全機率公式和貝葉斯公式的應用(概統1)
全機率公式是計算由若幹複雜“原因”引起的複雜事件機率的一個有效公式。貝葉斯公式是用來計算在複雜事件已經發生的情況下，求某一種”原因“引起的條件機率。
全機率公式
P(A)=∑nj=1P(A|Bj)P(Bj) P ( A ) = ∑ j = 1 n P ( A | B j ) P ( B j )
A—表示某個機率事件的某個結果，P(A)表示A結果發生的機率。
例如，三門炮同時射擊飛機，飛機墜毀的機率。
例如，三箱産品，任取一件是次品的機率。
例如，三箱玻璃杯，顧客買下該箱的機率。
已知A結果在不同的條件下有不同的機率，那麼A結果發生的機率，就是所有條件下出現A結果的機率的總和。
随機事件發生出現A結果的機率表示為P(A)，到了機率分布，就表示為
P(X=k)，X就是機率事件發生結果的函數，X的分布函數表示為F(x)=P(X<=x)，x是常數，是X的一個取值，比如二項分布，我們定義一個變量X，X=1表示 ”飛機被擊中“，”飛機被擊中“的機率就是P(X=1)；“任取一件是次品”，“買下玻璃杯箱”等等，或者數字型，擲骰子，X=1表示“1出現1次”，X=2表示“1出現兩次”，X=3表示“M出現N次”等等。
事件也可以表示為 {a<X⩽b} { a < X ⩽ b } 的機率為 P{a<X⩽b} P { a < X ⩽ b } = ∑a<xk⩽bpk ∑ a < x k ⩽ b p k
貝葉斯公式
已知分别在每一個條件 Bj B j 下，事件發生的機率是 P(A|Bj) P ( A | B j ) ，現在是事件結果A已經發生了，求它是由于 Bj B j 引起的機率
P(Bj|A)=P(A|Bj)P(Bj)P(A)=P(A|Bj)P(Bj)∑nj=1P(A|Bj)P(Bj) P ( B j | A ) = P ( A | B j ) P ( B j ) P ( A ) = P ( A | B j ) P ( B j ) ∑ j = 1 n P ( A | B j ) P ( B j )
在全機率公式中，如果将A看成是“結果”， Bj B j 看成是導緻結果發生的諸多“原因”之一，那麼全機率公式就是一個“原因推結果” 的過程。但貝葉斯公式卻恰恰相反。貝葉斯公式中，我們是知道結果A已經發生了，所要做的是反過來研究造成結果發生的原因，是XX原因造成的可能性有多大，即“結果推原因”。
應用全機率公式和貝葉斯公式的關鍵是“找到一個完備事件組”
啥叫“完備事件組”？就是所有各種可能性。例如抽出一件樣品是次品，有可能是第一箱産生的，也有可能是第二箱産生的，等，需要分析出所有的可能性。任抽兩件表，第二件是男生表，完備事件組就是，假設A代表男生，B代表女生，完備事件組：AA，BA。任抽兩件，有一件或者兩件是次品，完備事件組就是，假設A代表正品，B代表次品，完備事件組：AB，BA，BB。總之就是分析機率會發生的所有可能性。
尋找完備事件組（劃分）
尋找完備事件組（劃分）的兩個常用方法：
(1)從第一個試驗入手，分解其樣本空間，找出完備事件組。
如果所求機率的事件與前後兩個試驗（兩個工序）有關，且這個試驗（或工序）彼此關聯，第一個試驗（工序）的各種結果直接對第二個試驗産生影響，而問第二個試驗（工序）出現結果的機率，這類問題是屬于使用全機率公式的問題。第一個試驗的各種結果就是所求的一個完備事件組。
(2)從事件B發生的兩兩互不相容的諸原因中找完備事件組。
如果事件B能且隻能在“原因” A1 A 1 , A2 A 2 ,….., An A n 下發生，且 A1 A 1 , A2 A 2 ,….., An A n 是兩兩不相容，那麼這些”原因“ A1 A 1 , A2 A 2 ,….., An A n 就是一個完備事件組。
這類條件機率的問題，分析難度較大，與每一個具體的應用場景相關，應該多多練習。
【典型例題】
【例1】甲，乙，丙三門高射炮向同一架飛機射擊，假設甲，乙，丙射中飛機的機率分别為0.4，0.5，0.7；又假設如果飛機不被射中，飛機不墜毀；若一門炮射中，飛機墜毀的機率為0.2；若兩門炮射中，飛機墜毀的機率為0.6；若三門炮射中，飛機必墜毀，求飛機墜毀的機率。
解：
顯然，這是一個全機率的問題。
飛機墜毀的機率=因一門炮射中墜毀的機率+因兩門炮射中墜毀的機率+因三門炮射中墜毀的機率
假設甲=A，乙=B，丙=C
設一門炮射中的機率=P1= P(A1) P ( A 1 ) + P(B1) P ( B 1 ) + P(C1) P ( C 1 )
設兩門炮射中的機率=P2= P(AB2)+P(AC2)+P(BC2) P ( A B 2 ) + P ( A C 2 ) + P ( B C 2 )
設三門炮射中的機率=P3= P(ABC3) P ( A B C 3 )
