所有項,隻需要知道它的趨勢即可

莊子:

\(\Huge"\)一尺之棰,,日取其半,萬世不竭.

2.2. 極限

• 例
  • \(1, \frac{1}{2},\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{(-1)^{n-1}}{n},\cdots\)
  • \(1, \frac{1}{2},\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{(-1)^{n-1}}{n},\cdots\)以上兩個數列,趨勢"為0
  • \(\{1+\frac{(-1)^{n-1}}{n}\}\)"趨勢"為1.
  • \(\{n\}\)無"趨勢"

從以上這幾個例子我們看出，我們所說的"趨勢"是一種趨向常數的，我們把這種“趨勢”叫做極限

2.2.1. 定性描述

（不能用于推理）

設\(\{a_n\}\)是一個給定數列，\(a\)是一個确定的常數，随着n無限增大，數列的項與\(a\)無限接近。（要多接近有多接近）

那麼我們稱數列\(\{a_n\}\)的極限為\(a\)

記作\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\)或者\(a_n\to a(n\to \infty)\)

為了能夠實作數學推理，我們必須給出用數學表達式給的定義。

仔細思考這個要多接近有多接近：

• \(1^。\) 我們先要給出一個數學表達式來定量說明“接近” \(|a_n-a|\)?
• \(2^。\) 給出一個要多接近：\(\forall\varepsilon>0\)
• \(3^。\) 再看能不能有多接近：\(\exists N\in\mathbb{N}，s.t.\,n>N時，|a_n-a|<\varepsilon\)

2.2.2. 定量描述

完成了上述的思考過程我們寫出正式的數列極限定義：

設\(\{a_n\}\)是一個給定的數列，\(a\)是一個确定的常數，若\(\underbrace{\forall\varepsilon>0}_\text{要多接近}\),\(\exists N\in\mathbb{N}\),當\(n>N\)時都有\(\underbrace{|a_n-a|<\varepsilon}_\text{有多接近}\)

2.2.3. 極限的意義

• \(0^。\)極限的提出解決的将無限逼近的概念有效量化.
  • 例 (無限問題的複雜性)
  \[\begin{aligned} f(n)&=1-1+1-1+1-1\cdots\\&=(1-1)+(1-1)\cdots=0\\&=1+(-1+1)+(-1+1)\cdots=1 \end{aligned} \]
• \(1^。\)定義中\(\forall\varepsilon>0, \varepsilon\)指的是一切正數。盡可能小則可，不能限制\(\varepsilon\)大于某個正數:如增大為\(\,\varepsilon+1\);但是可以取\(\forall\varepsilon\in(0,1),\,\varepsilon^2,\,\frac{\varepsilon}{2}.\)

  3米以下的人叫矮人是沒有意義的.

• \(2^。N\)的對應性: 先有\(\,\varepsilon\), 再有\(\,\mathbb{N}\),使得\(\,n>N\)時都有\(|a_n-a|<\varepsilon\),由類似有界函數的說法,有一個\(N\)就有無數個\(N'\),因而\(n>N\)可以改寫成\(n\geq N\)

  • 實際上,我們可以由\(n\geq N\)推回原條件結論,因為在一定程度上,這是一個放寬條件,進而是一個隻加強條件,卻不改變結論的必然成立的命題.

    (通俗版解釋:既然找到了一個N使得剛好比它大的n都滿足條件,那麼比它大的n肯定都能使得結論成立，這個\(N\)不是一個确定的，而是對兩個變化的容器指派的結果。)

    形式上類似地連結jc.p14.例14(1999,II)

• \(3^。\)幾何意義:\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\)即\(\forall\varepsilon>0,\exists N,\)當\(n>N\)時有\(|a_n-a|<\varepsilon\Leftrightarrow a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon\)（在數軸上的一個區間内）\(\Leftrightarrow a_n\in(a-\varepsilon, a+\varepsilon)\xlongequal{\mathrm{def}}\mathrm{u(a,\,\varepsilon)}(讀作a的\varepsilon鄰域)\)

  a的任何\(\varepsilon\)鄰域外隻有\(a_n\)的有限項，其餘項統統在鄰域内。無論外面有多少項，均是有限項。

2.2.4. 極限的證明

數列極限的證明很多時候與巧妙的構造相關，但這些構造往往并不是神來之筆，很多時候時由于高中對于分析法的強調不夠所緻。

我們在這裡使用分析法，既是對高中思想方法的深入，也是對極限了解的深入。

2.2.4.1. 一般方法

要證\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n =a:\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\)當\(n>N\)時，都有\(|a_n-a|<\varepsilon\)成立.

那麼在具體的題目裡，\(a_n,a\)已知，\(\forall\varepsilon>0,\varepsilon\)也可以看成定值，那就變成了一個對\(n\)的不等式。即

\[|a_n-a|<\varepsilon\Leftrightarrow n>N \]

• 例

  • \(1^。\)證明\(\lim\limits_{n\to\infty}C=C\):（熟悉極限定義）

    \[\forall\varepsilon>0,取N>1,當n>N時都有|C-C|=0<\varepsilon \]

  • \(2^。\)證明\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0(k>0, k=C)（\ast）\)：（了解解不等式的思路）

  \[\begin{aligned} &\qquad\forall\varepsilon>0,|\frac{1}{n^k}-0|<\varepsilon成立\\ &\Leftrightarrow(由于n>0)\frac{1}{n^k}<\varepsilon\\ &\Leftrightarrow(由于\varepsilon>0){n^k}>\frac{1}{\varepsilon}\\ &\Leftrightarrow n>(\frac{1}{\varepsilon})^{\frac{1}{k}},\\&此時我們實際上已經求出了結果 \end{aligned} \] 再對上述邊界值取整即

  \[N=[(\frac{1}{\varepsilon})^{\frac{1}{k}}] \] 則當n>N+1時原不等式成立,進而證明了(\(\ast\))

  • \(3^。\)證明\(\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0 (|q|<1,q為常數)\)：（分類讨論）
    • \((i)\)\(q=0時，{q_n}={0}\,,由例1知極限為0\)
    • \((ii)\)\(當q\not={0},\)先讨論\(q>0\)
    \[\begin{aligned} &\qquad\forall\varepsilon>0,若要|q^n-0|<\varepsilon成立\\&\Leftrightarrow|q|^n<\varepsilon(利用幂指特性,q>0,|q|<1)\\ &\Leftrightarrow\ln |q|^n<\ln\varepsilon(嚴格單調的的好性質)\\&\Leftrightarrow n\ln |q|<\ln\varepsilon\\ &\Leftrightarrow n<\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|}\\&其餘同例2 \end{aligned} \]
    • \((iii)\)\(\,同(ii)\)
  • \(4^。\)證明\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1(a>0,a=C)\)：
    • \((i)\)\(a=1,\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1}=\lim\limits_{n\to\infty}1=1\)
    • \((ii)\)\(a>1,\)
    \[\begin{aligned} \forall&\varepsilon>0,若要|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon成立\\&\Leftrightarrow\sqrt[n]{a}-1<\varepsilon\\&\Leftrightarrow\sqrt[n]{a}<1+\varepsilon\\&\Leftrightarrow \frac{1}{n}\ln a<\ln(1+\varepsilon)(各部>0)\\&\Leftrightarrow n>\frac{\ln a}{\ln (1+\varepsilon)} \\Ti&ps:取負數、倒數不等号方向改變。\\&\qquad其餘(iii)同(ii) \end{aligned}\]

2.2.4.2. 适當放大法

雖然解不等式似乎簡單易行，但實際情況往往不能直接解，尤其在一些複雜困難的題目當中，需要靈活使用放縮法。

• \(\forall\varepsilon>0,\)若要\(|a_n-a|<\varepsilon\)成立，構造\(g(n)\,s.t.\exists N_1\in\mathbb{N}\,,n>N_1時有|a_n-a|\leq g(n),\)再分析\(g(n)\)

  要求：\(①\lim\limits_{n\to\infty}g(n)=0;\)

  \(\qquad\quad②g(n)\)盡可能簡單

  對\(g(n)，\exists N_2\in\mathbb{N}\,s.t.n>N_2時有|g(n)-0|<\varepsilon\)，那麼取\(N=max\{N_1, N_2\}\)，有\(n>N\)時\(|a_n-a|<\varepsilon\)

