機率論與數理統計 | (5) 二進制随機變量Part Two

目錄

1. 二進制連續型随機變量邊際機率密度

2. 二進制連續型随機變量條件機率密度

3. 二進制均勻分布、二進制正态分布

4. 随機變量的獨立性

1. 二進制連續型随機變量邊際機率密度

二進制随機變量(X,Y)分布函數F(x, y), 它們的邊際分布函數分别為:

對于連續型随機變量(X,Y)， 機率密度為f (x, y),X ,Y的邊際機率密度為:

• 例題

2. 二進制連續型随機變量條件機率密度

設二進制随機變量(X ,Y)的機率密度為 f (x, y),(X,Y)關于Y的邊際機率密度為

,若對于固定的y,

,且

連續，則在Y=y的條件下，X的條件機率密度為:

同理，若對于固定的x，

,且

連續，在X=x的條件下，Y的條件機率密度為：

• 例題

二進制離散型與連續型随機變量分布比較：

3. 二進制均勻分布、二進制正态分布

• 二進制均勻分布

若二進制随機變量(X,Y)的機率密度在平面上的一個有界區域D内是常數，而在其餘地方取值為零，稱(X,Y)在D上服從均勻分布。

其中A是區域D的面積。

• 例題

• 二進制正态分布

• 例題

即二進制正态分布的兩個邊際分布都是一進制正态分布，并且都不依賴于參數

。

4. 随機變量的獨立性

• 互相獨立的随機變量

之前我們把A與B兩個事件的獨立性定義為P(AB) = P(A)P(B),而随機變量的取值往往可以構成無數的事件,如X=1，X<1等，

為此要定義兩個随機變量的獨立性必須包含兩個随機變量的許多個事件間的獨立。設x，y為實數，設

.

• 獨立性定義

設

是二進制随機變量(X,Y)的分布函數, 

是X的邊際分布函數,

是Y的邊際分布函數,若對所有x, y有:

 即

.稱随機變量X ,Y互相獨立。

• 獨立性等價判斷

離散型：

用分布律判斷。對一切i, j都成立

,即

.

連續型：

用密度函數判斷。對在平面的點(x,y)幾乎處處成立

.即在平面上除去“面積”為零的集合以外，上述等式處處成立。

• 例題

• 一般n元随機變量的一些概念和結果

n元随機變量：

設E是一個随機試驗，樣本空間

,設

是定義在S上的随機變量，由它們構成的一個n元向量

稱為n元随機變量.

n元随機變量的分布函數:

對于任意n個實數

,n元函數：

稱為n元随機變量

的分布函數.

n元離散型随機變量的分布律:

設

的取值記為（

），

,

取遍所有可能值，稱為n元離散型随機變量

的分布律。

n元連續型随機變量的機率密度：

若存在非負函數

,使得對于任意實數

:

稱為n元連續型随機變量

的機率密度.

n元随機變量的邊際分布:

n元随機變量的互相獨立: