第一章 三角形的證明
1.2直角三角形
一、知識點梳理
1.直角三角形的性質定理：
①直角三角形的兩個銳角互餘
②直角三角形兩條直角邊的平方等于斜邊的平方
2.直角三角形的判定定理：
①有兩個角互餘的三角形是直角三角形
②如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三
角形
3.互逆命題：在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分别是另一個命題的結論和條件，那麼這兩個命題成為互逆命題，其中一個命題成為另一個命題的逆命題。
4.逆定理：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定理，其中一個定理成為另一個定理的逆定理。
5.直角三角形全等的證明：斜邊和一條直角邊分别相等的兩個直角三角形全等。
二、經典題型總結
題型一：利用直角三角形的性質求線段長
題型二：利用互逆命題的關系寫逆命題
題型三：利用“斜邊、直角邊”(HL)證明兩直角三角形全等
題型四：與直角三角形有關的動點、最值問題
題型五：與直角三角形有關的綜合提升題
三、解題技巧點睛
1.在直角三角形中求斜邊上的高的時候可以考慮使用面積相等的方法(等積法)
2.在等腰直角三角形(或等腰等邊三角形)内部出現三角形的題型中，有時可以考慮用旋轉的方法構造全等三角形解題
3.靈活運用勾股定理的逆定理，若題幹中未明确直角三角形，而是給定了幾條邊的長度，那麼就可以考慮一下是否需要逆定理
4.靈活運用①直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半
②直角三角形中斜邊的中線長等于斜邊的一半
四、易錯點分析
原命題正确，逆命題未必正确；原命題不正确，其逆命題也不一定錯誤；正确的命題我們稱為真命題，錯誤的命題我們稱它為假命題.一個定理是真命題，每一個定理不一定有逆定理，如果這個定理存在着逆定理，則一定是真命題.
五、典型例題分析
題型一：利用直角三角形的性質求線段長
例題：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是( )
題型二：利用互逆命題的關系寫逆命題
例題：判斷下列命題的真假，寫出逆命題，并判斷逆命題的真假
(1)如果兩條直線相交，那麼它們隻有一個交點；
(2)如果a>b,那麼a2>b2
(3)如果兩個數互為相反數，那麼它們的和為零；
(4)如果ab<0,那麼a>0,b<0.
題型三：利用“斜邊、直角邊”(HL)證明兩直角三角形全等
題型：在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF．求證：Rt△ABE≌Rt△CBF
題型四：與直角三角形有關的綜合提升題
例題：如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C在△ABC外作直線l，AM⊥l于點M，BN⊥l于點N.
(1)求證：MN=AM+BN；
(2)如圖②，若過點C作直線l與線段AB相交，AM⊥l于點M，BN⊥l于點N(AM＞BN)，(1)中的結論是否仍然成立？說明理由.
六、中考真題再現
(2019.安徽.12題)命題“如果a+b＝0，那麼a，b互為相反數”的逆命題為 ．
(2019.赤峰.26題)【問題】
如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線l平行于AB．∠EDF＝90°，點D在直線l上移動，角的一邊DE始終經過點B，另一邊DF與AC交于點P，研究DP和DB的數量關系．
【探究發現】
(1)如圖2，某數學興趣小組運用“從特殊到一般”的數學思想，發現當點D移動到使點P與點C重合時，通過推理就可以得到DP＝DB，請寫出證明過程；
【數學思考】
(2)如圖3，若點P是AC上的任意一點(不含端點A、C)，受(1)的啟發，這個小組過點D作DG⊥CD交BC于點G，就可以證明DP＝DB，請完成證明過程；
【拓展引申】
(3)如圖4，在(1)的條件下，M是AB邊上任意一點(不含端點A、B)，N是射線BD上一點，且AM＝BN，連接配接MN與BC交于點Q，這個數學興趣小組經過多次取M點反複進行實驗，發現點M在某一位置時BQ的值最大．若AC＝BC＝4，請你直接寫出BQ的最大值．
七、習題鞏固訓練
1.已知一個直角三角形的周長是2，斜邊上的中線長為2，則這個三角形的面積為 ．
2.如圖，已知點D為△ABC内一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，則CD的長為 ．
3.如圖所示的網格是正方形網格，則∠PAB+∠PBA＝ °(點A，B，P是網格線交點)．
4.如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝6 cm，腰AB上的高CE＝8 cm，則△ABC的周長等于________ cm.
5.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，∠DCB＝60°，AB+BC＝8，則AC的長是 ．
6.△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點P為△ABC内的一點，AP＝2，BP＝5，∠APC＝120°，則PC的長為( )
7.如圖，一根木棍斜靠在與地面垂直的牆上，設木棍中點為，若木棍端沿牆下滑，且沿地面向右滑行．在此滑動過程中，點到點的距離 ．(變/不變)
8.如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，F為CD上一點，且CF＝CD，過點B作BE∥DC交AF的延長線于點E，BE＝12，則AB的長為 ．
9.如圖，在中，D是AB的中點，，，交AC于點若，，則_________．
10.根據命題“兩直線平行，内錯角相等．”解決下列問題：
(1)寫出逆命題；
(2)判斷逆命題是真命題還是假命題；
(3)根據逆命題畫出圖形，寫出已知，求證．
11.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一點，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數.
12.如圖所示，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊△ABD，連接配接DC，以DC為邊作等邊△DCE，B，E在C，D的同側，若，求BE的長.
13.如圖所示，在Rt△ABC中，，D是AC的中點，将一塊銳角為45°的直角三角闆如圖放置，使三角闆斜邊的兩個端點分别與A，D重合，連接配接BE，EC．試猜想線段BE和EC的數量及位置關系，并證明你的猜想．
14.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接配接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD＝2∠ACB．
(1)證明：DC＝DG；
(2)若DG＝5，EC＝2，求DE的長．
15．如圖、已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD＝4cm，求PE的長．
16．如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中點．求證：MN⊥BD．
17．如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為高，且CD，CE三等ACB．
(1)求∠B的度數；
(2)求證：CE是AB邊上的中線，且CE＝AB．
18.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分别是AC、BD的中點，求線段MN的長為．
19．如圖，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E為AB的中點，
(1)如圖1，求證：△ECD是等腰三角形；
(2)如圖2，CD與AB交點為F，若AD＝BD，EF＝3，DE＝4，求CD的長．
20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．點D是AB中點，點E為邊AC上一點，連接配接CD，DE，以DE為邊在DE的左側作等邊三角形DEF，連接配接BF．
(1)△BCD的形狀為 ；
(2)随着點E位置的變化，∠DBF的度數是否變化？并結合圖說明你的理由；
(3)當點F落在邊AC上時，若AC＝6，請直接寫出DE的長．