• 例
  • \(1^。\)證明\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2\sin n!+100}{n^{40}+2n^{32}+1}=0\):
  \[\begin{aligned} \qquad\forall\varepsilon>&0,\left|\frac{n^2\sin n!+100}{n^{40}+2n^{32}+1}-0\right|\\ &\leq\frac{|n^2\sin n!|+100}{n^{40}+2n^{32}+1}\\ &\leq\frac{n^2+100}{n^{40}+2n^{32}+1}\\ &<\frac{n^2+n^2}{n^{40}}(n>10)\\ &=\frac{2n^2}{n^{40}}<\frac{2n^2}{n^{3}}=\frac{2}{n}\xlongequal{記為}g(n)\\ &隻需取N=max\{\frac{2}{\varepsilon},\,10\}得證 \end{aligned}\]

  • \(2^。\)證明\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0(a=C)\):

    證法一：

  \[\begin{aligned} \forall\varepsilon&>0,\left|\frac{a^n}{n!}-0\right|<\varepsilon成立\\&\Leftrightarrow \frac{|a^n|}{n!}<\varepsilon成立，由于a為常數\\ \exists&m\in\mathbb{N},|a|\leq m,進而原式\\ &=\frac{|a|}{1}\cdot\frac{|a|}{2}\cdot\frac{|a|}{3}\cdots\frac{|a|}{n}\\ &\leq \underbrace{\frac{m}{1}\cdot\frac{m}{2}\cdots\frac{m}{m}}_\text{M}\cdot\frac{m}{m+1}\cdots\frac{m}{n}\\ &<M\cdot\frac{m}{n}(m<n)\\ &取N=max\{\frac{mM}{\varepsilon}, m\}即得 \end{aligned}\] 證法二：（夾逼定理）

  同（一）中\(m,\)由于\(0<\frac{a^n}{n!}<\frac{m}{1}\cdot\frac{m\cdot m\cdot m\cdots m}{2\cdot3\cdot4\cdots(n-1)}\cdot\frac{m}{n}<\frac{m^2}{n}\)夾逼得。

  證法三：（單調收斂）

  令\(x_{n+1}=\frac{a^n}{n!},\)則\(\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{a}{n+1}，\)當\(n>[a]\)時數列\(\{x_n\}\)單調減。又\(x_n=\frac{a^n}{n!}>0,\)單調有界，故收斂。兩端取極限值得\(a=a\cdot0,\)故而\(a=0.\)

這兩道例題均要注意其中幾個邊界值的大小關系。均滿足的放大才能走通。

2.2.5. 幾個重要極限

這幾個極限我們已經在上面證明過，簡單總結如下備查:

\[\begin{aligned} \lim\limits_{n\to\infty}C&=C(C為常數)\\\ \\ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}&=0(k為常數)\\\ \\ \lim\limits_{n\to\infty}q^n&=0(0<q<1,q為常數)\\\ \\ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}&=1(a>0,a為常數)\\\ \\ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}&=1(借助二項式展開)\\ \end{aligned}\]

2.3. 收斂數列的性質

一般的學習過程：概念、定義、性質、定理、推論、公式、方法、适當的練習（證明與應用）

我們在概念定義的基礎上探讨性質定理，實質可以歸結為以下三條：

1. 加深對概念的了解
2. 提高已有數學符号和概念的抽象程度，強化我們的數學直覺
3. 更快捷地使用

• 為何要讨論收斂數列的性質？

  前述的嚴密推斷——尤其時适當放大法——有時候不易想到，為了增添一些直覺性的能夠指導我們進行思考的了解，研究相關的性質是很有益的。

• 什麼是收斂數列？

  數列\(\{a_n\}\)有極限，則稱\(\{a_n\}\)收斂，否則稱\(\{a_n\}\)發散。

2.3.1. 唯一性

反證法：（同一法的思路）(也可以直接取\(\varepsilon=\frac{|a-b|}{2}\))

\[假設\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b,且a\not=b, \]

\[\begin{aligned}\forall\varepsilon>0,\,&\exists N_1,n>N_1時都有|a_n-a|<\varepsilon\\ &\exists N_2,n>N_2時都有|a_n-b|<\varepsilon\\ \end{aligned} \]

取

\[N=max\{N_1, N_2\},當n>N時 都有|a_n-a|<\varepsilon,|a_n-b|<\varepsilon$$于是 |a-b|\leq|a-a_n|+|a_n-b|\leq\varepsilon+\varepsilon\leq2\varepsilon. \]

由\(\varepsilon\)的任意性,a=b.

2.3.2. 有界性

2.3.2.1. 相關的性質

• 一個數列，改變其有限項或增删有限項收斂性不變，若原數列收斂，其仍然收斂且極限值不變。
• 對一個收斂數列的上述性質換一個說法，即設收斂數列\(\{a_n\}\to a\)，改變其有限項，新得到的數列\(\{a_n\}\)仍有\(\{a_n'\}\to a\)
• 若\(\exists常數M>0，\forall n\in\mathbb{N}\)均有\(|a_n|\leq M\),則稱\(\{a_n\}\)有界。

2.3.2.2. 有界性(\(\ast\))

若數列\(\{a_n\}\)收斂，則數列\(\{a_n\}\)有界.

證明：記\(\{a_n\}\)的極限是\(a\)，\(\forall \varepsilon>0,\)\(\exists N\in\mathbb{N},s.t.n>N\)時，有\(|a_n-a|<\varepsilon\),特别地取\(\varepsilon=1\)，\(|a_n|-|a|\leq |a_n-a|<1\),現取\(M=max\{a_1, a_2, a_3,\cdots,a_{N},1+|a|\}\)即為界。

逆否命題可用于證明發散，逆性質卻不正确：例如\(\{(-1)^n\}\):要多思考一個定理的反面。

2.3.3. 保序性

跑步比賽中先到的，一定會在接近終點的一段路程内跑在前面；

一直跑在前面的，必然不會後到。

2.3.3.1. 性質1

若\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b,\)且\(a<b\)，則當\(n>N_0,a_n<b_n\)

證明同樣是取\(\varepsilon=\frac{b-a}{2}\),可以得到

\[a_n<\frac{b-a}{2}+a=\frac{a+b}{2}< b-\frac{b-a}{2}< b_n \]

2.3.3.2. 性質2

若\(\exists N_0,\)當\(n>N_0\)時，都有\(a_n\geq b_n\),且\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a, \lim\limits_{n\to\infty}b_n=b,\)（這個叙述了極限存在，如果極限不存在，類比沒有跑到終點）則\(a\geq b\)

用反證法：設\(a<b\)

\(\exists N_1\in \mathbb{N},s.t.\,n>N_1時|a_n-a|<\frac{b-a}{2}.\)

\(\exists N_2\in \mathbb{N},s.t.\,n>N_2時|b_n-b|<\frac{b-a}{2}.\)

\(那麼a_n<\frac{a+b}{2}< b_n(利用性質1)\)

與題設沖突。

2.3.3.3. 思考

• 對性質1：

與極限大小相關的命題更加模糊（弱），更容易被推出（用模糊大小關系），但不容易推出别的結論。比如條件中必須有\(a<b\),如果取\(a\leq b，\)那麼條件太弱，根本保不住……

• 對性質2：

若條件中的“\(a_n\geq b_n\)”改成“\(a_n>b_n\)”可以嗎？

可以，相當于加強條件，原來結論仍然成立。

若結論中的“\(a\geq b\)”改成“\(a>b\)”可以嗎？

不可以！\(\color{#FF0000}{反例}\)：

\[\begin{aligned} a_n&=\ \frac{1}{n};\\ b_n&=(-\frac{1}{n}); \end{aligned}\]

2.3.3.4. 推論 保号性（\(\ast\)）

若\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a,(a<0)\)對任何常數\(0<\eta<a(a<\eta<0)\exists N\in\mathbb{N}, 當n>N\)\(時都有a_n>\eta>0(a_n<\eta<0)\)

證明時取\(\{b_n\}s.t.b_n=\eta,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\eta\)

2.3.4. 極限的四則運算性質

若\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a, \lim\limits_{n\to\infty}b_n=b,\)則：

\[\begin{aligned} &\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim\limits_{n\to\infty} a_n\pm\lim\limits_{n\to\infty} b_n,\\ &\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\cdot \lim\limits_{n\to\infty}b_n,\\ &\lim\limits_{n\to\infty}(C\cdot a_n)=C\cdot\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\\ &\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}=\frac{a}{b}. \end{aligned}\]

數列極限的四則運算可以推廣到有限多部， 前提是這些數列部的極限均存在；不能推廣到無限項，

• \(\color{#FF0000}{反例}\) \(\lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots\frac{1}{n}}_\text{n個})=0？？？\)

