线代复习——第一章 行列式

==※==为重点

&1 二阶与三阶行列式

1. 二阶行列式

   表达式a11a22 - a12a21 称作二阶行列式并记作图1

   其中a11a22 之间连线称之为主对角线，a12a21 之间的连线称之为副对角线

   (1) ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{matrix} \right| \tag{1} ∣∣∣∣​a11​a21​​a12​a22​​∣∣∣∣​(1)

2. 三阶行列式 ※

   对角线法则：三条实线的元素之和，减去三条虚线的元素之和

   

&2 全排列与对换

1. 排列及其逆序数

• 全排列：把N个不同元素排成一列，简称排列
• 标准次序：对于N个不同元素，各个元素之间的排列顺序（对与自然数，可以规定有大到小为标准次序）
• 逆序：在N个元素的任一排列中，当排列的顺序与标准次序不同时，就说他构成一个逆序
• 逆序数： 一个排列过程中的所有排序的总数

• 偶排序：逆序数的个数为偶数

  例题：

求排列32514的逆序数

解:

3排在首位,逆序数t1=0;

2的前面比二大的有三,t2=1;

5是最大数,t3=0;

1的前面比一大的有(3,2,5),t4=3;

4的前面比四大的有五,t5=1;

t= ∑ i = 1 5 \sum_{i=1}^5 ∑i=15​ti=0+1+0+3+1=5

1. 对换

• 对换: 将任意两个元素对调,其余元素不懂,构造的新排序称之为对换

• 相邻对换: 相邻两个元素对换

  定理: 一个排序中的任意两个元素对换,排序的奇偶改变

  推论: 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数,偶排列对换从标准排序的对换次数为偶数

&3 N阶行列式

证明:三阶行列式

(2) ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{matrix} \right| \tag{2} ∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​(2)

=a11a22a33 + a12a23a32 + a13a21a32 - a11a23a33 - a12a21a33 - a13a22a31

可以看到,第一个下表全为 123

第二个下表:

带正号的: 123,231,321 (奇排列)1

带负号的:132,213,321 (偶排列)

所以三阶行列式可写为

(3) ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{matrix} \right| = \sum(-1)^ta_{1p1}a_{2p2}a_{3p3} \tag{3} ∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=∑(−1)ta1p1​a2p2​a3p3​(3)

所以N阶行列式为: (-1)ta1p1a2p2…anpn

记作

(4) ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| \tag{4} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​(4)

• 上(下)三角行列式: 主对角线以上(下)都为零的行列式
• 对角行列式: 主对角线以上,以下都为零的行列式

&4 行列式的性质 ※

• 性质1: 行列式与他的转至行列式相等

  D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

  (5) D T = ∣ a 11 a 21 ⋯ a n 1 a 12 a 22 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n ∣ D^T= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \cdots &a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| \tag{5} DT=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a12​⋮a1n​​a21​a22​⋮a2n​​⋯⋯⋱⋯​an1​an2​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​(5)

• 性质2: 对换行列式的两行,行列式变号
• 推论:如果行列式的两行或者两列完全相同,则此行列式为零
• 性质3: 行列式的某一行(列)中的所有元素都乘同一个书数k,等于用k乘以此行列式
• 推论:行列式中的某一行(l列)中的所有元素的公因子都可以提到行列式记号的外面
• 性质4: 行列式中的任意两行(列)元素成比例,此行列式等于零
• 性质5: 诺行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第i行的元素都是两数之和,则D等于两个行列式之和
• 性质6: 把行列式的某一行(列)的各个元素乘以同一个数在加到另一行(列) 对应元素相加,行列式不变

&5 行列式按行(列)展开 ※

• 余子式: 把第(i,j)元虽在的aij第i行与第j列去掉,留下来的第n-1阶行列式叫做余子式.记作Mij
• 代数余子式: Aij=(-1)i+jAij
• 引理: 一个n阶行列式, 如果其中第i行的所有元素处(i,j)外,都为零,那么这行列式等于aij与他是代数余子式的成绩即 D=aijAij

