==※==為重點
&1 二階與三階行列式
-
二階行列式
表達式a11a22 - a12a21 稱作二階行列式并記作圖1
其中a11a22 之間連線稱之為主對角線,a12a21 之間的連線稱之為副對角線
(1) ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{matrix} \right| \tag{1} ∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣(1)
-
三階行列式 ※
對角線法則:三條實線的元素之和,減去三條虛線的元素之和
&2 全排列與對換
- 排列及其逆序數
- 全排列:把N個不同元素排成一列,簡稱排列
- 标準次序:對于N個不同元素,各個元素之間的排列順序(對與自然數,可以規定有大到小為标準次序)
- 逆序:在N個元素的任一排列中,當排列的順序與标準次序不同時,就說他構成一個逆序
- 逆序數: 一個排列過程中的所有排序的總數
-
偶排序:逆序數的個數為偶數
例題:
求排列32514的逆序數
解:
3排在首位,逆序數t1=0;
2的前面比二大的有三,t2=1;
5是最大數,t3=0;
1的前面比一大的有(3,2,5),t4=3;
4的前面比四大的有五,t5=1;
t= ∑ i = 1 5 \sum_{i=1}^5 ∑i=15ti=0+1+0+3+1=5
- 對換
- 對換: 将任意兩個元素對調,其餘元素不懂,構造的新排序稱之為對換
-
相鄰對換: 相鄰兩個元素對換
定理: 一個排序中的任意兩個元素對換,排序的奇偶改變
推論: 奇排列對換成标準排列的對換次數為奇數,偶排列對換從标準排序的對換次數為偶數
&3 N階行列式
證明:三階行列式
(2) ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{matrix} \right| \tag{2} ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣(2)
=a11a22a33 + a12a23a32 + a13a21a32 - a11a23a33 - a12a21a33 - a13a22a31
可以看到,第一個下表全為 123
第二個下表:
帶正号的: 123,231,321 (奇排列)1
帶負号的:132,213,321 (偶排列)
是以三階行列式可寫為
(3) ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{matrix} \right| = \sum(-1)^ta_{1p1}a_{2p2}a_{3p3} \tag{3} ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=∑(−1)ta1p1a2p2a3p3(3)
是以N階行列式為: (-1)ta1p1a2p2…anpn
記作
(4) ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| \tag{4} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣(4)
- 上(下)三角行列式: 主對角線以上(下)都為零的行列式
- 對角行列式: 主對角線以上,以下都為零的行列式
&4 行列式的性質 ※
-
性質1: 行列式與他的轉至行列式相等
D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(5) D T = ∣ a 11 a 21 ⋯ a n 1 a 12 a 22 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n ∣ D^T= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \cdots &a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| \tag{5} DT=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋱⋯an1an2⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣(5)
- 性質2: 對換行列式的兩行,行列式變号
- 推論:如果行列式的兩行或者兩列完全相同,則此行列式為零
- 性質3: 行列式的某一行(列)中的所有元素都乘同一個書數k,等于用k乘以此行列式
- 推論:行列式中的某一行(l列)中的所有元素的公因子都可以提到行列式記号的外面
- 性質4: 行列式中的任意兩行(列)元素成比例,此行列式等于零
- 性質5: 諾行列式的某一行(列)的元素都是兩數之和,例如第i行的元素都是兩數之和,則D等于兩個行列式之和
- 性質6: 把行列式的某一行(列)的各個元素乘以同一個數在加到另一行(列) 對應元素相加,行列式不變
&5 行列式按行(列)展開 ※
- 餘子式: 把第(i,j)元雖在的aij第i行與第j列去掉,留下來的第n-1階行列式叫做餘子式.記作Mij
- 代數餘子式: Aij=(-1)i+jAij
- 引理: 一個n階行列式, 如果其中第i行的所有元素處(i,j)外,都為零,那麼這行列式等于aij與他是代數餘子式的成績即 D=aijAij
-
定理2:行列式等于他的任一行(列)的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和
範德蒙行列式 ※