結合多種運算法則以及\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0\),得：

\[\begin{aligned} &\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_0\cdot n^k+a_1\cdot n^{k-1}+a_2\cdot n^{k-2}+\cdots a_k}{b_0\cdot n^m+b_1\cdot n^{m-1}+b_2\cdot n^{m-2}+\cdots b_m}\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^k}{n^m}\cdot\frac{a_0+a_1\cdot{\frac{1}{n}}+\cdots+a_k\cdot{(\frac{1}{n})}^k}{b_0+b_1\cdot\frac{1}{n}+\cdots+a_m\cdot{(\frac{1}{n})}^m}\\&= \begin{cases}0, & k<m;\\ \frac{a_0}{b_0},&k=m\\ \infty, &k>m\\ \end{cases} \end{aligned}\]

(抓大放小)

實際上是差別無窮大的階。

另外地，我們還可以有抓大放小的更一般的形式。

• 例 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^n+n^2}{e^n+\ln n}=\lim\limits_{b\to\infty}\frac{2^n}{e^n}=0.\)

但我們仍然會不時發現，四則運算法則不能解決所有的問題。比如當出現四則運算以外的運算結構時，我們會束手無措。

• 例

\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{2^n+3^n+4^n}=\)？這就需要我們研究出更為普适的方法來求解極限。

2.3.5. 極限值和無窮小之間的關系

\(\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x).\)其中\(\lim\alpha(x)=0.\)

2.4. 判斷數列收斂的兩個準則

2.4.1. 夾逼定理

内容：若\(\exists N_0,\)當\(n>N_0\)時，都有\(a_n\leq c_n\leq b_n\)且\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a, \lim\limits_{n\to\infty}b_n=a,\)那麼數列\(\{c_n\}\)收斂且\(\lim\limits_{n\to\infty}{c_n}=a.\)

證明：由題，\(\forall \varepsilon>0,\exists N_1\in\mathbb{N}, s.t.n>N_1\)時有\(|a_n-a|<\varepsilon,\exists N_2\in\mathbb{N},s.t.n>N_2\)時有\(|b_n-b|<\varepsilon\),取\(N=max\{N_0, N_1, N_2\},\)則當\(n>N\)時都有，\(a-\varepsilon\leq a_n\leq c_n\leq b_n< a+\varepsilon\),由\(\varepsilon\)的任意性，得證。

若一個數列有很多項相加或者相乘，但不能化簡，不能用極限的四則運算時，放縮後使得上下界數列極限相等。

• 例

  • \(1^。\)\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}(0<a\leq b\leq c, 均為常數)\)

    \(c=\sqrt[n]{c^n}\leq\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\leq \sqrt[n]{3c^n}=c\cdot\sqrt[n]{3}\)

    由重要極限\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1(a>0,a為常數)\)知，\(\lim\limits_{n\to\infty}{c\cdot\sqrt[n]{3}}=c\),再由夾逼定理知，原極限\(=c\)

  • \(2^。\)\(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt {1\cdot 2}}{n^2+1}+\frac{\sqrt{2\cdot 3}}{n^2+2}+\cdots\frac{\sqrt{n\cdot n+1}}{n^2+n}\right)=?\)

    證明：

  \[\begin{aligned} c_n&=\underbrace{\frac{\sqrt{1\cdot 2}}{n^2+1}+\frac{\sqrt{2\cdot 3}}{n^2+2}+\cdots+\frac{\sqrt{n\cdot n+1}}{n^2+n}}_\text{縮分母放大}\\ &<\frac{1}{n^2}\left(\sqrt{1\cdot 2}+\sqrt{2\cdot 3}+\cdots\sqrt{n\cdot (n+1)}\right)\\ &<\frac{1}{n^2}(\underbrace{\sqrt{2\cdot 2}}_\text{放大+消根号}+\sqrt{3\cdot 3}+\cdots+\sqrt{(n+1)\cdot(n+1)})\\ &=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n\cdot(n+3)}{2}=\frac{n+3}{2n}\to\frac{1}{2}（确定目标） \end{aligned}\] 由以上的上界數列我們已經找到了下界數列的目标極限值。

  \[\begin{aligned} c_n&>\frac{1}{n^2+n}\left(\sqrt{1\cdot 1}+\sqrt{2\cdot 2}+\cdots+\sqrt{n\cdot n}\right)\\ &=\frac{1}{n(n+1)}\cdot \frac{n(n+1)}{2}(等差求和)\\ &=\frac{1}{2}; \end{aligned}\] 由夾逼定理得證。

2.4.2. 單調有界收斂原理

内容：若數列\(\{a_n\}\)遞增有上界，即\(a_1\leq a_2\leq a_3\cdots \leq a_n\cdots，\)且\(\,\exists M=C,\forall n\in\mathbb{N}\)都有\(a_n\leq M,\)則\(\{a_n\}\)收斂。

• 注：
  • \(1^。\)（不證明）蘇德礦《微積分》将此作為公理，易于證明其他六個等價公理。
  • \(2^。\)（條件可減弱）定理條件可以減弱為\(\{a_n\}\)當\(n\geq N_0\)時單調有界。（改變有限項不改變原數列的收斂性）
  • \(3^。\)（使用情境）若\(\{a_n\}\)是由遞推關系式給出，或證明\(\{a_n\}\)收斂，或者不能用夾逼定理，嘗試用單調有界。（某些時候隻能證明收斂難以求出極限）<利用函數連續性，利用符合精度的近似值求解>

2.5. 研究\(\{{(1+\frac{1}{n})}^n\}\)的收斂性

• 首先，這個問題有無窮項，不能使用四則運算
• 其次，很難找到上下界數列，不能使用夾逼定理
• 于是，單調有界（剛好也是研究收斂性）定理可以使用

\[由平均值不等式:\sqrt[n+1]{{(1+\frac{1}{n})}^n\cdot 1}<\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1} \]

然後要證明有界

\[\begin{aligned} \sqrt[n]{\frac{1}{4}}&=\sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \underbrace{1\cdots 1}_\text{n-2個}}<\frac{1+n-2}{n}\\ &<1-\frac{1}{n}<1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\quad ■ \end{aligned}\]

簡單讨論一下上面使用的方法：在難以直接求出極限或者隻用求收斂性的時候，我們使用單調收斂原理。先求得收斂以後再想辦法找到極限\(\to\)利用函數連續性和收斂性解方程。

• 例

\[設c>0, x_1=\sqrt{c},x_2=\sqrt{c+\sqrt{c}}\cdots , \]

\[x_n=\sqrt{c+\underbrace{\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\cdots}}}}_\text{n-1個根号}} \]

證明\(\{x_n\}\)收斂,并求極限。

由條件\(x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}\),\(\,x_{n+1}-x_n=\sqrt{c+\sqrt{x_n}}-x_n\)=\(\frac{c+x_n-{x_n}^2}{\sqrt{c+x_n}+x_n}=\frac{x_n-x_{n-1}}{正數}\)，進而單調。而\(x_2-x_1=\sqrt{c+\sqrt{c}}-\sqrt{c}>0\)

\(\Rightarrow x_{n+1}-x_n>0\,\)得到單增(利用數學歸納法).

而又有

\[\begin{aligned} x_n&<\sqrt{c+x_n}\\ x_n^2&<c+x_n\\ x_n^2&-x_n-c<0\\ x_n&=\frac{1\pm\sqrt{1+4c}}{2} \end{aligned}\]

由二次函數的特性，\(x_n\)有上界，進而由單調有界收斂定理知\(\{x_n\}\)收斂,然後利用\(f(x)=\sqrt{c+x}\)的連續性,問題轉化為：

\[解方程：x=\sqrt{c+x},其中\,x>0. \]

在隻求分數的情況下，我們可以先解極限值，再用極限值反說有界，例如此題我們可以先解方程得\(極限a=\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}\)。

前面已經證明

\[x_n<x_{n+1},a<\frac{1+\sqrt{1+4c+4\sqrt{c}}}{2}<\frac{2+2\sqrt{c}}{2}=1+\sqrt{c}. \]

現在我們可以利用數學歸納法

\[\begin{aligned} x_{k+1}&=\sqrt{c+x_k}\\ &<\sqrt{c+1+\sqrt{c}}\\ &<\sqrt{c+1+2\sqrt{c}}\\ &=1+\sqrt{c} \end{aligned}\]

得知\(\{x_n\}\)有上界\(1+\sqrt{c}\)。進而亦能自洽。再給一個類似的例子：

• 例 \(x_0=1, x_n=\frac{2{x_{n-1}}^3+1}{3{x_{n-1}}^2}(n=1,2,3\cdots)\)證明：\(\{x_n\}\)收斂，并求\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n;\)

\[\begin{aligned} x_n-x_{n-1}&=\frac{2x_{n-1}^3+1}{3x_{n-1}^2}-x_{n-1}\\ &=\frac{-x_{n-1}^3+1}{3x_{n-1}^2} \end{aligned}\]

而由條件知\(x_n>0\)

\[x_n=\frac{1}{3}(x_{n-1}+x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}^2})\geq\sqrt{x_{n-1}\cdot x_{n-1}\cdot\frac{1}{x_{n-1}^2}}=1 \]

得\(x_n<x_{n-1}\),由單調有界收斂原理知收斂。解方程

\[a=\frac{2a^3+1}{3a^2} \]

得\(a=1\).

