一維的點總是不變的嗎

但點的數量究竟是多少?乍一看,這個問題隻能回答“無窮”。

然而，戴德金的朋友，出生于俄羅斯的數學家格奧爾格.康托爾，從數學角度考察了構成一維空間的點的數量是多少。 結果是這個數量是比所有整數的數目，也就是無窮大還要大得多，并表示構成任何一維空間的點的數量都是相同的。這使其他的數學家們打心底裡感到震驚。

從常識上來看——或許對認為線上的點是均勻排列的歐幾裡得來說——因為長直線也包括短直線組合而成的長線，是以點的數量一定是長直線多。但是康托爾表示，長1毫米的直線也好，太平洋海底電纜一般長的一萬千米的曲線也好，或者更進一步說通往宇宙盡頭超乎人類想象的長度的直線，還有我們甚至想象不出的無窮長度的線也好，構成這些線的點的數量都是相同的。

格奧爾格·康托爾

歐幾裡得在之前的著作中提出了“整體大于部分”的公理，那是任誰都能了解的理所當然的道理。然而康托爾的回答卻有所不同。他提出構成任何一維空間的點的數量都是相等的，進一步說就是空間中存在“部分和整體相等”的情況。

零維和一維的關鍵差別在于一維具有大小(長度)。因為零維空間是點，點的數量隻有一一個，但它是沒有量(實體量)的一個點。與之相對，一旦像一維空間那樣具有實體量，那麼構成零維空間的點的數量就是無限的。

據康托爾所說，如果将前面提到的整數數目設為ℵ₀(Aleph0)—— ℵ(Aleph)是希伯來語的第一個字母，則一維空間的點的數量為”2的ℵ₀次方”。沒想到無限居然也有大小差異。是以，空間中的無限點的數量被表示成“2 的無限次方”，由于這是人類根本計算不出的數字，隻得用數學符号來表示。

這裡也産生了其他的疑問。在數學中，一維的直線或曲線(二維空間或三維空間也同樣)是無限數量的點的集合。每個點的大小都是0，但當它們聚集在一起時，為什麼會産生一維或更高次元的量呢？幾個0聚在一起不也是0嗎？

對于這個問題，似乎世界上任何一個數學家都沒有找到令人信服的答案。另外，還産生了一個更大的疑問，即數學空間是否可以适用于實際的實體空間。