叉乘點乘混合運算公式_【“數”你好看】對數運算(Logarithm)

從國小我們就開始學習乘法，比如10個2相乘可以寫成：

。但這樣寫好像有點麻煩，是以引入了指數運算，隻需要寫成:

就可以了。根據基本的定義我們可以得到如下的指數(Exponent)運算法則：

不過又有了一個問題，我們知道

很簡單，但是想知道2的多少次等于520卻并不簡單，

。于是數學家們就定義了一個對數(Logarithm)運算，定義了

。簡單來講，就是定義了指數運算的一個逆運算，

就可以寫成

。上式中，我們把

稱為

底數

，

稱為

真數(

)

。特别的，我們把以10為底的對數寫成

,稱為

常用對數

；把以

為底的對數寫成

,稱為

自然對數

。

下面是對數運算常見的性質與運算規則：

下面我們來逐個講講上面的性質與運算法則： （1）

因為任何非零實數的零次方都等于1，

,是以根據對數的定義

。

（2）

因為

,是以

（3）

設

,那麼

。再把

帶入

中就可以得到

。

（4）

設

,根據對數的定義可知，

。于是，

,是以寫成

,得證。

（5）

第(5)條的證明可以仿照第(4)條，隻需要把“乘”換成“除”就可以了。

（6）

因為

(真數是k個M相乘)，可以借助第(4)條，那麼

,得證。

（7）

根據第(6)條和第(2)條可知，

。

(敲黑闆)接下去要介紹最常考的

換底公式 （8）

設

,根據對數定義可知，

。于是，

,是以有

，是以

,即

得證。 (這裡證明中需要用到：若

,那麼

,這是因為指數函數是one-to-one function,一對一函數，一個y也隻對應一個x。)

接下來我們來看三道題競賽題，看看對數運算在競賽中怎麼考。

Solution:

上式我們可以用換底公式,都換成常用對數，可得

Solution:

因為題目要求的是

,不妨設

。

根據

,兩邊取以2為底的對數，

;而

，可以用換底公式化為

，于是

。

那麼，

。

Solution:

根據定義可知，

。于是，兩邊取底為n的對數，

。是以，對于任意

,

都是一個定值，都等于

。又

，是以

。

那麼，

，

。是以，

。

總結，上述三道題展現了近兩年AMC關于對數的考察方式與難度，無論是平常的數學考試還是競賽對于

換底公式

的考察都是重點，要求我們能夠

熟練的掌握對數的性質與運算法則

。

在2011年加拿大進階數學競賽(CSMC)中看到了一道關于對數的幻方題，

2011-CSMC-PartA-6

題意：上圖是一個

的幻方，每行、每列以及對角線的和相等，請用

表示

的乘積。

這是一道關于對數的代數題，如果直接根據已知條件列出等式求解，雖然可行但是運算會比較繁瑣，且沒有方向很容易繞不出來，這裡介紹一種方法。

Solution to 2011-CSMC-PartA-6

設每行、每列以及對角線的和為

,

這裡為什麼設

而不是

？因為這樣運算比較友善，接下去我們隻需要用

來表示

就可以了。并且根據次對角線可知

,是以

,接下去隻需要用

表示

就可以了。

首先根據第一行：

,可知

;

于是第三列，

,可知

;

根據主對角線，

,可知

；

根據第二列，

,可知

；

根據第三行，

,可知

;

至此，已經知道了

關于

的表達式，根據

,

化簡得：

.

這種方法在代數運算中還是挺常見的，比如證明比例性質

.

如果還有其他關于對數的重難點，歡迎大家交流讨論~~

如果想了解更多國際課程中的數學知識可參閱：

雙木止月Tong：【國際數學課程】目錄​zhuanlan.zhihu.com