因一門炮射中墜毀的機率 = P1_OK
= 一門炮射中的機率 x 一門射中墜毀的機率=P1x0.2
因兩門炮射中墜毀的機率 = P2_OK
= 兩門炮射中的機率 x 兩門射中墜毀的機率=P2x0.6
因三門炮射中墜毀的機率 = P3_OK
= 三門炮射中的機率 x 三門射中墜毀的機率= P(A3) P ( A 3 ) x1
首先，計算一門炮射中的機率P1
關鍵是關于一門炮射中的機率= P(A1) P ( A 1 ) 的計算
看上圖，假設甲=A，乙=B，丙=C
關于 P(A1) P ( A 1 ) 的計算，有兩種思路：
**計算 P(A1) P ( A 1 ) ，第一種思路：
由圖中看，A單獨射中，A單獨發生，就是上圖中的綠色區域；
參照前面一篇部落格”【數學】–1.樣本空間，随機事件基本概念 —【例5】”
隻不過兩個事件推廣到3個事件
兩種事件： P(A1) P ( A 1 ) = P(A)- P(AB)
三種事件： P(A1) P ( A 1 ) =P(A)- P(AB)-P(AC)+P(ABC)；
注意，三種事件要加 P(ABC)
P(A1) P ( A 1 ) = P(A)- P(AB)- P(AC)+ P(ABC)
因為A，B，C三個事件是獨立事件，是以
P(AB)=P(A)P(B) , P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
綠色區域；
P(A1) P ( A 1 ) =P(A)-P(A)P(B)-P(A)P(C)+P(A)P(B)P(C)
=0.4 - 0.4*0.5-0.4*0.7 + 0.4*0.5*0.7 = 0.06
同理
藍色區域；
P(B1) P ( B 1 ) =P(B)-P(B)P(A)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
=0.5 - 0.5*0.4-0.5*0.7 + 0.4*0.5*0.7 = 0.09
同理
黃色區域；
P(C1) P ( C 1 ) =P(C)-P(C)P(A)-P(C)P(A)+P(A)P(B)P(C)
=0.7 - 0.7*0.4-0.7*0.5 + 0.4*0.5*0.7 = 0.21
是以，
P1= P(A1) P ( A 1 ) + P(B1) P ( B 1 ) + P(C1) P ( C 1 ) = 0.06+0.09+0.21=0.36
**計算 P(A1) P ( A 1 ) ，第二種思路：
A單獨射中的事件=A射中 x B不射中 x C不射中
是以
綠色區域；
P(A1)=P(A)∗P(B¯¯¯¯)∗P(C¯¯¯¯) P ( A 1 ) = P ( A ) ∗ P ( B ¯ ) ∗ P ( C ¯ )
=0.4*(1-0.5)*(1-0.7)=0.06
同理
藍色區域；
P(B1)=P(B)∗P(A¯¯¯¯)∗P(C¯¯¯¯) P ( B 1 ) = P ( B ) ∗ P ( A ¯ ) ∗ P ( C ¯ )
=0.5*(1-0.4)*(1-0.7)=0.09
同理
黃色區域；
P(C1)=P(C)∗P(A¯¯¯¯)∗P(B¯¯¯¯) P ( C 1 ) = P ( C ) ∗ P ( A ¯ ) ∗ P ( B ¯ )
=0.7*(1-0.4)*(1-0.5)=0.21
是以，
P1= P(A1) P ( A 1 ) + P(B1) P ( B 1 ) + P(C1) P ( C 1 ) = 0.06+0.09+0.21=0.36
與第一種算法結果相同
第二，計算兩門炮同時射中的機率P2
我們采用上面的第二種算法
兩門炮同時射中=AB同時射中xC不射中 +AC同時射中xB不射中 + BC同時射中xA不射中
AB相交除去C區域+AC相交除去B區域+BC相交除去A區域
=天藍色區域+ 藍灰色區域 + + 藍黃色區域
P2= P(ABC¯¯¯¯)+P(ACB¯¯¯¯)+P(BCA¯¯¯¯) P ( A B C ¯ ) + P ( A C B ¯ ) + P ( B C A ¯ ) = P(A)P(B)P(C¯¯¯¯)+P(A)P(C)P(B¯¯¯¯)+P(B)P(C)P(A¯¯¯¯) P ( A ) P ( B ) P ( C ¯ ) + P ( A ) P ( C ) P ( B ¯ ) + P ( B ) P ( C ) P ( A ¯ )
=0.4*0.5*(1-0.7) + 0.4*0.7*(1-0.5)+0.5*0.7*(1-0.4) = 0.41
第三，計算兩門炮同時射中的機率P3
三門炮同時射中，就是上面圖中紅色區域；
P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.4*0.5*0.7=0.14
