在19世紀，數學家們開始更深入地研究形狀的基本性質。這時，幾何學中出現了一個新的領域，在這個領域中，如果兩個物體中的其中一個可以在沒有任何撕裂或粘合的情況下，通過拉伸或擠壓而變成另一個，那麼這兩個物體就可以被認為是相同的。
在個被稱為“拓撲學”的領域裡，字母a和字母b是一樣的，正方形和圓形是一樣的，茶杯和甜甜圈是一樣的。今天，拓撲學在數學和其他領域的價值是無法估量的，在從實體學到經濟學及資料科學等領域中均有重要應用。
鑒于對拓撲學領域的貢獻，挪威科學與文學院決定将2022年阿貝爾獎授予丹尼斯·帕内爾·蘇利文（Dennis Parnell Sullivan），“以表彰其在最廣泛意義上對拓撲學的開創性貢獻，尤其是代數、幾何及動力學方面”。
丹尼斯·帕内爾·蘇利文。蘇利文在拓撲學方面的重要成果是其對亞當斯猜想的證明， 以及在動力系統方面證明了有理映射無遊蕩域，解決了60年前的猜想。1999年，他與Moira Chas發現了一個基于循環的流形的新不變量，形成了弦拓撲這一近年得到迅速發展的領域。| 圖檔來源：John Griffin/Stony Brook University
阿貝爾獎委員會主席漢斯·芒特-卡斯(Hans Munthe-Kaas)表示：“丹尼斯·蘇利文通過引入新概念、證明具有裡程碑意義的定理、回答舊猜想以及提出推動該領域發展的新問題，不斷推動拓撲學的發展”。他還說：“蘇利文就像一位真正的大師，似乎毫不費力地運用代數、解析及幾何理念在不同領域間轉換。”
流形：一維、二維、三維......
“流形”是拓撲學中的一個基本概念，它是一種在任何地方都相同的形狀，沒有端點、邊緣點、交叉點或分支點。流形的分類（即有多少種不同的流形以及它們的樣子）一直是拓撲學研究的基本領域之一。這正是蘇利文開始他職業生涯的領域，也是他研究的主題和重要的早期工作。
讓我們從簡化的分類開始，先來看看一維的流形。一維形狀或許最容易被想象成由弦構成的形狀。我們可以用弦來表示字母a，但顯然，a不是流形，因為它有兩個端點，分别位于字母a的頂端和底部。字母“b”和“c”也是如此，它們也不是流形。而字母“o”就是流形：它沒有端點、交叉點、分支。事實上，“o”這個閉環是唯一可以由有限數量的弦構成的一維流形。
下面，我們來看二維空間的流形。二維形狀也許最容易被想作是由面構成的形狀。一張紙是二維的（如果我們忽略其厚度），但它不是流形，因為它有邊；而球體（從數學上講，球體就是球的表面）就是一種流形了，無論你處于一個球體上的哪個位置，周圍的環境看起來都是一樣的。
環面（形狀像甜甜圈）也是一種流形；雙環面（看起來像一個8字形的椒鹽卷餅的表面）也是一種流形。不僅如此，事實上三環面，四環面……都是流形。總結說來：在二維空間裡，球體和環面族是僅有的可以用有限數量的面構成的二維可定向流形。
讓我們繼續看三維。三維形狀可能最容易被想成是用面團做成的形狀。但是對于三維的情況來說，視覺類比失效了，我們進入了抽象世界。從前面的例子中，請注意回想一維的弦流形（如字母o）是如何在二維空間中存在的，二維環面又是如何在三維空間中存在的。同樣的道理，三維的面團流形存在于四維或四維以上的空間裡，這些形狀無法在我們生活的三維空間中被建構出來。
面團流形的分類是龐加萊猜想的主題。龐加萊猜想曾是數學中最著名的未解難題，直到俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼（Grigori Perelman）在2002年和2003年解決了它。
接下來，在更高的次元裡，四維流形的分類充滿了各種各樣的未解難題和謎團；然而，奇怪的是，一旦達到五維及以上，流形的分類就變得容易了。拓撲學家将“割補理論”運用到這些流形上，并建構出了新的流形。用簡單的話來說，次元越高，可移動的“空間”就越大。
蘇利文的早期工作就是關于割補理論的。他弄清楚了有哪些東西可以被添加到割補程式中。他的一大創新就是利用“分類空間”來組織割補理論，并将這些空間作為了解所有高維流形的關鍵。他的工作使我們全面了解了在五維及更高次元的空間中有哪些流形存在，以及它們有着怎樣的特點。
混沌理論
20世紀70年代中，計算機激發了許多新的數學研究。比如它使得研究那些依賴于多次重複計算的系統的行為成為可能，其中一些這樣的計算揭示出了迷人而美麗的分形。
例如，數學生物學家設計了一些模型來描述動物數量的增長和減少。下面所顯示的這個簡單的被稱為邏輯斯谛映射的公式，就可以用來描述動物種群的年複一年的變化。
xn是一個0到1之間的數字，表示動物種群的大小與最大種群在第n年的比例；參數r是系統的繁殖率。
邏輯斯谛映射是疊代的，這意味着我們可以從第1年的種群規模開始，計算出第2年的總群規模，然後把這個值代回方程，又能得到第3年、第4年的數值，以此類推。這個方程既反映了種群是如何成比例增長（rxn部分）的，也反映了種群規模過大對有限資源造成壓力時，種群大小會如何下降（1 - xn部分）。
邏輯斯谛映射揭示了由r值導緻的異常複雜的行為。如下圖所示的那樣，圖形沿橫軸繪制了r的值，沿縱軸繪制了種群的極值。
圖檔來源：Morn/wikimedia commons
例如，當r介于2.4到3之間時，無論種群的初始大小如何，都會最終穩定在一個固定值，是以在圖中顯示為一條線。而當r達到3時，線出現了分叉，這意味着種群大小最終不會穩定在一個值上。在這種情況下，種群的極值每年會在兩個值之間振蕩。當r繼續增加時，這兩個分支再次出現分叉，這時，種群在4個值之間振蕩。
這樣的圖形也被稱為分岔圖，是20世紀70年代最著名的數學圖像之一。這種倍周期的級聯現象是衆所周知的混沌理論的一個典型例子。混沌理論的另一個通俗說法是“蝴蝶效應”，在這種理論中，初始條件發生微小的變化都可能産生截然不同的結果。
實體學家米切爾·費根鮑姆（Mitchell Feigenbaum）發現了邏輯斯谛映射的一個有趣特征：分岔點之間的距離之比會收斂到一個固定的數值，4.6692…，這個數被稱為費根鮑姆常數。事實上，費根鮑姆常數不僅出現在上述的疊代公式rxn(1 -xn)中，還出現在其他公式裡。這是這類系統的一個普适特征，與公式的具體細節無關。
蘇利文證明了倍周期的級聯極限是普适的。他在這一領域的研究使人們對“重正化”這一概念有了更深的了解。現在，“重正化”也已成為構成該領域基礎的一部分。他用新穎的方法揭示了如何利用豐富的複數理論來了解實際動力學中剛性現象的湧現。
拓撲學和動力系統存在于不同的數學視角中。而蘇利文的研究則可被視為一種互相一緻的遠見卓識，即對空間幾何結構的研究，無論這空間是流形還是分形。蘇利文對基礎認知的不懈探索，以及發現數學不同領域之間相似之處并在其間架起橋梁的能力，永遠地改變了這一領域。
#創作團隊：
撰文：小雨
排版：雯雯
#參考來源：
https://abelprize.no/en/abel-prize-laureates/2022