确定事件：
有一類現象，在一定條件下必然發生
統計性規律：
在大量重複試驗或觀察中所展現出的固有性規律
随機現象：
在個别試驗中其結果呈現出不确定，在大量重複試驗中其結果又具有統計規律性的現象
随機試驗
随機試驗的三個特點
1 ∘ 1 ∘ 可以在相同條件下重複
2 ∘ 2 ∘ 每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明确試驗的所有可能結果
3 ∘ 3 ∘ 進行一次試驗之前不能确定那一個結果
樣本空間，随機事件
樣本空間
對于随機試驗，盡管在每次試驗之前不能預知試驗的結果，到那時試驗的所有可能結果組成的集合是已知的。
我們将随機試驗 E E 的所有可能結果組成的集合稱為EE的樣本空間，即為 S S 。樣本空間的元素，即EE的每個結果，稱為樣本點。
随機事件
一般，我們稱試驗 E E 的樣本空間SS的子集為 E E 的随機事件，簡稱事件。在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時，稱這一事件發生。
特别當一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件
樣本空間SS包含所有的樣本點，它是 S S 自身的子集，在每次試驗中，它總是發生，則SS稱為必然事件。空集 ∅ ∅ 不包含任何樣本點，它也作為樣本空間的子集，它在每次試驗中都不發生， ∅ ∅ 稱為不可能事件
事件間的關系與事件的運算
設試驗 E E 的樣本空間為SS，而 A,B,Ak(k=1,2,⋯) A , B , A k ( k = 1 , 2 , ⋯ ) 是 S S 的子集。
1∘1∘ 若 A⊂B A ⊂ B ，則稱事件 B B 包含事件AA，這裡指的是事件 A A 發生必然導緻事件BB的發生
若 A⊂B A ⊂ B 且 B⊂A B ⊂ A ,即 A=B A = B ，則稱事件 A A 與事件BB相等
A⊂B A ⊂ B
2∘ 2 ∘ 事件 A∪B={x∣x∈A或x∈B} A ∪ B = { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } 稱為事件 A A 與事件BB的 和事件。當且僅當 A,B A , B 中至少有一個發生時，事件 A∪B A ∪ B 發生
類似地，稱 ⋃k=1nAk ⋃ k = 1 n A k 為 n n 個事件A1,A2,⋯,AnA1,A2,⋯,An的和事件；稱 ⋃k=1∞Ak ⋃ k = 1 ∞ A k 為可列個事件 A1,A2,⋯ A 1 , A 2 , ⋯ 的和事件。
A∪B A ∪ B
3∘ 3 ∘ 事件 A∩B={x∣x∈A且x∈B} A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } 稱為事件 A A 與事件BB的 積事件 .當且僅當 A,B A , B 同時發生時，事件 A∩B A ∩ B 發生。 A∩B A ∩ B 也記作 AB A B
類似地，稱 ⋂k=1nAk ⋂ k = 1 n A k 為 n n 個事件A1,A2,⋯,AnA1,A2,⋯,An的積事件；稱 ⋂k=1∞Ak ⋂ k = 1 ∞ A k 為可列個事件 A1,A2,⋯ A 1 , A 2 , ⋯ 的積事件。
A⊂B A ⊂ B
4∘ 4 ∘ 事件 A−B={x∣x∈A且x∉B} A − B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∉ B } 稱為事件 A A 與事件BB的 差事件。當且僅當事件 A A 發生、BB不發生時事件 A−B A − B 發生
A−B A − B
5∘ 5 ∘ 若 A∩B=∅ A ∩ B = ∅ ,則稱事件 A A 和BB是 互不相容的，或者互斥的，這裡指的是事件 A A 與事件BB不能同時發生，基本事件都是兩兩不相容的。
A∩B A ∩ B
6∘ 6 ∘
若 A∪B=S A ∪ B = S 且 A∩B=∅ A ∩ B = ∅ ，則稱事件 A A 與事件BB互為 逆事件。又稱事件 A A 與事件BB互為對立事件。這裡指的是對每次試驗而言，事件 A、B A 、 B 中必然有一個發生，且僅有一個發生。 A A 的對立事件記為A¯,A¯=S−AA¯,A¯=S−A
B∪B¯=S,B∩B¯=∅ B ∪ B ¯ = S , B ∩ B ¯ = ∅
事件運算法則：
交換律：
A∪B=B∪AA∩B=B∩A A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
結合律：
A∪(B∪C)A∩(B∩C)=(A∪B)∪C=(A∩B)∩C A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C
配置設定率：
