本文列舉了常見的離散分布，關于它們的背景、機率分布列、數學期望與方差，以及與之相關的一些重要性質；比如幾何分布的無記憶性、 二項分布的泊松近似、超幾何分布的二項近似。。。。可作為離散分布的知識速查表。
目錄
1. 二項分布b(n,p)
2. 泊松分布
3 超幾何分布
4 幾何分布
5 負二項分布 / 巴斯卡分布
6 常用離散分布表
1. 二項分布b(n,p)
- 背景：在n重伯努利實驗中成功的次數服從二項分布b(n,p),其中p為一次伯努利實驗中成功發生的機率， .
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 - 機率分布列：
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 - n=1 時，二項分布退化為二點分布【0-1分布】
- 二項分布b(n,p) 的數學期望為 , 方差為
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 - 若 ,則
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 , 其中 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 是在n重伯努利實驗中失敗的次數 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布
2. 泊松分布 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布
- 背景：機關時間【或機關面積、機關産品等】上稀有事件【不經常發生的事件】發生的次數
- 機率分布列：
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 -
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 - 二項分布的泊松近似（泊松定理）
在n重伯努利實驗中，記事件A在一次伯努利實驗中發生的機率為
（與試驗次數n有關）,如果當
時，有
, 則
3 超幾何分布 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布
- 背景：從含有M個不合格産品的N個産品中，不放回地随機抽取n個，則其中含有的不合格品的個數服從超幾何分布。
- 機率分布列: ,其中
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 且 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 均為正整數 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 - 期望與方差：
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 - 超幾何分布的二項近似：當 , 超幾何分布
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 可用二項分布 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 近似，即 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布
, 其中
.
- 實際應用：當批量N較大、而抽出樣品數n較小時，不傳回抽樣可看作傳回抽樣的近似。
4 幾何分布 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布
- 背景：在伯努利試驗序列中，成功事件A首次出現時的試驗次數, p為每次試驗中事件A發生的機率
- 機率分布列：
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 - 期望與方差:
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 - 幾何分布的無記憶性
若
,則對任意正整數m與n有:
5 負二項分布 / 巴斯卡分布 機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布
- 背景：在伯努利試驗序列中,成功事件A第r次出現時的試驗次數,
- 機率分布列：
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 - 期望與方差:
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布 - 幾何分布與負二項分布的關系: r=1時的負二項分布為幾何分布，即
機率論與數理統計基礎（二）:常用離散分布 二項、泊松、超幾何分、幾何、 負二項分布
負二項分布的随機變量可以表示為r個獨立同分布的幾何分布随機變量之和，即
若
,則
6 常用離散分布表
參考資料：
機率論與數理統計教程-茆詩松-第二版 ；習題與解答