最後，
飛機墜毀的機率=P1*0.2 + P2*0.6 + P3*1
= 0.36*0.2 + 0.41*0.6 +0.14*1 = 0.458
【例2】某工廠中的房間生産了同樣規格的6箱産品，其中有3箱，2箱和1箱分别是由甲，乙，丙3個車床生産的，且三個車床的次品率分别為 110 1 10 , 115 1 15 , 120 1 20 ，現從這6箱中任取一箱，再從選出的一箱中任取一件，試計算：
（1）取得的一件是次品的機率
（2）若已知取得的一件是次品，試求所取得的産品是由丙車床生産的機率。
解：這也是一個全機率，條件機率的問題
分析：看上圖，整個有利事件由三種可能性組成：甲，乙，丙
假設B1 , B2, B3 對應甲，乙，丙
P(B1)= 36 3 6 = 12 1 2 ,
P(B2)= 26 2 6 = 13 1 3 ,
P(B3)= 16 1 6 = 16 1 6
P(A1|B1)= 110 1 10 ,
P(A2|B2)= 115 1 15 ,
P(A3|B3)= 120 1 20
（1）取得的一件是次品的機率
就是計算全機率
全機率公式：
P(A)=∑nj=1P(A|Bj)P(Bj) P ( A ) = ∑ j = 1 n P ( A | B j ) P ( B j )
任取一件是次品的機率，就等于P(A)
P(A)=P(A1|B1)P(B1) +P(A2|B2)P(B2)+P(A3|B3)P(B3)
= 110 1 10 * 12 1 2 + 115 1 15 * 13 1 3 + 120 1 20 * 16 1 6 = 29360 29 360
（2）若已知取得的一件是次品，試求所取得的産品是由丙車床生産的機率。
就是求條件機率
P(Bj) P ( B j ) = P(AjBj)P(A) P ( A j B j ) P ( A )
丙車床對應B3
P(B3) P ( B 3 ) = P(A3B3)P(A) P ( A 3 B 3 ) P ( A ) = P(A3|B3)P(B3)P(A) P ( A 3 | B 3 ) P ( B 3 ) P ( A ) = 120∗1629360 1 20 ∗ 1 6 29 360 = 329 3 29
【例3】 玻璃杯成箱出售，每箱20隻，假設各箱含0,1,2隻殘次品的機率相應為0.8，0.1，和0.1，一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時售貨員随意取一箱，而顧客開箱随機地檢視4隻，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：
（1）顧客買下該箱的機率 α α
（2）在顧客買下的一箱中，确實沒有殘次品的機率 β β
解：
分析：
還是一個條件機率，全機率的問題，
将條件分為，含0,1,2隻殘次品對應條件B1,B2,B3
P(B1)=0.8
P(B2)=0.1
P(B3)=0.1
任取4隻，由于含殘次品是小機率，是以最好是計算4隻全部是合格品的事件數 C420,C419，C418 C 20 4 , C 19 4 ， C 18 4
（1）顧客買下該箱的機率 α α
顧客檢視4隻，顧客買下該箱的機率 等于 檢視4隻全部是合格品的機率。[技巧] 本題含殘次品的個數分别是0,1,2隻，任取4隻，如果就計算4隻裡面含殘次品的機率，有含一隻殘次品，有含兩隻，三隻，等等，不如直接計算4隻全部是合格品的機率。注意，計算4隻全部是合格品的機率。
是以，任取4隻全是合格品的機率為：
甲箱： P(A1|B1) = C420C420 C 20 4 C 20 4 = 1
乙箱： P(A2|B2) = C419C420 C 19 4 C 20 4 = 19∗18∗17∗164∗3∗220∗19∗18∗174∗3∗2 19 ∗ 18 ∗ 17 ∗ 16 4 ∗ 3 ∗ 2 20 ∗ 19 ∗ 18 ∗ 17 4 ∗ 3 ∗ 2 = 45 4 5
丙箱： P(A3|B3) = C418C420 C 18 4 C 20 4 = 18∗17∗16∗154∗3∗220∗19∗18∗174∗3∗2 18 ∗ 17 ∗ 16 ∗ 15 4 ∗ 3 ∗ 2 20 ∗ 19 ∗ 18 ∗ 17 4 ∗ 3 ∗ 2 = 1219 12 19
全機率 P(A) = ∑3j=1P(Aj|Bj)P(Bj) ∑ j = 1 3 P ( A j | B j ) P ( B j )
= P(A1|B1)*P(B1) + P(A2|B2)*P(B2) + P(A3|B3)*P(B3)
= 1*0.8+0.1* 45 4 5 +0.1* 1219 12 19 ≈ ≈ 0.94