• 定理2:行列式等于他的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

  范德蒙行列式 ※

(6) D n = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋯ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ n ⩾ i > j ⩾ 1 ( x i − x j ) 其 中 ∏ 表 示 全 体 同 类 因 子 的 乘 积 D_n= \left| \begin{matrix} 1 &1 &\cdots &1\\ x_1 &x_2 &\cdots &x_n\\ x_1^2 &x_2^2 &\cdots &x_n^2\\ \vdots &\vdots &\ddots &\cdots\\ x_1^{n-1} &x_2^{n-1} &\cdots &x_n^{n-1} \end{matrix} \right| =\prod_{n\geqslant i>j\geqslant 1}(x_i-x_j) \\其中\prod 表示全体同类因子的乘积 \tag{6} Dn​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1x1​x12​⋮x1n−1​​1x2​x22​⋮x2n−1​​⋯⋯⋯⋱⋯​1xn​xn2​⋯xnn−1​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=n⩾i>j⩾1∏​(xi​−xj​)其中∏表示全体同类因子的乘积(6)

数学归纳法证明

原理

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

证明当n= 1时命题成立。

假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

(7) D 2 = ∣ 1 1 x 1 x 2 ∣ D_2= \left| \begin{matrix} 1 & 1\\ x_1 & x_2 \end{matrix} \right| \tag{7} D2​=∣∣∣∣​1x1​​1x2​​∣∣∣∣​(7)

把Dn降阶:从第n行开始后行减去前行的x1倍

(8) D n = ∣ 1 1 1 ⋯ 1 0 x 2 − x 1 x 3 − x 1 ⋯ x n − x 1 0 x 2 ( x 2 − x 1 ) x 3 ( x 3 − x 1 ) ⋯ x n ( x n − x 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ x n ( x n − x 1 ) 0 x 2 n − 2 ( x 2 − x 1 ) x 3 n − 2 ( x 3 − x 1 ) ⋯ x n n − 2 ( x n − x 1 ) ∣ D_n= \left| \begin{matrix} 1 &1 &1 &\cdots &1\\ 0 &x_2-x_1 &x_3-x_1 &\cdots &x_n-x_1\\ 0 &x_2(x_2-x_1) &x_3(x_3-x_1) &\cdots &x_n(x_n-x_1)\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &x_n(x_n-x_1)\\ 0 &x_2^{n-2} (x_2-x_1) &x_3^{n-2} (x_3-x_1) &\cdots &x_n^{n-2} (x_n-x_1) \end{matrix} \right| \tag{8} Dn​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​100⋮0​1x2​−x1​x2​(x2​−x1​)⋮x2n−2​(x2​−x1​)​1x3​−x1​x3​(x3​−x1​)⋮x3n−2​(x3​−x1​)​⋯⋯⋯⋱⋯​1xn​−x1​xn​(xn​−x1​)xn​(xn​−x1​)xnn−2​(xn​−x1​)​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​(8)

把公因子(xi-x1)提出来

D n = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 2 x 3 ⋯ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋯ x 2 n − 2 x 3 n − 2 ⋯ x n n − 2 ∣ D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)= \left| \begin{matrix} 1 &1 &\cdots &1\\ x_2 &x_3 &\cdots &x_n\\ \vdots &\vdots &\ddots &\cdots\\ x_2^{n-2} &x_3^{n-2}&\cdots &x_n^{n-2} \end{matrix} \right| Dn​=(x2​−x1​)(x3​−x1​)⋯(xn​−x1​)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1x2​⋮x2n−2​​1x3​⋮x3n−2​​⋯⋯⋱⋯​1xn​⋯xnn−2​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

D n = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) ∏ n ⩾ i > j ⩾ 2 ( x i − x j ) = ∏ n ⩾ i > j ⩾ 1 ( x i − x j ) D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{n \geqslant i>j \geqslant 2} (x_i-x_j) \\= \prod_{n \geqslant i > j \geqslant 1}(x_i-x_j) Dn​=(x2​−x1​)(x3​−x1​)⋯(xn​−x1​)n⩾i>j⩾2∏​(xi​−xj​)=n⩾i>j⩾1∏​(xi​−xj​)

1. 奇排序：逆序数的个数为奇数 ↩︎