随机事件及其概率

• • 1.随机事件
  • • 1.1随机实验特点
    • 1.2样本空间
    • 1.3随机事件
    • 1.4古典概型
  • 2.概率的定义和计算
  • • 2.1频率与概率：
    • 2.2定义：
    • 2.3概率的性质
  • 3.条件概率
  • • 3.1条件概率公式：
    • 3.2全概率公式：
    • 3.3贝叶斯公式：
  • 4.事件的独立性
  • • 4.1两事件独立：
    • 4.2多个事件独立

1.随机事件

1.1随机实验特点

①可在相同条件下重复进行

②一次实验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。

1.2样本空间

样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间。

样本点：实验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。

由样本组成的单点集称为基本事件。

1.3随机事件

样本空间的任意一个子集称为随机事件。

任何时间均可表示为样本空间的某个子集。

（既然事件是一个集合，那么有关时间之间的关系、运算规则也按照集合的规则处理）

1.4古典概型

若某实验满足：

①样本空间有限性②等可能性

则称为古典概型。

概率：

若事件 A A A中所含的样本点的个数为 N ( A ) N(A) N(A)，以 N ( Ω ) N(\Omega) N(Ω)记样本空间 Ω \Omega Ω的样本点总数，则

P ( A ) = N ( A ) N ( Ω ) P(A)=\frac{N(A)}{N(\Omega)} P(A)=N(Ω)N(A)​

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) P(A+B)=P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)

2.概率的定义和计算

2.1频率与概率：

当试验次数较大时，可认为概率近似等于频率。

2.2定义：

若对随机实验E所对应的样本空间 Ω \Omega Ω中的每一事件 A A A，均赋予一实数 P ( A ) P(A) P(A)，集合函数 P ( A ) P(A) P(A)满足条件：

1. P ( A ) ≥ 0 P(A)≥0 P(A)≥0

2. P ( Ω ) = 1 P(\Omega)=1 P(Ω)=1

3.可列可加性：设 A 1 , A ( 2 ) , . . . , A_{1},A(2),..., A1​,A(2),...,是一列两两互不相容的事件，有

P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + . . . P(A_{1}\cup A_{2}\cup ...)=P(A_{1})+P(A_{2})+... P(A1​∪A2​∪...)=P(A1​)+P(A2​)+...

则称P(A)为事件A的概率。

2.3概率的性质

1.有限可加性

2.单调不减性

3.事件差 P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)

4.加法公式

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

5.可分性

P ( A ) = P ( A B ˉ ) + P ( A B ) P(A)=P(A\bar{B})+P(AB) P(A)=P(ABˉ)+P(AB)

3.条件概率

3.1条件概率公式：

P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)​

3.2全概率公式：

P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i}) P(B)=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)

3.3贝叶斯公式：

P ( A j ∣ B ) = P ( A j ) P ( B ∣ A i ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(A_{j}|B)=\frac{P(A_{j})P(B|A_{i})}{\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})} P(Aj​∣B)=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)P(Aj​)P(B∣Ai​)​

4.事件的独立性

4.1两事件独立：

P ( B ) = P ( B ∣ A ) P(B)=P(B|A) P(B)=P(B∣A)，则称A和B相互独立

等价于 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)

4.2多个事件独立

若事件A,B,C满足：

1. P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) , P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) , P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P( C),P(BC)=P(B)P(C) P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称 A , B , C A,B,C A,B,C两两相互独立。

在此基础上还满足：

2. P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

则称事件A,B,C相互独立。