（2）在顧客買下的一箱中，确實沒有殘次品的機率 β β
分析：購買下一箱，确實沒有殘次品，目前隻有甲箱是沒有殘次品，是以除非是買到甲箱（B1）。也就是說，确實沒有殘次品，等于是條件B1發生，也就是說，求的是 P(B1|A)
由貝葉斯公式
P(Bj|A)=P(Aj|Bj)P(Bj)P(A) P ( B j | A ) = P ( A j | B j ) P ( B j ) P ( A )
P(B1|A)=P(A1|B1)P(B1)P(A) P ( B 1 | A ) = P ( A 1 | B 1 ) P ( B 1 ) P ( A )
= 1∗0.80.94 1 ∗ 0.8 0.94 ≈ ≈ 0.85
【例4】設有來自三個地區的各10名，15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分别為3份，7份和5份。随機地抽取一個地區的的報名表，從中先後抽出兩份。
（1）求先抽到的一份是女生表的機率p
（2）已知後抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的機率q。
解：
分析，本題的第一問（1）顯然是一個通過排列組合計算事件數的比例來求機率的問題。
本題的第二問（2）顯然是求條件機率，既然要求條件機率，就要找出完備事件集合，而且是根據所提問的完備事件集合。已知抽到的後一份是男生表，求前一份是女生表的機率。分析：抽2份，後一份是男生表，前一份可能是女生表，也可能是男生表，顯然是求前一份是女生表的比例。假設，
女生表用a表示，男生表用b表示，
抽2份，有4種組合：
aa 女生表,女生表
ab 女生表,男生表
ba 男生表,女生表
bb 男生表,男生表
已知後抽到的一份是男生表，那麼總事件集就是ab+bb，設總事件集為B，B=ab+bb
求前一份是女生表的機率，就是求ab的比例，等于說
求P(ab|B) = P(ab)P(ab)+P(bb) P ( a b ) P ( a b ) + P ( b b )
（1）求先抽到的一份是女生表的機率p
p= (C13C110+C17C115+C15C125)∗13 ( C 3 1 C 10 1 + C 7 1 C 15 1 + C 5 1 C 25 1 ) ∗ 1 3
= 2990 29 90
（2）已知後抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的機率q。
根據前面的分析，求P(ab)，P(bb)
求P(ab)的時候，這是一個與順序有關的問題。是求前一份是女生表，後一份是男生表，跟前後順序是有關系的，如果對A地區計算C_{1}^{3}C_{1}{7}，算出的結果表示抽取一份女生表，抽取一份男生表，并且前後任意次序都包括了，是以如果隻算女生表在前，男生表在後，需要除以2
是以
P(ab) = 13∗(C13C172∗C210+C17C182∗C215+C15C1202∗C225) 1 3 ∗ ( C 3 1 C 7 1 2 ∗ C 10 2 + C 7 1 C 8 1 2 ∗ C 15 2 + C 5 1 C 20 1 2 ∗ C 25 2 )
= 13∗(3∗72∗10∗92!+7∗82∗15∗142!+5∗202∗25∗242!)=790+445+590 1 3 ∗ ( 3 ∗ 7 2 ∗ 10 ∗ 9 2 ! + 7 ∗ 8 2 ∗ 15 ∗ 14 2 ! + 5 ∗ 20 2 ∗ 25 ∗ 24 2 ! ) = 7 90 + 4 45 + 5 90
= 2090 20 90
P(bb) = 13∗(C27C210+C28C215+C220C225) 1 3 ∗ ( C 7 2 C 10 2 + C 8 2 C 15 2 + C 20 2 C 25 2 )
= 13∗(7∗610∗9+7∗815∗14+20∗1925∗24)=7∗290+445+1990 1 3 ∗ ( 7 ∗ 6 10 ∗ 9 + 7 ∗ 8 15 ∗ 14 + 20 ∗ 19 25 ∗ 24 ) = 7 ∗ 2 90 + 4 45 + 19 90
= 4190 41 90
求P(ab|B) = P(ab)P(ab)+P(bb) P ( a b ) P ( a b ) + P ( b b )
= 20902090+4190=20906190 20 90 20 90 + 41 90 = 20 90 61 90
= 2061 20 61
是以，最後，q= 2061 20 61
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參考書目：張天德，葉宏 《星火燎原·機率論與數理統計輔導及習題精解》（浙大·第4版）第一章