2.6. 子列

定義：設\(\{a_n\}\)是一個給定的數列，從該數列中挑選出無限項組成一個無限列：\(a_{n_1},a_{n_2},\cdots a_{n_k}\cdots\),稱為\(\{a_n\}\)的子列，記作\(\{a_{n_k}\}\).

• 性質：
  • \(1^。\)\(n_k\geq k\)
  • \(2^。\)數列\(\{a_n\}\)收斂的一個充要條件是：
  \[\small\{a_n\}的任一子列都收斂且極限相等。 \]
  • 推論：證明數列發散的另一個思路：一個數列存在兩個極限不相等的子列。
• 子列更好用的一個定理：數列\(\{a_n\}\)收斂的充要條件是：\(\{a_{2k}\}\)和\(\{a_{2k-1}\}\)均收斂且極限相等。

3. 函數極限

這一章主要學習關于函數極限的問題。主幹知識分為兩個大類：一類是函數極限的判定四種方法：

1. 左右極限
2. Heine定理
3. 夾逼定理
4. 單調收斂原理

均需要注意其與數列的聯系。

另一類是為求算極限服務的理論基礎：

1. 無窮量（大、小，階，性質）
2. 無窮量的等價替換原則
3. 連續
4. 重要極限模型

3.1. 從數列到函數

數列是一種離散的數學結構，為了解決普遍連續的數學問題，我們需要進一步讨論函數的極限問題。

數列的本質是一種以正整數集為定義域的函數，進而類比數列極限中得到的結果，即有：

設\(f(x)\)在\([a,+\infty)\)上有定義（\(a=C\)）若\(\,\exists A,s.t.\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\)當\(x>X\)時，都有\(|f(x)-A|<\varepsilon\)則稱\(f(x)\)當\(x\)趨于正無窮大時的極限為\(A\)，記作\(\lim\limits_{n\to\infty}=A\)或者\(f(x)\to A.\)

同樣地，我們可以定義負無窮大\(x<-X\)時。

對一般的\(\infty\):設\(f(x)\)在\((-\infty,a]\cup[b, \infty)(a\leq b)\), \(A\)是一個确定的常數，若\(\forall\varepsilon>0,\exists X>0, |x|>X\)時（即\(x>X\)或\(x<-X\)）時，均有\(|f(x)-A|<\varepsilon\)稱\(f(x)\)當\(x\)趨于無窮大時極限為\(A\)，記作\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\),或\(f(x)\to A\)

定理：\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\)的充分必要條件是\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A\)①,\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=A\)②.

證明：充分性：由①得\(\forall\varepsilon>0,\exists X_1>0\)，當\(x>X_1\)時都有\(|f(x)-A|<\varepsilon\),對上述\(\varepsilon\),\(\exists X_2\),當\(x<-X_2\)時都有\(|f(x)-A|<\varepsilon\),進而取\(X=max\{X_1, X_2\}\)得證。

(以上是為了證明這個定理，我們對X使用了角标)

• 例 證明：

\[\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^k}=0(k>0,k為常數) \]

證：

\[\begin{aligned} \forall\varepsilon>0,若要&|\frac{1}{x^k}-0|<\varepsilon成立，\\ \Leftrightarrow&\frac{1}{|x|^k}<\varepsilon\\ \Leftrightarrow&|x|^k>\frac{1}{\varepsilon}\\ \Leftrightarrow&|x|>{(\frac{1}{\varepsilon})}^{\frac{1}{k}}\\ 現在取&X={(\frac{1}{\varepsilon})}^{(\frac{1}{k})}>0即得 \end{aligned}\]

以上的極限，類似數列極限，是經由正向極大而産生的。但函數具有獨特的連續性，在這個連續性的基礎上，我們完全可以尋找對某一點周圍的稠密逼近。

畫圖以後，我們明白了這個稠密逼近的說法，是永遠不抵達該點，進而我們在求極限時隻需考慮空心鄰域\(U_0\)。

定義 若\(\delta_0>0，f(x)\)在\(U_0(x_0,\delta_0)\)中定義，\(\forall\varepsilon>0\),\(\exists \delta>0(\delta\leq\delta_0),\)當\(x\in U_0(x_0,\delta)\)時，都有\(|f(x)-A|<\varepsilon\),則稱\(f(x)\)當\(x\)趨于\(x_0\)的極限為\(A\)記作\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)或者\(f(x)\to A(x\to x_0)\)

由前述所說，函數極限的本質時連續逼近，這種連續帶來了極好的無限性。直覺地了解，隻要該點沒有大動作，都可以找到極限（極限小趨近，而數列隻能向極大）

• 例

  • \(1^。\)

    證明：\(\lim\limits_{x\to x_0}C=C\)

    如果改成\(x\to\infty?\)

    也成立。證明如下：

    \(\forall\varepsilon>0\)取\(h=1>0,\)當\(x\in(h, +\infty)\)時，有\(|C-C|=0<\varepsilon\);

  • \(2^。\)

    證明\(\lim\limits_{x\to x_0}x=x_0,\forall\varepsilon>0\)

    取\(\delta=\varepsilon\)當\(x\in U_0(x_0, \delta)\)時，\(|x-x_0|<\delta=\varepsilon\),即證。

  • \(3^。\)證明\(\lim\limits_{x\to1}(3x+2)=5\)

    \(\forall\varepsilon>0,\)若要\(|3x+2-5|=3|x-1|<\varepsilon\),取\(\delta=\frac{\varepsilon}{3}\),當\(x\in U_0(1,\frac{\varepsilon}{3})\)時，\(|x-1|<\frac{\varepsilon}{3}\),進而當\(3|x-1|<\varepsilon\)，即\(|3x+2-5|<\varepsilon\)

3.2. 函數極限的一個充要判别

對于函數在一點的極限情況，類比于正負無窮大。我們可以定義從正方向趨近的和負方向趨近的，即左極限和右極限。

右極限：設\(\exists\delta_0>0,f(x)\)在\(U_{0+}(x_0, \delta_0)\),\(A\)是确定常數。\(\forall\varepsilon>0,\exists0<\delta\leq \delta_0,\)當\(x<x_0+\delta\)都有\(|f(x)-A|<\varepsilon\),則稱\(f(x)\)在\(A\)的右極限是\(A\)，記作\(\lim\limits_{x\to x_{0+}}=A=f(x_0+0)=f(x_0^{+})\)

左極限：設\(\exists\delta_0>0,f(x)\)在\(U_{0-}(x_0,\delta_0)\)内定義，\(A\)是确定常數，\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta(\delta<\delta_0),x_0-\delta<x<x_0\)時，都有\(|f(x)-A|<\varepsilon,\)稱\(f(x)\)在\(A\)的左極限是\(A\)，記作\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A=f(x_0-0)=f(x_0-0)=f(x_{0-})\).

