文章目錄
- 前言
- 定積分(Reimann積分)引入
- 定積分的定義
- 分割
- 積分和(Reimann和)
- 可積(Reimann可積)
- Newton-Leibniz公式
- 可積的條件
- 可積的必要條件
- 可積的充分條件
- 可積的充要條件
- 定義：Darboux和
- 可積準則
- 可積準則
- 定積分的基本性質
- 積分中值定理
- 積分第一中值定理
- 推論
- 變限積分
- 原函數存在定理(微積分學基本定理)
- 積分第二中值定理
- 推論
- 定積分的一些應用
- 平面圖形的面積
- 參數方程
- 極坐标方程
- 由平行截面面積求體積
- 旋轉體的體積
- 弧長與曲率
- 弧長
- 參數方程
- 直角坐标方程
- 極坐标方程
- 曲率
前言
本文介紹定積分(黎曼積分)的推導以及定積分的一些性質和定理。
定積分(Reimann積分)引入
定積分的定義
分割
設閉區間上有個點，依次為
這些分點把分成個小區間.這些分點或這些閉子區間構成對的一個分割，并記
為分割的模。(一稱細度)
積分和(Reimann和)
設是定義在上的一個函數，對的一個分割, 任取點, 并作和式
稱此和式為函數在上的一個積分和(Reimann和)。
可積(Reimann可積)
設是定義在上的一個函數，是一個确定的實數。若對, , 使得對的任何分割, 以及在其上任意選取的點集, 隻要, 就有
則稱函數在區間上可積或Reimann可積；數稱為在上的定積分或Reimann積分，記作
上面的描述對定積分進行了抽象的定義，可以說定積分是一種更為複雜的極限，因為每一個細度可能有多個積分和的值與之對應。
Newton-Leibniz公式
若函數在上連續，且, 則在上可積(可以不連續)，且有
可積的條件
可積的必要條件
- 若函數在上可積，則在上必定有界。
可積的充分條件
- 若為上的連續函數，則在上可積；
- 若是區間上隻有有限個間斷點的有界函數，則在上可積；
- 若為上的單調函數，則在上可積(單調函數若有無限多個間斷點，仍可積)。
可積的充要條件
定義：Darboux和
設為對的任一分割，由在上有界，它在每個上存在上、下确界：
作和
分别稱為關于分割的上和與下和(或稱達布上和與達布下和，統稱達布和)。
任給 顯然有
- 與積分和相比，達布和隻與分割有關，與點集KaTeX parse error: Undefined control sequence: \x at position 3: \{\̲x̲_i\}無關。是以可以由上述不等式的讨論來進行對函數是否可積的分析。
可積準則
函數在上可積 相應的分割，使得
⋆
\star
⋆可積準則
設, 稱為函數在上的振幅，亦記為.根據這一定義，可積準則也可以表示為
函數在上可積 相應的分割，使得
定積分的基本性質
- 線性性；
- 若在上可積，則在上可積;
- 區間可加性(分區間可積則在全區間可積)；
- 非負函數積分非負；
- 積分的不等式性: 若兩可積函數滿足, 則有
- 若在上可積，則在上可積, 且有：
積分中值定理
積分第一中值定理
若在連續，則至少存在一點, 使得
推論
若均在上連續，且在上不變号，則至少存在一點, 使得
變限積分
由定積分的性質(子區間可積則全區間可積)，可定義下面的變上限積分和變下限積分(統稱為變限積分):
- 若在上可積，則在上連續。
原函數存在定理(微積分學基本定理)
若在上連續，則在上處處可導，且
積分第二中值定理
設函數在上可積，
(i) 若函數在上減，且, 則存在, 使得
(ii) 若函數在上增，且, 則存在, 使得
推論
若函數在上可積，若為單調函數, 則存在, 使得
定積分的一些應用
平面圖形的面積
一般的平面圖形可以由定積分公式的組合直接得到，下面主要讨論由參數方程、極坐标方程給出的平面圖形的面積的計算。
參數方程
設曲線由下述參數方程給出
在上連續，連續可微且. 記(或) 則此曲線與直線以及軸所圍成的平面圖形的面積為
極坐标方程
設曲線由下面的極坐标方程給出
其中在上連續，.由曲線與兩射線所圍成的平面圖形，一稱扇形。其面積為
由平行截面面積求體積
設為截面面積函數，則一般的立體體積公式為
旋轉體的體積
旋轉體是由平面圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體，則其體積為
旋轉體是由平面圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體，則其體積為
弧長與曲率
弧長
參數方程
設曲線是一條沒有自交點的非閉的平面曲線，由參數方程
給出。若與在上連續可微，則是可求長的，且弧長為
直角坐标方程
, 其弧長為
極坐标方程
, 其弧長為
![納斯達克指數最近收益和未來收益的關系[圖]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)