目錄
1. 随機變量
2. 離散型随機變量
3. 分布函數
4. 連續型随機變量及其機率密度
5. 均勻分布和指數分布
6. 正态分布
7. 随機變量函數的分布
1. 随機變量
- 兩類試驗結果
中心問題：将試驗結果數量化。
- 随機變量定義
設随機試驗的樣本空間為S，若X = X(e)為定義在S上的實值單值函數,則成X(e)為随機變量，簡寫為X。
說明：
1）随機變量X (e) : S -> R 為一映射,其自變量具有随機性;
2）随機事件可以表示為
如：将一枚均勻的硬币抛擲3次, 樣本空間為
3）對于
,則必有
4) 一般用大寫英文字母X,Y,Z或希臘字母
等來表示随機變量
- 随機變量類型
1）離散型随機變量
2）連續型随機變量
- 離散型随機變量定義
若随機變量X的取值為有限個或可數個, 則稱X為離散型随機變量。
可數集(也稱為可列集): 是指能與自然數集N建立一一對應的集合.即其中的元素都是可以被數到的。
不可數集：是無窮集合中的一種.一個無窮集合和自然數集合之間如果不存在一一對應關系, 那麼它就是一個不可數集。
- 離散型随機變量的機率分布率/分布率
分布率的内容：随機變量的所有可能取值；取每個可能取值時對應的機率
分布率的性質：
分布率的另一種表示形式：
- 例題
2. 離散型随機變量
- 0-1分布
定義：
應用：
一個随機試驗,設A是一随機事件,且P(A) = p(0<p<1).若僅考慮事件A發生與否，就可以定義一個服從參數為p的0-1分布的随機變量：
來描述這個随機試驗的結果.隻有兩個可能結果的試驗, 稱為貝努利(Bernoulli)試驗，故兩點分布 有時也稱為貝努利分布.
1）檢查産品的品質是否合格
2）對新生兒的性别進行登記
3）檢驗種子是否發芽
4）考試是否通過
5）求婚是否成功
6）馬路亂停車是否會受罰
- 二項分布
考察：
馬路亂停車9次, 若每次不被罰的機率為0.4,求9次中有2次不被罰的機率（假設每次是否被罰互相獨立）：
某人注冊了6門MOOC課程, 若已知每門課的通過率為80%,假設每門課之間是獨立的, 求他通過5門的機率:
設試驗E隻有兩個可能的結果:
,且P(A) = p, 0<0<1.将E獨立地重複地進行n次，則稱這一串重複的獨立試驗為n重貝努利試驗.
我們想了解n重伯努利試驗中結果A發生的次數的統計規律。
定義：
設X表示 n重貝努利試驗中結果A發生的次數, 則X的可能取值為0,1,..., n,
.
若X的機率分布律為
,k=0,1,...,n,其中
,就稱X服從參數為n,p的二項分布(Binomial),記為X~B(n,p).
- 泊松分布
定義：
用途：
1）某人一天内收到的微信的數量
2）來到某公交站的乘客
3）某放射性物質發射出的粒子
4）顯微鏡下某區域中的白血球
如果某事件以固定強度λ,随機且獨立地出現，該事件在機關時間内出現的次數(個數)可以看成是服從泊松分布.
即當 n>10,p<0.1時，二項分布B(n,p)可以用泊松分布
來近似。
- 幾何分布
若X的機率分布律為
,其中0<p<1,稱X服從參數為p的幾何分布，記為X~Geom(p).
用途：
在重複多次的貝努裡試驗中, 試驗進行到某種結果出現第一次為止, 此時的試驗總次數服從幾何分布. 如:射擊,首次擊中目标時射擊的次數;上一小節的例2.
3. 分布函數
- 定義
随機變量X ,對任意實數x,稱函數
,為 X 的機率分布函數，簡稱分布函數.
任何随機變量都有相應的分布函數。
F(x)的幾何意義：
- 用途
可以給出随機變量落入任意一個範圍的可能性。
b-0 可以看作是比b小一丁點的數。
一般地，離散型随機變量的分布函數為階梯函數。
設離散型随機變量X的分布律為
; X的分布函數
.
F(x) 在
處有跳躍，其跳躍值為
- 性質
4. 連續型随機變量及其機率密度
- 定義
對于随機變量X的分布函數 F(x), 若存在非負的函數f(x), 使對于任意實數 x 有:
則稱X為連續型随機變量,其中f (x)稱為X的機率密度函數, 簡稱機率密度. 有時也寫為
.
- f(x)的性質
1）
2）
- 例題
5. 均勻分布和指數分布
- 均勻分布
定義：
若X的機率密度函數為：
其中a < b,就稱X服從(a,b)上的均勻分布(Uniform),記為X~U(a,b)/Unif(a,b).
性質：均勻分布具有等可能性。
直覺了解：
均勻分布的機率計算：
- 指數分布
定義：
性質：指數分布具有無記憶性
例題：
用途：
1）指數分布可以用來表示獨立随機事件發生的時間 間隔，比如旅客進機場的時間間隔、中文維基百 科新條目出現的時間間隔等等;
2）在排隊論中，一個顧客接受服務的時間長短也可 用指數分布來近似;
3）無記憶性的現象(連續時).
6. 正态分布
- 定義
- 兩個參數的含義
1）當 固 定
, 改 變
的 大 小 時 , f ( x ) 圖 形 的 形狀不變,隻是沿着 x 軸作平移變換;
稱為位置參數 (決定對稱軸位置).
2）當固定
,改變
的大小時, f(x)圖形 的對稱軸不變,而形狀在改變,
越小,圖形越高越瘦,
越大,圖形越矮越胖.
稱為尺度參數 (決定曲線分散程度).
- 用途
1）自然界和人類社會中很多現象可以看做正态分布：
如: 人的生理尺寸(身高、體重);醫學檢驗名額(紅細胞數、血小闆);測量誤差;等等
2）多個随機變量的和可以用正态分布來近似：
如：注冊MOOC的某位同學完成所有作業的時間；二項分布; 等等(By 中心極限定理)
- 正态分布的機率計算
積分計算方法：
1）用EXCEL、MATLAB、R等軟體來計算；
2）用數值積分法;
3）轉化為标準正态, 然後利用标準正态分布表來求（查表）。
- 标準正态分布
- 性質
- 例題
7. 随機變量函數的分布
- 問題
要得到一個圓的面積Y, 總是測量其半徑, 半徑的測量值可看作随機變量X,若
,則
的分布是什麼?
若體重W(kg)均服從正态分布，在身高L(m)确定的情形下，則體質名額
服從什麼分布？
已知随機變量X的分布，Y=g(X)，函數g已知，求Y的分布。
- 例題
一般，若已知X的機率分布, Y=g(X),求Y的機率分布的過程為: 先給出Y的可能取值; 再利用等價事件來給出機率分布.
1)若X為離散型随機變量, 則先寫出Y的可能取值:
;再找出
的等價事件
,得到
2)若X為連續型随機變量, 先根據X的取值範圍, 給出Y的取值 範圍;然後寫出Y的機率分布函數:
,找出
的等價事件
,得到
;再求出Y的機率密度函數
.
- 定理
一般地，若随機變量
,若Y=aX+b，則
.