A∪(B∩C)A∩(B∪C)=(A∪B)∩(A∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
德摩根律：
A∪B¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯A∩B¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯¯∩B¯¯¯¯=A¯¯¯¯∪B¯¯¯¯ A ∪ B ¯ = A ¯ ∩ B ¯ A ∩ B ¯ = A ¯ ∪ B ¯
頻率和機率
頻率
定義：
在相同條件下，進行了 n n 次試驗，在這nn次試驗中，事件 A A 發生的次數nAnA稱為事件 A A 發生的頻數。比值nA/nnA/n稱為事件 A A 發生的頻率，并記成fn(A)fn(A)
頻率具有下列基本性質：
1∘ 1 ∘ , 0≤fn(A)≤1 0 ≤ f n ( A ) ≤ 1
2∘ 2 ∘ , fn(S)=1 f n ( S ) = 1
3∘ 3 ∘ ,若 A1,A2,⋯,Ak A 1 , A 2 , ⋯ , A k 是兩兩互不相容的事件，則
fn(A1∪A2∪⋯∪Ak)=fn(A1)+fn(A2)+⋯+fn(Ak) f n ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A k ) = f n ( A 1 ) + f n ( A 2 ) + ⋯ + f n ( A k )
機率
定義：
設 E E 是随機試驗，SS是它的樣本空間。對于 E E 的每一事件AA賦予一個實數，記為 P(A) P ( A ) ，稱為事件 A A 的機率，如果有集合函數P(⋅)P(⋅)滿足下列條件：
1∘ 1 ∘ 非負性：
對于每一個事件 A A ,有P(A)≥0P(A)≥0
2∘ 2 ∘ 規範性：
對于必然事件 S S ,有P(S)=1P(S)=1
3∘ 3 ∘ 可列可加性：
設 A1,A2,⋯ A 1 , A 2 , ⋯ 是兩兩互不相容的事件，即對 AiAj=∅,i≠j;i,j=1,2,⋯ A i A j = ∅ , i ≠ j ; i , j = 1 , 2 , ⋯ 有
P(A1∪A2∪⋯)=P(A1)+P(A2)+⋯. P ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ⋯ .
一些重要性質
性質 i i
P(∅)=0P(∅)=0
性質 ii i i (有限可加性)
若 A1,A2,⋯,An A 1 , A 2 , ⋯ , A n 是兩兩不相容的事件，則有
P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An) P ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ⋯ + P ( A n )
性質 iii i i i
設 A,B A , B 是兩個事件，若 A⊂B A ⊂ B ,則有
P(B−A)P(B)=P(B)−P(A)≥P(A) P ( B − A ) = P ( B ) − P ( A ) P ( B ) ≥ P ( A )
性質 iv i v
對任一事件 A A ,
P(A)≤1P(A)≤1
性質 v v (逆事件機率)
對于任一事件AA，有
P(A¯¯¯¯)=1−P(A) P ( A ¯ ) = 1 − P ( A )
性質 vi v i (加法公式)
對于任意兩個事件 A，B A ， B ，有
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B )
等可能概型（古典概型）
特點：
1∘ 1 ∘ ，試驗的樣本空間隻包含有限個元素
2∘ 2 ∘ ，試驗中每個基本事件發生的可能性相同
具有以上兩個特點的試驗是大量存在的，這種試驗稱為等可能概型。它在機率論發展初期曾是主要的研究對象，是以也稱為古典概型。
設試驗樣本空間 S={e1,e2,⋯,en} S = { e 1 , e 2 , ⋯ , e n } ，由于在試驗中每個事件發生的可能性相同，即有
P({e1})=P({e2})=⋯=P({en}) P ( { e 1 } ) = P ( { e 2 } ) = ⋯ = P ( { e n } )
又由于基本事件是兩兩互不相容的，于是：
1=P(S)=P({e1}∪{e2}∪⋯∪{en})=P({e1})+P({e2})+⋯+P({en})=nP({ei})P({e1})=1n,i=1,2,⋯,n. 1 = P ( S ) = P ( { e 1 } ∪ { e 2 } ∪ ⋯ ∪ { e n } ) = P ( { e 1 } ) + P ( { e 2 } ) + ⋯ + P ( { e n } ) = n P ( { e i } ) P ( { e 1 } ) = 1 n , i = 1 , 2 , ⋯ , n .