引入左右極限之後，我們找到了一個判别\(f(x)\)在一點\(x_0\)右極限的充分必要條件。即：

\(\lim\limits_{x\to x_{0-}}f(x)=\lim\limits_{{x\to x_{0+}}}f(x)\)

\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)的幾何意義:

\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\)\(x\in(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0, x_0+\delta)\)時，都有\(|f(x)-A|<\varepsilon\).分析之後我們發現是一個函數圖像在某一個點周圍波動極弱，隻要足夠逼近都可以發現一段相對平緩的變化。

3.3. 函數極限的性質

以\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)為例（\(x_0\)是常數）

• \(1^。\)（唯一性）
• \(2^。\)（局部有界性）

  正是因為這個單點極限是以才存在局部有界的可能。

  若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\)則\(\exists\delta_0>0,\)當\(x\in U_0(x_0, \delta_0)\)時，\(|f(x)|\leq M,\)

  證明：由\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\)取\(\varepsilon=1>0,\exists\delta_0>0,\)當\(0<|x-x_0|<\delta_0,\,\)都有\(\,|f(x)-A|<1.\)

  \(|f(x)|-|A|<|f(x)-A|<1\),故而可取\(M=1+|A|\)

• \(3^。\)（保序性）

  \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\)\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B.\)且\(A<B,\)則\(\exists\delta_0>0,\)當\(0<|x-x_0|<\delta_0\)時，有\(f(x)<g(x)\).

  • (推論) 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A>0,\)對任何常數\(\eta <A(或者A<\eta, A<0),\exists\delta \,s.t.\)當\(0<|x-x_0|<\delta\)時都有\(f(x)>\eta>0(f(x)<\eta<0)\)
• \(4^。\)（保序性II）\(\exists\delta_0，\)當\(0<|x-x_0|<\delta_0\)時，都有\(f(x)\leq g(x)\)且\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A，\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B，\)那麼\(A\leq B.\)

• \(5^。\)（四則運算性質）若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B,\)則

  \(\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=A\pm B\).

  \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=AB\).

  \(\lim\limits_{x\to x_0}C\cdot f(x)=C\cdot A\).

  \(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\).

  利用商法則，還可以得出以下三個重要結論：

  1. 極限非零的因子的極限可以先求出來。（連結等價量替換定理）
  2. 若\(\lim\frac{f(x)}{g(x)}\)存在，\(\lim g(x)=0,\Rightarrow\lim f(x)=0\)
  3. 若\(\lim\frac{f(x)}{g(x)}=A\not=0,\lim f(x)=0,\Rightarrow g(x)=0.\)

  • （補充）\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\geq 0,\)則\(\lim\limits_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{A}\)

• 例（消除零因子）

  \(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^3-1}=\)\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{2}{3}\)（有條件要上）

  \(\lim\limits_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)(沒有條件創造條件也要上)\(=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)({(\sqrt[3]{x})}^2+\sqrt[3]{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{3}{2}\)

有了如上的法則，我們可以更快地判别一個函數是否在一點有極限。

• 例

  \(f(x)=\begin{cases}x+\sqrt{1+x^2}&x<1\\x^2+2&x\geq1\end{cases}\)

  在\(x=1\)處沒有極限。（一進制多項式函數性質+根号法則）

3.4. Heine定理——另一個判别

3.4.1. Heine定理的内容和簡要證明

\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)存在的充要條件是：

若\(\forall{x_n}\subset U_0{(x_0)}\)且\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0\)，則\(\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)\)存在且值相等。

證明：必要性：\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)存在，設\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A，\)即\(\forall\varepsilon>0,\)當\(\,0<|x-x_0|<\delta\)時，\(|f(x)-A|<\varepsilon；\)然而對上述的\(\delta,\exists N\in\mathbb{N},n>N\)有\(|x_n-x_0|<\delta\)，進而得到\(|f(x)-A|<\varepsilon\)(類似複合函數)

充分性：(由于給出的現有條件是一個trigger類型的。是以必須先構造滿足條件的)\(\{x_n\}\subset U_0(x_0)。\)我們構造的能力是很有限的，因而不可能通過窮舉的思路找到所有數列，畢竟趨近方式很多種，很難保證數列收斂，對高度連續的函數就一定收斂；或者說這是一個由弱推強的問題，用反證法很适宜。)

（反證）假設\(f(x)\)當\(x\to x_0\)時不以\(A\)為極限，即\(\exists\varepsilon_0>0\)，對無論多麼小的\(\delta>0,\)

\(\exists x_1,s.t.0<|x_1-x_0|<\delta,\)仍有\(|f(x_1)-A|\geq\varepsilon_0,\)

\(\exists x_2,s.t.0<|x_2-x_0|<\frac{\delta}{2},\)仍有\(|f(x_2)-A|\geq\varepsilon_0,\)

\(\cdots\quad\cdots\)

\(\exists x_n,s.t.0<|x_n-x_0|<\frac{\delta}{n},\)仍有\(|f(x_n)-A|\geq\varepsilon_0,\)

進而我們構造出一個數列\(\{x_n\}\)且\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0，\)由trigger條件可以得到\(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A\),但是由反證假設\(|f(x)-A|\geq\varepsilon_0,\)産生了沖突。故此我們完成了由弱證強的問題。

3.4.2. Heine定理的應用

類似子列性質的推論，若\(\exists\{x_n'\},\{x_n''\}\subset U_0(x_0)\)且\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n'=x_0,\lim\limits_{n\to\infty}x_n''=x_0,\)有\(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n')=B,\lim\limits_{n\to\infty}x_n''=C\)且\(B\not=C\)或\(\{x_n\}\)滿足收斂但\(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)\)不存在

• 例

  證明：\(\lim\limits_{x\to0^+}\sin{\frac{1}{x}}\)不存在

  證：取\(x_n'=\frac{1}{2n\pi}>0,\,\)\(x_n''=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}>0\)

3.5. 無窮量與無窮量的階

在函數定義的語境之下，我們已經很清楚地了解到趨近于某一個确定的值的極限是什麼樣的。是以我們可以利用0來構造無窮小量的定義。

3.5.1. 無窮小量和無窮小量的階

3.5.1.1. 無窮小量

定義 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,\)稱\(f(x)\)當\(f(x)\)當\(x\)趨于\(x_0\)時是無窮小量。

• 例 \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0,\)稱\(\frac{1}{x}\)當\(x\to\infty\)時是無窮小量。

• 定理 (無窮小和極限的關系)若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\),\((A\)為有限常數\()\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\,\)其中\(\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0,\,\)

  證明略。

無窮小的用途：表征極限，等價量代換，導數，積分，無窮級數。

3.5.1.2. 無窮小量的性質

• \(1^。\)有限個無窮小量相加減仍然是無窮小量。
  • \(Tips\):一般來說：有限個成立的定理，在無限情況下不成立。
• \(2^。\)有限個無窮小量之積仍然是無窮小量。
  • 無限個時等于0.

在給出第三條性質之前必須要說明有界量的定義。

若\(\exists\delta_0>0,\exists M>0,\)當\(x\in U_0(x_0,\delta_0)\)時，都有\(|f(x)|\leq M\)(\(M\)為常數)，即\(f(x)\)在\(U_0(x_0,\delta_0),\)則稱\(f(x)\)當\(x\to x_0\)時是有界量。

若\(f(x)\)是有界函數，則\(\forall x_0\in\mathbb{D}\)處有界，\(f(x)\)是有界量。

• \(3^。\)有界量與無窮小量之積仍然是無窮小量

• 說明 對有界量不能任意使用乘積的運算法則。例如\(\sin\frac{1}{x}\)在\(x\to 0^+\)有界但是無極限。

  證明：

  由定義\(\exists\delta_0>0,\)當\(0<|x-x_0|<\delta_0，\)\(|f(x)|\leq M,\)\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0,\forall\varepsilon>0,\exists\delta_1>0,\)當\(0<|x-x_0|<\delta_1\)時都有\(|g(x)-0|<\varepsilon,\)進而取\(\delta=min(\delta_0, \delta_1),\)當\(0<|x-x_0|<\delta\)時都有\(|f(x)|\leq M, |g(x)|\leq\varepsilon,\)故當\(0<|x-x_0|<\delta\)時，\(|f(x)g(x)-0|=|f(x)g(x)|<M\cdot\varepsilon.\)

推論 有界函數與無窮小量之積仍是無窮小量。

• \(\color{#FF0000}{例誤}\) \(\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{\sin x}{x}}=1?\cdots=0\)

3.5.1.3. 無窮小量的階

為了解決無窮小量相除的問題，我們提出無窮小量的階。

如果\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0\):

