前言
高斯分布，即正态分布，是一个很常见的分布，通常身高、分数等大致符合高斯分布。当研究各类数据时，假设同一类的数据符合高斯分布，也是简单自然的假设。所以在聚类时，我们希望将数据划分为一些簇时，可以假设不同簇中的样本各自服从不同的高斯分布，由此得到的聚类算法称为高斯混合模型。
高斯混合模型
假设数据可以看作多个高斯分布中生成出来的，每个分模型有自己的期望（均值）
和方差
，同时有一个权重
，于是概率密度写成
举个例子，假设有两个分模型，用他们来生成数据，分模型的分布为
和
，权重分别为0.7和0.3。在生成一个数据点时，按照权重的比例，随机选择一个模型分布，比如选择第一个高斯分布，从
产生一个点-0.5，接着生成第二个数据点，随机选择到第二个高斯分布
，生成第二个点4.7，继续循环，最后生成所有点。
而我们应用在聚类上，希望观测了一系列点后，给出一个类别的数量K，能够得到最佳的K个高斯分模型。这个问题通常通过最大似然估计来求解，遗憾的是，若直接使用最大似然估计，得到的是一个复杂的非凸函数。
在这种情况下，通过EM算法来求解该优化问题。
EM算法
expectation-maximum。
EM算法的提出背景：我们常用最大似然估计来找出样本的最佳参数，但是有时得到的观测数据有未观测到的隐含变量，，因而无法直接计算。
一般来说，假设有m个观察样本，模型参数为θ，最大似然可以写成如下形式
当含有未被观察到的隐含变量
时，参数的极大似然估计变为
假设
对应的分布为
，所以它满足
，并对上式做一个变换
引入Jensen不等式
得到
要满足Jensen不等式的等号成立，则有
，c为常数。我们已经知道
，则认为
，因为之前那个式子代表每个样例比例都是c。则可推出
于是就可以将
代入刚刚的不等式右侧，这就得到了损失函数的下界。
现在损失函数变成了L(θ)>=J(z,Q)，我们通过优化这个下界，来使L(θ)不断提高，最终达到它的最大值。
这有点像坐标下降法，每次固定一个参数，优化另一个参数。（E步：固定θ，优化Q；M步：固定Q，优化θ）。
但是EM算法只保证收敛到局部最优解，当函数为非凸时，如果初始化在左边的区域，则无法找到右侧的高点
所以EM算法的框架总结如下，由两个步骤进行交替直到收敛：
（1）E步骤：固定θ，对于每一个i，计算隐变量Z的条件概率分布的期望
（2）M步骤：固定Q，最大化
感性地说，因为下界不断提到，所以极大似然估计单调增加，那么最终会达到最大值。
接着高斯混合模型
我们并不知道最佳的K个高斯分布的各自3个参数（期望（均值）
和方差
，同时有一个权重
）。也就是说，每次循环时，先固定当前的高斯分布不变，获得每个数据点由各个高斯分布生成的概率。然后固定该生成概率不变，根据数据点和生成概率，获得一个组更佳的高斯分布。循环往复直到参数不再变化，或者变化很小时，便得到了比较合理的一组高斯分布。
高斯混合模型与K-means
相同点：它们都可以用于聚类；都需要指定K值；都是使用EM算法来求解；都往往收敛于局部最优。
K-means的优势：可以给出一个样本属于某类的概率是多少；除了聚类，还可用于概率密度的估计。