(6) D n = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋯ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ n ⩾ i > j ⩾ 1 ( x i − x j ) 其 中 ∏ 表 示 全 體 同 類 因 子 的 乘 積 D_n= \left| \begin{matrix} 1 &1 &\cdots &1\\ x_1 &x_2 &\cdots &x_n\\ x_1^2 &x_2^2 &\cdots &x_n^2\\ \vdots &\vdots &\ddots &\cdots\\ x_1^{n-1} &x_2^{n-1} &\cdots &x_n^{n-1} \end{matrix} \right| =\prod_{n\geqslant i>j\geqslant 1}(x_i-x_j) \\其中\prod 表示全體同類因子的乘積 \tag{6} Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋱⋯1xnxn2⋯xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=n⩾i>j⩾1∏(xi−xj)其中∏表示全體同類因子的乘積(6)
數學歸納法證明
原理
最簡單和常見的數學歸納法是證明當n等于任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步:
證明當n= 1時命題成立。
假設n=m時命題成立,那麼可以推導出在n=m+1時命題也成立。(m代表任意自然數)
(7) D 2 = ∣ 1 1 x 1 x 2 ∣ D_2= \left| \begin{matrix} 1 & 1\\ x_1 & x_2 \end{matrix} \right| \tag{7} D2=∣∣∣∣1x11x2∣∣∣∣(7)
把Dn降階:從第n行開始後行減去前行的x1倍
(8) D n = ∣ 1 1 1 ⋯ 1 0 x 2 − x 1 x 3 − x 1 ⋯ x n − x 1 0 x 2 ( x 2 − x 1 ) x 3 ( x 3 − x 1 ) ⋯ x n ( x n − x 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ x n ( x n − x 1 ) 0 x 2 n − 2 ( x 2 − x 1 ) x 3 n − 2 ( x 3 − x 1 ) ⋯ x n n − 2 ( x n − x 1 ) ∣ D_n= \left| \begin{matrix} 1 &1 &1 &\cdots &1\\ 0 &x_2-x_1 &x_3-x_1 &\cdots &x_n-x_1\\ 0 &x_2(x_2-x_1) &x_3(x_3-x_1) &\cdots &x_n(x_n-x_1)\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &x_n(x_n-x_1)\\ 0 &x_2^{n-2} (x_2-x_1) &x_3^{n-2} (x_3-x_1) &\cdots &x_n^{n-2} (x_n-x_1) \end{matrix} \right| \tag{8} Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮01x2−x1x2(x2−x1)⋮x2n−2(x2−x1)1x3−x1x3(x3−x1)⋮x3n−2(x3−x1)⋯⋯⋯⋱⋯1xn−x1xn(xn−x1)xn(xn−x1)xnn−2(xn−x1)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(8)
把公因子(xi-x1)提出來
D n = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 2 x 3 ⋯ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋯ x 2 n − 2 x 3 n − 2 ⋯ x n n − 2 ∣ D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)= \left| \begin{matrix} 1 &1 &\cdots &1\\ x_2 &x_3 &\cdots &x_n\\ \vdots &\vdots &\ddots &\cdots\\ x_2^{n-2} &x_3^{n-2}&\cdots &x_n^{n-2} \end{matrix} \right| Dn=(x2−x1)(x3−x1)⋯(xn−x1)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x2⋮x2n−21x3⋮x3n−2⋯⋯⋱⋯1xn⋯xnn−2∣∣∣∣∣∣∣∣∣
D n = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) ∏ n ⩾ i > j ⩾ 2 ( x i − x j ) = ∏ n ⩾ i > j ⩾ 1 ( x i − x j ) D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{n \geqslant i>j \geqslant 2} (x_i-x_j) \\= \prod_{n \geqslant i > j \geqslant 1}(x_i-x_j) Dn=(x2−x1)(x3−x1)⋯(xn−x1)n⩾i>j⩾2∏(xi−xj)=n⩾i>j⩾1∏(xi−xj)
- 奇排序:逆序數的個數為奇數 ↩︎