• \(1^。\)\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0,\)則稱\(f(x)\)當\(x\to x_0\)是\(g(x)\)的高階無窮小量。記作\(f(x)=o(g(x))(x\to x_0),\,\)故有\(\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{o(g(x))}{g(x)}}=0.\)
  • 例 證明：\(o(x^3)-o(x^4)+o(x^4)-2o(x^8)\)無窮小量的最高階數是3
  \[\begin{aligned} &\lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x^3)-o(x^4)+o(x^4)-2o(x^8)}{x^3}\\ =&\lim\limits_{x\to 0}[\frac{o(x^3)}{x^3}-\frac{o(x^4)}{x^4}\cdot x+\frac{o(x^4)}{x^4}\cdot x-2\cdot\frac{o(x^8)}{x^8}\cdot x^5]\\ =&0. \end{aligned}\] 驗證發現，對\(x^4\)會出現\(\frac{1}{x}\)的結構，進而得到0。
• \(2^。\)若\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=C\)(\(C\)為常數，\(C\not=0\)),則稱\(f(x)\)為\(x\to x_0\)時是\(g(x)\)的同階無窮小量，特别地，當\(C=1\)時，\(f(x)\)與\(g(x)\)等價無窮小，記作\(f(x)\sim g(x)(x\to x_0)，\)對一般的\(C\)可以記作\(f(x)\sim C\cdot g(x).\)

3.5.2. 無窮大量和無窮大量的階

為什麼要研究無窮大？

為了解決無窮小量作分母的式子的含義。

3.5.2.1. 無窮大量

定義 \(f(x)\)在\(U_0(x_0,\delta_0)\)處滿足\(f(x)\not=0,\)若\(\lim\limits_{x\to x_0}=0,\)則稱\(f(x)\)當\(x\to x_0\)時是無窮大量。記作\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty.\)

這個定義建立在無窮小的基礎上，進而我們可以使用類似的思路，\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=0,\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\,s.t.\delta \leq\delta_0\)當\(0<|x-x_0|<\delta\)時，都有\(|\frac{1}{f(x)}|<\varepsilon.\Leftrightarrow |f(x)|>\frac{1}{\varepsilon}\xlongequal{記為}M。\)進而我們定義了無窮大量。去掉絕對值還可以定義正負無窮大量。

• 例

  證明\(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x^k}=+\infty\)：

  \(\forall\varepsilon>0,\)若要有

  \(\frac{1}{x^k}>M\Leftrightarrow x^k<\frac{1}{M},\Leftrightarrow x<{(\frac{1}{M})}^{\frac{1}{k}}。\)取\(\delta={(\frac{1}{M})}^{\frac{1}{k}}\)即可。

• 定理
  • \((i)\)若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\)則\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=0.\)
  • \((ii)\)若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,\)且\(\exists\delta_0,\)當\(x\in U_0(x_0, \delta_0)\)時，\(f(x)\not=0,\)則\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=\infty.\)

  • 為什麼要在第二條裡加限制？

    例如\(\lim\limits_{x\to x_0}0=0,\)但它不是無窮小量。\(\frac{1}{0}\)無意義。

• 現在就可以來解決多項式函數相除的無窮大問題了。

  由于\(\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{Q_m(x)}{P_n(x)}=0,}\)故而\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\infty.\)

3.5.2.2. 無窮大量的性質

• 兩個無窮大相加不一定是無窮大。
• \(1^。\)有限個無窮大之積仍是無窮大。
• \(\color{#FF0000}{反例？}\)（留待一緻收斂解決）

\[\begin{aligned} 1,2,3,4,5\cdots\\ 1,\frac{1}{2^2},3,4,5\cdots\\ 1,1,\frac{1}{3^3},4,5\cdots\\ 1,1,1,\frac{1}{4^4},5\cdots\\ \end{aligned}\]

乘在一起甚至收斂。

• \(2^。\)有界量和無窮大量之和仍是無窮大量

  推論：若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\)

  • \(\color{#FF0000}{反例}\) 有界量和無窮大量之積可能不是無窮大量。

\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=C，\)則\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot g(x)=\infty\)

• \(3^。\)有界函數和無窮大量之和仍是無窮大量。

  由\(3^。\)，我們還能得到：

• \(4^。\)若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=C(\)常數\(，C\not=0)\), \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0,\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty.\)

推廣 若\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1,\)稱\(f(x)\)當\(x\to x_0\)時是\(g(x)\)的等價量，且這種等價具有傳遞性。

• 例

  \(\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=A(\)常數，且\(\not=0),\)則\(f(x)\sim A.\)

說明：等價在廣義極限存在的情況下才有意義。無窮大對應的廣義極限算一種“壞好人”。比無界等概念強，例如以下論斷不正确：

若\(f(x)\)在\(x_0\)的任意空心鄰域内無界（可以是大起大落的無界，\(y=\sin\frac{1}{x}\)），則\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty.\)

3.5.2.3. 無窮大量的常見比較

對數列極限：

當\(n\to\infty\)時，

\[\ln^{\alpha}n\ll n^{\beta}\ll a^n\ll n!\ll n^n. \]

其中\(\alpha>0,\beta>0,a>1.\)

對函數極限：

當\(x\to\infty\)時，

\[\ln^{\alpha}x\ll x^{\beta}\ll a^x \]

其中\(\alpha>0,\beta>0,a>1.\)

3.5.3. 等價量替換定理

若當\(x\to x_0\)時，\(f(x)\sim f_1(x), g(x)\sim g_1(x), h(x)\sim h_1(x)\)且\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)}=A/\infty/\)不存在。則\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f_1(x)\cdot g_1(x)}{h_1(x)}=\)\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f_1(x)\cdot g_1(x)}{h_1(x)}\cdot\frac{f(x)}{f_1(x)}\cdot\frac{g(x)}{g_1(x)}\cdot\frac{h_1(x)}{h(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)}=A/\infty/\)不存在

當且僅當求分式極限時，可以把（分子分母中的）複雜因式用它們的（形式簡單的）等價因式進行替換，所得極限不變。幂指數結構都不能替換。

• \(\color{#00FFFF}{注意：}\)分子分母中帶有加減項的不能任意替換。下面給出兩個可以替換的情形：
• \(1^。\)若\(\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,\)且\(\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}\not=1,\)則\(\alpha-\beta\sim\alpha_1\beta_1.\)

• \(2^。\)若\(\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,\)且\(\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\not=-1,\)則\(\alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1\).

  摸魚法證明第一條。

  • \[\lim\frac{\alpha-\beta}{\alpha_1-\beta_1}=\lim\frac{\beta(\frac{\alpha}{\beta}-1)}{\beta_1(\frac{\alpha_1}{\beta_1}-1)}=\lim\frac{\beta}{\beta_1}\cdot\frac{\lim(\frac{\alpha}{\beta}-1)}{\lim(\frac{\alpha_1}{\beta_1}-1)} \] 欲使這個極限有意義，必然需要\(\frac{\alpha}{\beta}\not= 1\)。
• 例 cj.p18.ex25(2009II)

\[\begin{aligned} &\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-\cos x)[x-\ln(1+\tan x)]}{\sin^4 x}\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2[(x-\tan x)+(\tan x-\ln (1+\tan x))]}{x^4}\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x-\tan x}{x^2}+\frac{\tan x-\ln(1+\tan x)}{x^2}\right)\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{-\frac{1}{3}x^3}{x^2}+\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}\right)\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot\left(0+\frac{1}{2}\right)\\ =&\frac{1}{4} \end{aligned}\]

• \(\color{#00FFFF}{思考：}\)為什麼此處可以使用插項方法？作圖之後我們可以發現，\(y=\ln(1+\tan x)\)和\(y=\tan x\)的圖像在\(y=x\)的兩側，直接将它們等價于\(y=x\)則顯而易見地忽略了本來不大的占主導因素的間隙。但我們通過這個插項，将它們之間的間隙有效地二分計算出來。

性質（極限四則運算的存在性中最常用的一條性質jc.p19） 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)不存在，\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=C\not=0\)則\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)\)不存在。

反證：假設存在極限記為\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=b,\)\(\Rightarrow\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)\frac{1}{g(x)}=\frac{b}{C},\)進而與題設沖突。

從這個性質中我們可以歸納出可以分步求出某部極限的條件：極限不為零的因子可以先求出極限。

3.6. 判斷函數極限的準則

同樣有夾逼定理：

• 若\(\exists\delta_0>0,\)當\(0<|x-x_0|<\delta_0\)時都有\(f(x)\leq h(x)\leq g(x)\)(規定極限條件下的大小關系)，且\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=A,\)那麼\(\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A.\)

• 例

  求\(\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot[\frac{1}{x}]\)

  解：利用\(1=x\cdot\frac{1}{x}\leq x\cdot[\frac{1}{x}]<x\cdot (\frac{1}{x}+1)=1+x.\)