若事件 A A 包含kk個基本事件，即 A={ei1}∪{ei2}∪⋯∪{eik} A = { e i 1 } ∪ { e i 2 } ∪ ⋯ ∪ { e i k } ,這裡 i1,i2,⋯,ik i 1 , i 2 , ⋯ , i k 是 1,2,⋯,n 1 , 2 , ⋯ , n 中 k k 個不同的數，則有
P(A)=∑j=1kP({eij})=kn=A包含的基本事件數S中基本事件的總數P(A)=∑j=1kP({eij})=kn=A包含的基本事件數S中基本事件的總數
條件機率
考慮的是事件 A A 已經發生的條件下事件BB發生的機率。
定義：
設 A,B A , B 兩個事件，且 P(A)>0 P ( A ) > 0 稱
P(B∣A)=P(AB)P(A) P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A )
為在事件 A A 發生的條件下，事件BB發生的條件機率
條件機率 P(⋅∣A) P ( ⋅ ∣ A ) 複合機率定義中的三個條件：
1∘ 1 ∘ 非負性：
對于每一個事件 B B ,有P(B∣A)≥0P(B∣A)≥0
2∘ 2 ∘ 規範性：
對于必然事件 S S ,有P(S∣A)=1P(S∣A)=1
3∘ 3 ∘ 可列可加性：
設 B1,B2,⋯ B 1 , B 2 , ⋯ 是兩兩互不相容的事件， P(⋃i=1∞Bi∣A)=∑i=1∞P(Bi∣A) P ( ⋃ i = 1 ∞ B i ∣ A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ∣ A )
乘法定理
設 P(A)>0 P ( A ) > 0 則有
P(AB)=P(B∣A)P(A) P ( A B ) = P ( B ∣ A ) P ( A )
此公式稱為乘法定理
全機率公式和貝葉斯公式
設試驗 E E 的樣本空間為SS， A A 為EE的事件， B1,B2,⋯,Bn B 1 , B 2 , ⋯ , B n 為 S S 的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,⋯,n)P(Bi)>0(i=1,2,⋯,n),則
P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+⋯+P(A∣Bn)P(Bn) P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + ⋯ + P ( A ∣ B n ) P ( B n )
上式稱為全機率公式
在很多實際問題中 P(A) P ( A ) 不易直接求得，但卻很容易找到 S S 的一個劃分B1,B2,⋯,BnB1,B2,⋯,Bn,且 P(Bi) P ( B i ) 和 P(A∣Bi) P ( A ∣ B i ) 或為已知，或容易求得，那麼可以用全機率公式求出 P(A) P ( A ) .
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+⋯+P(ABn)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(Bn)+⋯+P(A∣Bn)P(Bn) P ( A ) = P ( A B 1 ) + P ( A B 2 ) + ⋯ + P ( A B n ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B n ) + ⋯ + P ( A ∣ B n ) P ( B n )
幾何機率
條件：
(1) ( 1 ) 樣本空間（基本事件空間） Ω Ω 是一個可以度量的幾何區域
(2) ( 2 ) 每個樣本點（基本事件）發生的可能性都一樣，即樣本點落入 Ω Ω 的某一個子區域 S S 的可能性大小與SS的幾何度量稱正比，而且與 S S 的形狀位置無關
貝葉斯公式：
定理：
設試驗EE的樣本空間為 S S ，AA為 E E 的事件，B1,B2,⋯,BnB1,B2,⋯,Bn為 S S 的一個劃分，且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,⋯,n)P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,⋯,n),則
P(Bi∣A)=P(A∣Bi)P(Bi)∑nj=1P(A∣Bj)P(Bj),i=1,2,⋯,n. P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ j = 1 n P ( A ∣ B j ) P ( B j ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n .
則上式稱為貝葉斯公式：。
先驗機率和後驗機率
由以往資料分析得到的機率叫做先驗機率
在得到資訊之後再重新加以修正的機率叫做後驗機率
獨立性
定義：
設 A,B A , B 是兩事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
則稱事件 A,B A , B 互相獨立，簡稱 A,B A , B 獨立
容易知道，若 P(A)>0,P(B)>0 P ( A ) > 0 , P ( B ) > 0 ，則 A,B A , B 互相獨立與 A,B A , B 互不相容不能同時成立
相關定理：
定理一
設 A,B A , B 是兩事件，且 P(A)>0 P ( A ) > 0 ,若 A,B A , B 互相獨立，則 P(B∣A)=P(B) P ( B ∣ A ) = P ( B ) 反之亦然。
定理二
若事件 A A 與事件BB互相獨立，則下列各對事件也互相獨立
A與B¯¯¯¯,A¯¯¯¯與B,A¯¯¯¯與B¯¯¯¯ A 與 B ¯ , A ¯ 與 B , A ¯ 與 B ¯
定義：
設 A,B,C A , B , C 是三個事件，如果滿足等式
P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)=P(A)P(B)=P(B)P(C)=P(A)P(C)=P(A)P(B)P(C)⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) }
則稱事件 A,B,C A , B , C 互相獨立
一般的，設 A1,A2,⋯,An A 1 , A 2 , ⋯ , A n 是 n(n≥2) n ( n ≥ 2 ) 個事件，如果對于其中任意2個，3個， ⋯ ⋯ ,任意 n n 個事件的積事件的機率，都等于各事件機率之積，則稱事件A1,A2,⋯,AnA1,A2,⋯,An互相獨立