一维的点总是不变的吗

但点的数量究竟是多少?乍一看,这个问题只能回答“无穷”。

然而，戴德金的朋友，出生于俄罗斯的数学家格奥尔格.康托尔，从数学角度考察了构成一维空间的点的数量是多少。 结果是这个数量是比所有整数的数目，也就是无穷大还要大得多，并表示构成任何一维空间的点的数量都是相同的。这使其他的数学家们打心底里感到震惊。

从常识上来看——或许对认为线上的点是均匀排列的欧几里得来说——因为长直线也包括短直线组合而成的长线，所以点的数量一定是长直线多。但是康托尔表示，长1毫米的直线也好，太平洋海底电缆一般长的一万千米的曲线也好，或者更进一步说通往宇宙尽头超乎人类想象的长度的直线，还有我们甚至想象不出的无穷长度的线也好，构成这些线的点的数量都是相同的。

格奥尔格·康托尔

欧几里得在之前的著作中提出了“整体大于部分”的公理，那是任谁都能理解的理所当然的道理。然而康托尔的回答却有所不同。他提出构成任何一维空间的点的数量都是相等的，进一步说就是空间中存在“部分和整体相等”的情况。

零维和一维的关键区别在于一维具有大小(长度)。因为零维空间是点，点的数量只有一一个，但它是没有量(物理量)的一个点。与之相对，一旦像一维空间那样具有物理量，那么构成零维空间的点的数量就是无限的。

据康托尔所说，如果将前面提到的整数数目设为ℵ₀(Aleph0)—— ℵ(Aleph)是希伯来语的第一个字母，则一维空间的点的数量为”2的ℵ₀次方”。没想到无限居然也有大小差异。因此，空间中的无限点的数量被表示成“2 的无限次方”，由于这是人类根本计算不出的数字，只得用数学符号来表示。

这里也产生了其他的疑问。在数学中，一维的直线或曲线(二维空间或三维空间也同样)是无限数量的点的集合。每个点的大小都是0，但当它们聚集在一起时，为什么会产生一维或更高维度的量呢？几个0聚在一起不也是0吗？

对于这个问题，似乎世界上任何一个数学家都没有找到令人信服的答案。另外，还产生了一个更大的疑问，即数学空间是否可以适用于实际的物理空间。