函數的單調有界定理（不要求）

3.7. 兩個重要函數極限

• \(1^。\)

  \(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin x}{x}=1;\)

• \(2^。\)

  \(\lim\limits_{x\to x_0}{(1+\frac{1}{x})}^x=e.\)

  一般的，先把兩側逼近換成單側逼近，分部解決。

  嘗試提公因式化簡；

  利用夾逼定理找到極限。

3.7.1. 多項式和三角的關系

對\(1^。\)\(x>0\)時，利用面積法得到\(\sin x<x<\tan x\),\(\cos x<\frac{\sin x}{x}< 1\),右式已經很友善操作了。

利用這個現成結果，我們可放縮得到\(\cos\)的的不等式。\(1-\cos x=2\sin^2x<2\cdot{(\frac{x}{2})}^2=\frac{x^2}{2}.\)即\(\cos x>1-\frac{x^2}{2}.\)我們又得到了下界，進而夾逼得證。

對于\(x<0\)的情況。利用變量代換。\(\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{\sin(-t)}{-t}=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{\sin(t)}{t}.\)

在求證三角函數的連續性之前，我們利用這個夾逼，同時也求出了\(\lim\limits_{x\to0}\cos x=1。\)

對于這個重要極限，我們還可寫成一般形式：若\(f(x)\to0,\)且\(f(x)\not=0,\)則\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin f(x)}{f(x)}=1\)

• 對\(x\)和\(\sin x\)我們還有以下不等式\(|\sin x|\leq|x|\),當且僅當\(x=0\)時取等。
• 利用以上極限，我們還可以得到：\(\tan x\sim x\)，\(1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2.\)

3.7.2. 多項式和\(e\)的關系

對\(2^。\)，作以下證明。

\(\lim\limits_{x\to\infty}{(1+\frac{1}{x})}^x=e\)對\(x\in\mathbb{N}\)時結論已經成立。

先讨論\(x\to+\infty,\)不妨設\(x\geq1,[x]\in\mathbb{N},\)

由

\[\begin{aligned} [x]\leq &x<[x]+1\\ \frac{1}{[x]+1}<&\frac{1}{x}\leq1+\frac{1}{[x]}\\ {(1+\frac{1}{[x]+1})}^x<&{(1+\frac{1}{x})}^x\leq{(1+\frac{1}{[x]})}^x(幂函數單增)\\ {(1+\frac{1}{[x]+1})}^{[x]}<&{(1+\frac{1}{x})}^x<{(1+\frac{1}{[x]})}^{1+[x]}(高斯函數的特性，指數函數的單增性)\\ \end{aligned}\]

而\(\lim\limits_{x\to+\infty}{(1+\frac{1}{[x]+1})}^{[x]}\xlongequal{[x]=n}\lim\limits_{n\to+\infty}{(1+\frac{1}{n+1})}^n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{{(1+\frac{1}{n+1})}^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}\left(=\frac{e}{1}\right)=e.\)

同理得：上界也可以變換出\(e\cdot 1=e,\)夾逼得證。

對\(x\to -\infty\)利用先前結果\(\lim\limits_{x\to-\infty}{(1+\frac{1}{x})}^x \xlongequal{令x=-t}\lim\limits_{t\to+\infty}{(1-\frac{1}{t})}^{-t}=\lim\limits_{t\to+\infty}{(1+\frac{1}{t-1})}^{t-1}\cdot(1+\frac{1}{t-1})=e.\)故得證。

一個更有價值的結論(\(1^\infty\)型無窮)

對\(f(x)\to0(x\to x_0)\),則\(\lim\limits_{x\to x_0}{(1+f(x))}^{\frac{1}{f(x)}}=e.\)

• 例
  • \(1^。\) \(\lim\limits_{x\to0}{(1-3x)}^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to0}{\{{[{1+(-3x)}]}^{\frac{1}{3x}}\}}^{-3}=e^{-3}\)
  • \(2^。\) \(\lim\limits_{x\to0}{(\cos x)}^{\frac{1}{1-\cos x}}=\lim\limits_{x\to0}{\{{[1+(\cos x-1)]}^{{\frac{1}{\cos x-1}}}\}}^{-1}=\frac{1}{e}.\)

3.8. 函數連續

函數極限的定義來自于空心鄰域的取值趨勢，那如果我們将中心點納入讨論範圍，自然地我們展開了對該點的連續性的研究。這是極限求算的重要理論基礎。

3.8.1. 函數連續的三種定義

• \(1^。\)(将中心點加入極限定義：空心變實心，差量可為0)：

  設對函數\(f(x)，\exists\delta_0>0,s.t.\)在\(U(x_0,\delta_0)\)中有定義。\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,(\delta\leq\delta_0),\)當\(|x-x_0|<\delta\)時都有\(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon，\)稱\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處連續。（特殊的極限）

• \(2^。\)

  \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(\lim\limits_{x\to x_0}x),\)由于已知\(x\)的分布是一種數軸連續分布，進而也可寫作\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).\)

• \(3^。\)

  一種新的定義形式

  \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))=0,\)定義\(\Delta x=x-x_0\)為自變量的增量，\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)稱為因變量的增量，則原式可以記為\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0.\)

3.8.2. 左連續和右連續

隻定義右連續:\(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\)

再定義左連續後，可以類似極限提出一個充分必要條件：左右連續則該點連續。

3.8.3. 間斷點與間斷點的分類

定義：若\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)的某去心鄰域有定義，且在\(x=x_0\)處不連續，則稱\(x=x_0\)為間斷點。

分析知：連續點滿足以下三個條件：

• \(1^。\)\(x_0\in\mathbb{D}(f)\).
• \(2^。\)\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)存在.

• \(3^。\)\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)

  違背其中任意一條就是間斷點。

間斷點的分類：

• \(1^。\)（違背1/3，不違背2）

  若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)存在，但\(x=x_0\)處為間斷點，稱為\(x=x_0\)處的可去間斷點。（極限存在與該點的值不同，可以通過改變這一點的值使得在該點連續）

• \(2^。\)（違背2的其中一種情況，3也不成立，1無所謂）左右極限存在但不相等。

  記

  \[\begin{cases} &\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0^+)\\ &\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0^-)\\ \end{cases}\]

  但是\(f(x_0^+)\not=f(x_0^-),\)稱\(x=x_0\)是跳躍間斷點。\(|f(x_0^+)-f(x_0^-)|\)稱為跳躍度。

• \(3^。\)（違背2的另一種情況）左右極限至少有一個不存在。

  其中，若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty,x=x_0\)則稱\(x=x_0\)是無窮間斷點。

• 例

  證明：\(f(x)=\sin x\in C(\mathbb{R}):\) \(\forall\varepsilon>0,\)若要\(|\sin x-\sin x_0|<\varepsilon\)成立，\(|\sin x-\sin x_0|=|2\cos{(\frac{x+x_0}{2})}\cdot\sin{(\frac{x-x_0}{2})}|\leq2\cdot|\frac{x-x_0}{2}|=|x-x_0|.\)隻要取\(\delta=\varepsilon,\)則當\(|x-x_0|<\delta\)時就有\(|\sin x-\sin x_0|\leq|x-x_0|<\varepsilon.\)同理可以證明\(\cos x\)在\(\mathbb{R}\)上連續。

3.8.4. 連續的性質

• \(1^。\)（局部有界性）若\(f(x)\)在\(x_0\)處連續，則\(\exists\delta_0>0,\)當\(x\in U(x_0, \delta),\)都有\(|f(x)|\leq M\)（\(M\)為常數）。（這個性質由定義1是顯然的）
• \(2^。\)（保序性）若\(f(x),g(x)\)在\(x_0\)處連續且\(f(x_0)<g(x_0),\exists\delta_0>0,\)當\(x\in U(x_0,\delta_0)\)時，都有\(f(x)<g(x).\)
  • 推論 （保号性）若\(f(x)\)在\(x_0\)處連續且\(f(x_0)=0,\)對任何\(0<\eta<f(x_0), \eta\)為常數，\(\exists\delta>0,s.t.\)當\(x\in U(x_0,\delta)\)時\(f(x)>\eta>0.\)
• \(3^。\)(四則運算性質)若\(f(x),g(x)\)在\(x_0\)處均連續，則\(f(x)\pm g(x),f(x)\cdot g(x),C\cdot f(x),\frac{f(x)}{g(x)}.\)在\(x_0\)處都連續。

3.8.5. 初等函數的連續性

3.8.5.1. 幾種初等函數連續性說明

• \(1^。\)\(y=C,（C\)為常數\(），\)在\(\mathbb{R}\)上顯然連續。
• \(2^。\)由\(y=\cos x,y=\sin x\)在\(\mathbb{R}\)上連續，利用四則運算的性質可得\(y=\tan x, y=\cot x, y=\csc x, y=\sec x\)在相應的定義域上連續。
• \(3^。\)\(y=a^x,\)可以證明連續:\(x_0\in\mathbb{R},\lim\limits_{\Delta x\to 0}(a^{x+\Delta x}-a^x)=a^{x_0}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to0}(a^{\Delta x}-1)=0.\)
• \(4^。\)利用反函數的連續性定理得到\(y=\log_ax\)和衆多反三角函數在定義域連續。
• \(5^。\)利用複合函數連續性定理，得\(x^a=e^{a\ln x}\)是連續的。

3.8.5.2. 複合函數的連續性定理

若\(u=\varphi(x),\)在\(x=x_0\)處連續，\(y=f(x)\)在\(u=u_0=\varphi(x_0)\)處連續，則複合函數\(y=f(\varphi(x_0))\)在\(x=x_0\)處連續.

