叉乘点乘混合运算公式_【国际数学竞赛】任意多边形面积计算公式

对于任意一个多边形，如果已知其各个顶点的坐标

，那么这个多边形的面积为：

, 其中

。

举个例子(From Wikipedia)，比如下图这样一个奇奇怪怪的五边形，其顶点坐标为

根据上述公式，只需要把各点坐标带入上述公式即得：

是不是感觉很神奇，也不知道对不对，这个大家也可以把上述面积分解验算一下。

上述公式就是

Shoelace Theorem，鞋带定理？！

为什么叫Shoelace Theorem，因为这个公式的运算很像鞋带，我们来看看三个顶点时的公式计算，

，就如下图所示：

图：三个顶点时的计算公式，from Wikipedia

对于任意

边形，我们也可以类型的把坐标依次写下来，然后就可以根据公式算出这个多边形的面积了。不过这里有两点需要

注意

：

（1）对于任意多边形，我们看到的只是各个顶点的坐标，是没有标

的，所以这里我们只需要

任意指定一个顶点为

，然后按照顺时针或者逆时针进行标号

就可以了；

（2）因为我们是任意指定一个点为

，且顺时针或者逆时针都可以，所以有时候按照公式计算出来是为负值。但是

面积是一个正值，因此我们公式中是有一个绝对值的；

接下去我们就证明一下Shoelace Theorem，不过在证明之前，我们铺垫一点向量叉乘(cross product)的知识。(如果清楚可以直接看公式证明过程。)

之前我们有介绍过向量点乘(dot product)，

。

注：上式左边是向量的点乘符号，右边是数乘符号。

这里我们在定义一个向量叉乘，

，

注，向量叉乘得到的是一个新的向量。

其中

是一个单位向量，其方向是垂直

向量所成平面的法向量方向。这里我们可以根据

右手来判断，首先用右手四指(除大拇指外)指向

，然后弯曲转向

，那么大拇指指向的就是

方向

，如下图

图：From Further Pure Mathematics

如果是

,那么方向就跟

刚好相反。

那么向量叉乘怎么算呢？

这里我们就直接给出计算公式了。

如果

,

,

那么，

。

如果学过矩阵行列式，我们可以用行列式表示：

.

说了这么多的向量叉乘，那么跟面积有什么关系呢？

我们在《三角形面积公式知多少？》一文中提过一个三角形面积公式：

。

比对一下叉乘公式，我们发现

就是以

两个向量所构成的平行四边形面积。再除以2，就是以

构成的三角形面积了。

接下去我们要用数学归纳法来证明Shoelace Theorem，首先证明三个顶点时定理成立，然后假设

个顶点定理成立，推导

边形时成立。

【1】证明三角形时成立

已知平面坐标系上三个顶点坐标

，我们可以把这三个顶点放到三维空间中，并把点

移动到原点

。那么，

，

。

于是，根据向量叉乘的几何意义可知：

。

注：

（1）把二维平面上的三角形放到了三维空间中，面积保持不变；且把点

移动到了原点，这样计算就方便很多。

（2）为了接下去证明的方便，我们这里没有加绝对值，因为如果计算出来是负值，只需要改变一下计算顺序就可以了。

【2】假设

边形时成立，推导

边形成立

已知条件

边形时成立，

,

其中

。

对于顶点为

的

边形，可以分为

边形与一个三角形之和

,

,

,

于是，

其中，

。

至此，我们就完整的证明了Shoelace Theorem。这个定理在竞赛中还是比较常见的，比如在AMC10/12中，今年2020AMC12A中就有：

利用这个定理还是很容易计算的,

不知道大家对于这个定理有什么想法，欢迎交流讨论~

如果想看三角形与四边形面积计算公式可看下面两篇文章：

双木止月Tong：【国际数学竞赛】三角形面积公式知多少？​zhuanlan.zhihu.com

双木止月Tong：【国际数学竞赛】四边形面积公式知多少？​zhuanlan.zhihu.com

想了解更多关于国际数学竞赛及课程的知识，可参阅：

双木止月Tong：国际数学竞赛及课程​zhuanlan.zhihu.com