随機事件及其機率

• • 1.随機事件
  • • 1.1随機實驗特點
    • 1.2樣本空間
    • 1.3随機事件
    • 1.4古典概型
  • 2.機率的定義和計算
  • • 2.1頻率與機率：
    • 2.2定義：
    • 2.3機率的性質
  • 3.條件機率
  • • 3.1條件機率公式：
    • 3.2全機率公式：
    • 3.3貝葉斯公式：
  • 4.事件的獨立性
  • • 4.1兩事件獨立：
    • 4.2多個事件獨立

1.随機事件

1.1随機實驗特點

①可在相同條件下重複進行

②一次實驗之前無法确定具體是哪種結果出現，但能确定所有的可能結果。

1.2樣本空間

樣本空間：實驗的所有可能結果所組成的集合稱為樣本空間。

樣本點：實驗的單個結果或樣本空間的單元素稱為樣本點。

由樣本組成的單點集稱為基本事件。

1.3随機事件

樣本空間的任意一個子集稱為随機事件。

任何時間均可表示為樣本空間的某個子集。

（既然事件是一個集合，那麼有關時間之間的關系、運算規則也按照集合的規則處理）

1.4古典概型

若某實驗滿足：

①樣本空間有限性②等可能性

則稱為古典概型。

機率：

若事件 A A A中所含的樣本點的個數為 N ( A ) N(A) N(A)，以 N ( Ω ) N(\Omega) N(Ω)記樣本空間 Ω \Omega Ω的樣本點總數，則

P ( A ) = N ( A ) N ( Ω ) P(A)=\frac{N(A)}{N(\Omega)} P(A)=N(Ω)N(A)​

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) P(A+B)=P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)

2.機率的定義和計算

2.1頻率與機率：

當試驗次數較大時，可認為機率近似等于頻率。

2.2定義：

若對随機實驗E所對應的樣本空間 Ω \Omega Ω中的每一事件 A A A，均賦予一實數 P ( A ) P(A) P(A)，集合函數 P ( A ) P(A) P(A)滿足條件：

1. P ( A ) ≥ 0 P(A)≥0 P(A)≥0

2. P ( Ω ) = 1 P(\Omega)=1 P(Ω)=1

3.可列可加性：設 A 1 , A ( 2 ) , . . . , A_{1},A(2),..., A1​,A(2),...,是一列兩兩互不相容的事件，有

P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + . . . P(A_{1}\cup A_{2}\cup ...)=P(A_{1})+P(A_{2})+... P(A1​∪A2​∪...)=P(A1​)+P(A2​)+...

則稱P(A)為事件A的機率。

2.3機率的性質

1.有限可加性

2.單調不減性

3.事件差 P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)

4.加法公式

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

5.可分性

P ( A ) = P ( A B ˉ ) + P ( A B ) P(A)=P(A\bar{B})+P(AB) P(A)=P(ABˉ)+P(AB)

3.條件機率

3.1條件機率公式：

P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)​

3.2全機率公式：

P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i}) P(B)=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)

3.3貝葉斯公式：

P ( A j ∣ B ) = P ( A j ) P ( B ∣ A i ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(A_{j}|B)=\frac{P(A_{j})P(B|A_{i})}{\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})} P(Aj​∣B)=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)P(Aj​)P(B∣Ai​)​

4.事件的獨立性

4.1兩事件獨立：

P ( B ) = P ( B ∣ A ) P(B)=P(B|A) P(B)=P(B∣A)，則稱A和B互相獨立

等價于 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)

4.2多個事件獨立

若事件A,B,C滿足：

1. P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) , P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) , P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P( C),P(BC)=P(B)P(C) P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱 A , B , C A,B,C A,B,C兩兩互相獨立。

在此基礎上還滿足：

2. P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

則稱事件A,B,C互相獨立。