叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 對于任意一個多邊形，如果已知其各個頂點的坐标 
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ，那麼這個多邊形的面積為： 叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 , 其中 叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 。 舉個例子(From Wikipedia)，比如下圖這樣一個奇奇怪怪的五邊形，其頂點坐标為
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 根據上述公式，隻需要把各點坐标帶入上述公式即得：
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 是不是感覺很神奇，也不知道對不對，這個大家也可以把上述面積分解驗算一下。
上述公式就是
Shoelace Theorem，鞋帶定理？！ 叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 為什麼叫Shoelace Theorem，因為這個公式的運算很像鞋帶，我們來看看三個頂點時的公式計算，
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ，就如下圖所示：
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 圖：三個頂點時的計算公式，from Wikipedia
對于任意
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 邊形，我們也可以類型的把坐标依次寫下來，然後就可以根據公式算出這個多邊形的面積了。不過這裡有兩點需要
注意 ：
（1）對于任意多邊形，我們看到的隻是各個頂點的坐标，是沒有标
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 的，是以這裡我們隻需要
任意指定一個頂點為 叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ，然後按照順時針或者逆時針進行标号 就可以了；
（2）因為我們是任意指定一個點為
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ，且順時針或者逆時針都可以，是以有時候按照公式計算出來是為負值。但是
面積是一個正值，是以我們公式中是有一個絕對值的； 接下去我們就證明一下Shoelace Theorem，不過在證明之前，我們鋪墊一點向量叉乘(cross product)的知識。(如果清楚可以直接看公式證明過程。)
之前我們有介紹過向量點乘(dot product)，
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注：上式左邊是向量的點乘符号，右邊是數乘符号。
這裡我們在定義一個向量叉乘，
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注，向量叉乘得到的是一個新的向量。
其中
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 是一個機關向量，其方向是垂直
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 向量所成平面的法向量方向。這裡我們可以根據
右手來判斷，首先用右手四指(除大拇指外)指向 叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ，然後彎曲轉向 叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ，那麼大拇指指向的就是 叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 方向 ，如下圖
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 圖：From Further Pure Mathematics
如果是
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ,那麼方向就跟
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 剛好相反。
那麼向量叉乘怎麼算呢？
這裡我們就直接給出計算公式了。
如果
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叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ,
那麼，
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如果學過矩陣行列式，我們可以用行列式表示：
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說了這麼多的向量叉乘，那麼跟面積有什麼關系呢？
我們在《三角形面積公式知多少？》一文中提過一個三角形面積公式：
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比對一下叉乘公式，我們發現
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 就是以
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 兩個向量所構成的平行四邊形面積。再除以2，就是以
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 構成的三角形面積了。
接下去我們要用數學歸納法來證明Shoelace Theorem，首先證明三個頂點時定理成立，然後假設
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 個頂點定理成立，推導
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 邊形時成立。
【1】證明三角形時成立 已知平面坐标系上三個頂點坐标
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ，我們可以把這三個頂點放到三維空間中，并把點
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 移動到原點
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 。那麼，
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于是，根據向量叉乘的幾何意義可知：
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叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 注：
（1）把二維平面上的三角形放到了三維空間中，面積保持不變；且把點
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 移動到了原點，這樣計算就友善很多。
（2）為了接下去證明的友善，我們這裡沒有加絕對值，因為如果計算出來是負值，隻需要改變一下計算順序就可以了。
【2】假設 叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 邊形時成立，推導 叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 邊形成立 已知條件
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 邊形時成立，
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ,
其中
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對于頂點為
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 的
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 邊形，可以分為
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 邊形與一個三角形之和
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叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ,
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 ,
于是，
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叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 。
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 至此，我們就完整的證明了Shoelace Theorem。這個定理在競賽中還是比較常見的，比如在AMC10/12中，今年2020AMC12A中就有：
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 利用這個定理還是很容易計算的,
叉乘點乘混合運算公式_【國際數學競賽】任意多邊形面積計算公式 不知道大家對于這個定理有什麼想法，歡迎交流讨論~
如果想看三角形與四邊形面積計算公式可看下面兩篇文章：
雙木止月Tong：【國際數學競賽】三角形面積公式知多少？zhuanlan.zhihu.com
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