在19世纪，数学家们开始更深入地研究形状的基本性质。这时，几何学中出现了一个新的领域，在这个领域中，如果两个物体中的其中一个可以在没有任何撕裂或粘合的情况下，通过拉伸或挤压而变成另一个，那么这两个物体就可以被认为是相同的。
在个被称为“拓扑学”的领域里，字母a和字母b是一样的，正方形和圆形是一样的，茶杯和甜甜圈是一样的。今天，拓扑学在数学和其他领域的价值是无法估量的，在从物理学到经济学及数据科学等领域中均有重要应用。
鉴于对拓扑学领域的贡献，挪威科学与文学院决定将2022年阿贝尔奖授予丹尼斯·帕内尔·苏利文（Dennis Parnell Sullivan），“以表彰其在最广泛意义上对拓扑学的开创性贡献，尤其是代数、几何及动力学方面”。
丹尼斯·帕内尔·苏利文。苏利文在拓扑学方面的重要成果是其对亚当斯猜想的证明， 以及在动力系统方面证明了有理映射无游荡域，解决了60年前的猜想。1999年，他与Moira Chas发现了一个基于循环的流形的新不变量，形成了弦拓扑这一近年得到迅速发展的领域。| 图片来源：John Griffin/Stony Brook University
阿贝尔奖委员会主席汉斯·芒特-卡斯(Hans Munthe-Kaas)表示：“丹尼斯·苏利文通过引入新概念、证明具有里程碑意义的定理、回答旧猜想以及提出推动该领域发展的新问题，不断推动拓扑学的发展”。他还说：“苏利文就像一位真正的大师，似乎毫不费力地运用代数、解析及几何理念在不同领域间转换。”
流形：一维、二维、三维......
“流形”是拓扑学中的一个基本概念，它是一种在任何地方都相同的形状，没有端点、边缘点、交叉点或分支点。流形的分类（即有多少种不同的流形以及它们的样子）一直是拓扑学研究的基本领域之一。这正是苏利文开始他职业生涯的领域，也是他研究的主题和重要的早期工作。
让我们从简化的分类开始，先来看看一维的流形。一维形状或许最容易被想象成由弦构成的形状。我们可以用弦来表示字母a，但显然，a不是流形，因为它有两个端点，分别位于字母a的顶端和底部。字母“b”和“c”也是如此，它们也不是流形。而字母“o”就是流形：它没有端点、交叉点、分支。事实上，“o”这个闭环是唯一可以由有限数量的弦构成的一维流形。
下面，我们来看二维空间的流形。二维形状也许最容易被想作是由面构成的形状。一张纸是二维的（如果我们忽略其厚度），但它不是流形，因为它有边；而球体（从数学上讲，球体就是球的表面）就是一种流形了，无论你处于一个球体上的哪个位置，周围的环境看起来都是一样的。
环面（形状像甜甜圈）也是一种流形；双环面（看起来像一个8字形的椒盐卷饼的表面）也是一种流形。不仅如此，事实上三环面，四环面……都是流形。总结说来：在二维空间里，球体和环面族是仅有的可以用有限数量的面构成的二维可定向流形。
让我们继续看三维。三维形状可能最容易被想成是用面团做成的形状。但是对于三维的情况来说，视觉类比失效了，我们进入了抽象世界。从前面的例子中，请注意回想一维的弦流形（如字母o）是如何在二维空间中存在的，二维环面又是如何在三维空间中存在的。同样的道理，三维的面团流形存在于四维或四维以上的空间里，这些形状无法在我们生活的三维空间中被构建出来。
面团流形的分类是庞加莱猜想的主题。庞加莱猜想曾是数学中最著名的未解难题，直到俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）在2002年和2003年解决了它。
接下来，在更高的维度里，四维流形的分类充满了各种各样的未解难题和谜团；然而，奇怪的是，一旦达到五维及以上，流形的分类就变得容易了。拓扑学家将“割补理论”运用到这些流形上，并构建出了新的流形。用简单的话来说，维度越高，可移动的“空间”就越大。
苏利文的早期工作就是关于割补理论的。他弄清楚了有哪些东西可以被添加到割补程序中。他的一大创新就是利用“分类空间”来组织割补理论，并将这些空间作为理解所有高维流形的关键。他的工作使我们全面了解了在五维及更高维度的空间中有哪些流形存在，以及它们有着怎样的特点。
混沌理论
20世纪70年代中，计算机激发了许多新的数学研究。比如它使得研究那些依赖于多次重复计算的系统的行为成为可能，其中一些这样的计算揭示出了迷人而美丽的分形。
例如，数学生物学家设计了一些模型来描述动物数量的增长和减少。下面所显示的这个简单的被称为逻辑斯谛映射的公式，就可以用来描述动物种群的年复一年的变化。
xn是一个0到1之间的数字，表示动物种群的大小与最大种群在第n年的比例；参数r是系统的繁殖率。
逻辑斯谛映射是迭代的，这意味着我们可以从第1年的种群规模开始，计算出第2年的总群规模，然后把这个值代回方程，又能得到第3年、第4年的数值，以此类推。这个方程既反映了种群是如何成比例增长（rxn部分）的，也反映了种群规模过大对有限资源造成压力时，种群大小会如何下降（1 - xn部分）。
逻辑斯谛映射揭示了由r值导致的异常复杂的行为。如下图所示的那样，图形沿横轴绘制了r的值，沿纵轴绘制了种群的极值。
图片来源：Morn/wikimedia commons
例如，当r介于2.4到3之间时，无论种群的初始大小如何，都会最终稳定在一个固定值，因此在图中显示为一条线。而当r达到3时，线出现了分叉，这意味着种群大小最终不会稳定在一个值上。在这种情况下，种群的极值每年会在两个值之间振荡。当r继续增加时，这两个分支再次出现分叉，这时，种群在4个值之间振荡。
这样的图形也被称为分岔图，是20世纪70年代最著名的数学图像之一。这种倍周期的级联现象是众所周知的混沌理论的一个典型例子。混沌理论的另一个通俗说法是“蝴蝶效应”，在这种理论中，初始条件发生微小的变化都可能产生截然不同的结果。
物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）发现了逻辑斯谛映射的一个有趣特征：分岔点之间的距离之比会收敛到一个固定的数值，4.6692…，这个数被称为费根鲍姆常数。事实上，费根鲍姆常数不仅出现在上述的迭代公式rxn(1 -xn)中，还出现在其他公式里。这是这类系统的一个普适特征，与公式的具体细节无关。
苏利文证明了倍周期的级联极限是普适的。他在这一领域的研究使人们对“重正化”这一概念有了更深的理解。现在，“重正化”也已成为构成该领域基础的一部分。他用新颖的方法揭示了如何利用丰富的复数理论来理解实际动力学中刚性现象的涌现。
拓扑学和动力系统存在于不同的数学视角中。而苏利文的研究则可被视为一种相互一致的远见卓识，即对空间几何结构的研究，无论这空间是流形还是分形。苏利文对基础认知的不懈探索，以及发现数学不同领域之间相似之处并在其间架起桥梁的能力，永远地改变了这一领域。
#创作团队：
撰文：小雨
排版：雯雯
#参考来源：
https://abelprize.no/en/abel-prize-laureates/2022