證：由\(y=f(u)\)在\(u=u_0=\varphi(x_0)\)處連續，\(\forall\varepsilon>0,\)當\(|u-u_0|<\delta,\)都有\(|f(u)-f(u_0)|<\varepsilon,\)而由\(\varphi(x)\)在\(x_0\)處連續，對上述\(\delta>0,\exists\delta_1>0,\)當\(|x-x_0|<\delta_1\)時都有\(|\varphi(x)-\varphi(x_0)|<\delta,\Rightarrow|u-u_0|<\delta\)(分析+綜合法)知\(f(\varphi(x))\)在\(x=x_0\)處連續，而\(\lim\limits_{x\to x_0}f(\varphi(x))=f(\varphi(x_0))\)

另外可以寫作\(\lim\limits_{x\to x_0}f(\varphi(x))=f(\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)).\)

推論 若\(\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=u_0(u_0\)是常數\()\)且\(y=f(u)\)在\(u=u_0\)處連續，則\(\lim\limits_{x\to x_0}f(\varphi(x))=f(\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)).\)

證：令

\[h(x)= \begin{cases} \varphi(x),&x\not= x_0,\\ u_0,&x=x_0\\ \end{cases} \]

知\(h(x)\)在\(x=x_0\)處連續，\(y=f(u)\)在\(u=u_0=h(x_0)\)處連續，則\(\lim\limits_{x\to x_0}f(h(x))=f(\lim\limits_{x\to x_0}h(x))\),而極限本身是有關一個空心鄰域，原問題得證。

3.8.5.3. 初等函數連續性定理

\(1^。\)六種基本初等函數在定義域内每一點處都連續。

\(2^。\)初等函數在定義域區間上的每一點都連續。

• \(\color{#00FFFF}{思考：}\)為什麼是區間上？
  • \(\color{#FF0000}{反例}\) \(y=\sqrt{\cos x-1}\)是由\(y=\sqrt u\)與\(y=\cos x-1\)經過一次複合得到，知\(y=\sqrt{\cos x-1}\)是初等函數。而其定義域為\(\{x\in\mathbb{R}|x=2k\pi,k\in\mathbb{Z}\},\)在每一個離散的點處不連續。

已知連續性後，我們就可以對特定點處的極限直接求解。

• 例

\[\begin{aligned} &\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x}\\ \color{#FF0000}=&\color{#FF0000}{\lim\limits_{x\to0}\frac{x-x}{\sin^3x}}=0(加減誤用)\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{\sin^3x\cdot\cos x}\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3\cdot1}=\frac{1}{2}\\ \end{aligned}\]

這個方法如果沒有\(\cos x\)函數的連續性就是不嚴謹的。

3.8.6. 連續的幾個宏定義

如果\(f(x)\)在開區間\((a,b)\)内每一點都連續（雙側連續），則稱\(f(x)\)在開區間\((a,b)\)上連續。

如果\(f(x)\)在開區間\((a,b)\)内每一點都連續，且在\(x=a\)處右連續，在\(x=b\)處左連續，稱\(f(x)\)在閉區間\([a,b]\)上連續。

如果\(f(x)\)在區間\(I\)上連續，在\(I\)上曲線稱為連續曲線。

3.8.7. 閉區間上連續函數的性質

3.8.7.1. 最值定理：

若\(f(x)\in C[a,b],\)則稱\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定能取到最大值\(M\)和最小值\(m，\)即\(\exists x_1, x_2\in[a,b]s.t.f(x_1)=M, f(x_2)=m.\)且\(\forall x\in[a,b],\)均有\(m\leq f(x)\leq M.\)

推論 \(1^。\)：若\(f(x)\in C[a,b],\)則\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界。

推論 \(2^。\)：若\(f(x)\in C[a,b],\)則\(R(f)\in[m, M].\)

3.8.7.2. 介值定理

• 介值定理：若\(f(x)\in C[a,b]\)且\(f(a)\not=f(b),\)則對于\(f(a)\)和\(f(b)\)之間的任一常數\(C\)，至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)使得\(f(\xi)=C.\)與零點存在性定理互證。
• 零點存在性定理：若\(f(x)\in[a,b]\)且\(f(a)\cdot f(b)<0,\)則\(\exists\xi\in(a,b)s.t.f(\xi)=0.\)

• 例

  證明：\(x-\varepsilon\sin x=1\)僅有一個實根，其中\(\varepsilon\)是常數，\(0<\varepsilon<1。\)

  證：令\(f(x)=x-\varepsilon\sin x-1,\)先證明\(f(0)=-1<0,f(2)=2-\varepsilon\sin2-1=1-\varepsilon\sin2>0.\)是以根存在。

  \(\xi\in(0,2)\subset\mathbb{R}\,s.t.f(\xi)=0.\)假設\(\exists x_1, x_2\in\mathbb{R},\)且\(x_1, x_2\)有

\[\begin{aligned} &x_1-\varepsilon\sin x_1-1=0\qquad(1)\\ &x_2-\varepsilon\sin x_2-1=0\qquad(2) \end{aligned} \]

\((1)-(2)：\)\(|x_1-x_2|=|\varepsilon(\sin x_1-\sin x_2)|=\varepsilon|\sin x_1-\sin x_2|=2\cdot\varepsilon|\cos\frac{x_1+x_2}{2}\sin \frac{x_1-x_2}{2}|\leq 2\varepsilon|\sin\frac{x_1-x_2}{2}|\leq\varepsilon|x_1-x_2|，\)相消得：\(1\leq\varepsilon<1.\)發生沖突。

3.9. 11個重要極限

求解原則：

1. 等價量代換（分式極限才可）
2. 一次求完極限（分步違背了“公平原則”）
3. 求完極限後，可以利用同階無窮小量的倍式等價結構作為進一步的求解的定理。

\[\begin{aligned} 1^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\\\ \\ 2^。&\lim\limits_{x\to0}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e\\\ \\ 3^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.\\\ \\ 4^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\\\ \\ 5^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\\=&\lim\limits_{x\to0}\ln{(1+x)}^{\frac{1}{x}}\\=&\ln e=1.\\\ \\ 6^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\xlongequal{x=\ln(1+u)}\lim\limits_{u\to 0}\frac{u}{\ln(1+u)}\\=&\lim\limits_{u\to0}\frac{u}{u}=1.\\\ \\ 7^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x\ln a-1}}{x}\\=&\lim\limits_{x\to0}\frac{x\ln a}{x}=\ln a.\\\ \\ 8^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{{(1+x)}^a-1}{x}\\=&\lim\limits_{x\to0}\frac{a\ln(1+x)}{x}=a.\\\ \\ 9^。&\lim\limits_{x\to0}u(x)=a,(a為常數)),\lim\limits_{x\to x_0}v(x)=b,(b為常數).則：\\ &\lim\limits_{x\to x_0}{u(x)}^{v(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}e^{v(x)\ln u(x)}\xlongequal{利用\ln x,e^x的連續性}a^b. \\\ \\ 10^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}\xlongequal{x=\sin t}\lim\limits_{t\to0}\frac{t}{\sin t}=\lim\limits_{t\to0}\frac{t}{t}=1.\\\ \\ 11^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}\xlongequal{x=\tan t}\lim\limits_{t\to0}\frac{t}{\tan t}=1.\\\ \\ \end{aligned}\]