文章目录
- 前言
- 定积分(Reimann积分)引入
- 定积分的定义
- 分割
- 积分和(Reimann和)
- 可积(Reimann可积)
- Newton-Leibniz公式
- 可积的条件
- 可积的必要条件
- 可积的充分条件
- 可积的充要条件
- 定义：Darboux和
- 可积准则
- 可积准则
- 定积分的基本性质
- 积分中值定理
- 积分第一中值定理
- 推论
- 变限积分
- 原函数存在定理(微积分学基本定理)
- 积分第二中值定理
- 推论
- 定积分的一些应用
- 平面图形的面积
- 参数方程
- 极坐标方程
- 由平行截面面积求体积
- 旋转体的体积
- 弧长与曲率
- 弧长
- 参数方程
- 直角坐标方程
- 极坐标方程
- 曲率
前言
本文介绍定积分(黎曼积分)的推导以及定积分的一些性质和定理。
定积分(Reimann积分)引入
定积分的定义
分割
设闭区间上有个点，依次为
这些分点把分成个小区间.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割，并记
为分割的模。(一称细度)
积分和(Reimann和)
设是定义在上的一个函数，对的一个分割, 任取点, 并作和式
称此和式为函数在上的一个积分和(Reimann和)。
可积(Reimann可积)
设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。若对, , 使得对的任何分割, 以及在其上任意选取的点集, 只要, 就有
则称函数在区间上可积或Reimann可积；数称为在上的定积分或Reimann积分，记作
上面的描述对定积分进行了抽象的定义，可以说定积分是一种更为复杂的极限，因为每一个细度可能有多个积分和的值与之对应。
Newton-Leibniz公式
若函数在上连续，且, 则在上可积(可以不连续)，且有
可积的条件
可积的必要条件
- 若函数在上可积，则在上必定有界。
可积的充分条件
- 若为上的连续函数，则在上可积；
- 若是区间上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积；
- 若为上的单调函数，则在上可积(单调函数若有无限多个间断点，仍可积)。
可积的充要条件
定义：Darboux和
设为对的任一分割，由在上有界，它在每个上存在上、下确界：
作和
分别称为关于分割的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)。
任给 显然有
- 与积分和相比，达布和只与分割有关，与点集KaTeX parse error: Undefined control sequence: \x at position 3: \{\̲x̲_i\}无关。所以可以由上述不等式的讨论来进行对函数是否可积的分析。
可积准则
函数在上可积 相应的分割，使得
⋆
\star
⋆可积准则
设, 称为函数在上的振幅，亦记为.根据这一定义，可积准则也可以表示为
函数在上可积 相应的分割，使得
定积分的基本性质
- 线性性；
- 若在上可积，则在上可积;
- 区间可加性(分区间可积则在全区间可积)；
- 非负函数积分非负；
- 积分的不等式性: 若两可积函数满足, 则有
- 若在上可积，则在上可积, 且有：
积分中值定理
积分第一中值定理
若在连续，则至少存在一点, 使得
推论
若均在上连续，且在上不变号，则至少存在一点, 使得
变限积分
由定积分的性质(子区间可积则全区间可积)，可定义下面的变上限积分和变下限积分(统称为变限积分):
- 若在上可积，则在上连续。
原函数存在定理(微积分学基本定理)
若在上连续，则在上处处可导，且
积分第二中值定理
设函数在上可积，
(i) 若函数在上减，且, 则存在, 使得
(ii) 若函数在上增，且, 则存在, 使得
推论
若函数在上可积，若为单调函数, 则存在, 使得
定积分的一些应用
平面图形的面积
一般的平面图形可以由定积分公式的组合直接得到，下面主要讨论由参数方程、极坐标方程给出的平面图形的面积的计算。
参数方程
设曲线由下述参数方程给出
在上连续，连续可微且. 记(或) 则此曲线与直线以及轴所围成的平面图形的面积为
极坐标方程
设曲线由下面的极坐标方程给出
其中在上连续，.由曲线与两射线所围成的平面图形，一称扇形。其面积为
由平行截面面积求体积
设为截面面积函数，则一般的立体体积公式为
旋转体的体积
旋转体是由平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体，则其体积为
旋转体是由平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体，则其体积为
弧长与曲率
弧长
参数方程
设曲线是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程
给出。若与在上连续可微，则是可求长的，且弧长为
直角坐标方程
, 其弧长为
极坐标方程
, 其弧长为
![纳斯达克指数最近收益和未来收益的关系[图]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)