3.4 倒譜分析
倒譜最初由Bogert等人[12]提出，作為檢測回波延遲時間的比自相關函數更好的替代方法，特别是對于地震信号。當時，它被定義為對數功率譜的功率譜。稍後重新定義了“功率倒譜”[13]，作為對數功率譜的傅裡葉反變換，部分原因是在頻率函數和時間函數之間使用反變換更合乎邏輯，部分原因是它随後可以反轉為功率譜（例如，在編輯後）。大緻同時，“複雜倒譜”被定義為複譜的複對數的傅裡葉反變換[13]，這可以反轉為時間函數，例如允許從時間信号中去除回波。因為倒譜涉及譜的傅裡葉變換，它是“譜的譜”，這實際上是Bogert等人在原始論文中創造的術語之一，本節将在第3.4.1節的術語中進行讨論。然而，自相關函數是相應自譜的傅裡葉反變換（參見第3.2.6.5節），是以同樣是譜的譜。真正使倒譜與衆不同的是在第二次變換之前對譜進行的對數轉換。在響應譜中，這将強制作用函數與傳遞函數之間的乘法關系（從力到響應）轉換為一個保留在倒譜中的加法關系。這引起了倒譜的主要應用之一。對于SIMO（單輸入，多輸出）系統，倒譜中的加法對應于在時間域中對作用函數和沖激響應函數進行卷積。請注意，這不适用于MIMO（多輸入，多輸出）系統，因為每個響應然後是卷積的總和。
在時間域中将卷積轉換為加法的另一種情況是回波的情況。正如圖3.31 [4]所示（也參見圖3.11），具有回波的信号可以模組化為原始信号（稱為f1(t)）與包含原點處的機關δ函數和時延τ處的縮放δ函數的信号（稱為f2(t)）的卷積：
帶有頻譜的情況
如圖3.31所示，後者是一個固定矢量和一個較小旋轉矢量的和，執行每前進1/τ沿頻率軸一周期。是以，它的振幅（以及對數振幅）和相位在頻率上都是周期性的，周期為1/τ。在取對數之後，總信号的對數頻譜是原始頻譜和一個頻率周期為f = 1/τ的附加周期分量的和。逆傅裡葉變換給出了原始函數f1(t)的倒譜，再加上與周期分量的傅裡葉級數分量相對應的倍數τ。這在檢測和去除回波以及測量其延遲時間方面具有應用。
在機器狀态監測中，倒譜分析的主要應用之一是對包含諧波和旁瓣族（間距均勻）的信号進行分析，其中是整個族而不是單個頻率分量表征故障。例如，在齒輪的局部故障中（參見第2章的圖2.12），會産生貫穿整個頻譜的諧波和/或旁瓣，并且在對數振幅譜中更為明顯（大大減小了源點和測量點之間的相對任意結構傳遞函數的影響）。這将在第5章的第5.4節中更詳細地讨論。倒譜還可用于軸承故障産生的諧波，但僅當它們分離得很好時。在第5章的第5.5節中進一步讨論了這一點，指出使用包絡分析通常更好，因為它沒有這種限制。
3.4.1 術語和定義
如上所述，在原始論文[12]中，作者通過颠倒“spectrum”的第一個音節創造了“cepstrum”這個詞，其理由是它是“spectrum的譜”。類似地，“quefrency”一詞取自“frequency”，作者還提出了一些其他詞彙，包括：
其中，quefrency、rahmonic和lifter在澄清操作或特征指的是倒譜而不是頻譜或時域信号方面很有用，并且在文獻以及本書中仍然經常使用。其他術語的實用性可能更為可疑。
是以，倒譜的定義為：
其中
以其振幅和相位來定義，是以
在這種情況下，當X(f)是複數時，方程（3.49）的倒譜被稱為“複倒譜”，盡管由于ln(A(f))是偶函數，φ(f)是奇函數，複倒譜是實值的。
請注意，相比之下，自相關函數可以導出為功率譜的反變換，或者
當功率譜用于替代方程（3.49）中的譜X(f )時，所得到的倒譜被稱為“功率倒譜”或“實倒譜”，具體表達式為：
是以，實倒譜是複倒譜的縮放版本，其中譜的相位被設為零。有時術語“實倒譜”用來表示對數幅度的反變換，是以在方程（3.53）中沒有因子2。
請注意，在計算複倒譜之前，相位函數φ( f )必須被展開為頻率的連續函數，而這通常很困難，是以使用實倒譜更為簡便。
在某些情況下有用的另一種倒譜類型是“微分倒譜”，它被定義為譜的對數的導數的反變換。最容易用z變換（可替代采樣函數的傅立葉變換）來定義，如下所示：
其中n是quefrency名額，可以直接從時間信号計算如下：
在這其中，有一個優點是（對數）頻譜的相位不必進行展開。
如果方程（3.49）中的頻率譜X(f)是由機關圓内的增益因子K以及零點和極點（ai和ci）以及機關圓外的零點和極點（1/bi和1/di）表示的FRF（其中|ai|，|bi|，|ci|，|di| < 1），那麼Oppenheim和Schafer已經證明複倒譜由以下解析公式給出：
以倒譜系數n為指數。
由于倒譜是實數，是以（3.56）中的複指數項可以成對分組，例如，一對ci項可以用(2/n)Cin cos(nαi)代替，其中Ci = |ci |，αi = ∠ci。這表示一個指數衰減的正弦波，通過1/n的雙曲函數進一步衰減。圖3.32比較了具有一對極點且沒有零點的SDOF系統的倒譜與脈沖響應函數。在對數幅度尺度上，FRF的零點（反共振）就像倒置的極點（共振），是以相應的倒譜項具有倒置的符号是毫不奇怪的。
在z域内對頻譜進行導數運算以獲得微分倒譜會導緻倒譜中的n乘法，是以典型項變為2 Ain cos(nαi)，即指數衰減的正弦波，沒有雙曲函數的權重，是以其形式類似于IRF。這對于已經開發用于将參數曲線拟合到IRF的技術直接應用于微分倒譜是有用的。這是微分倒譜的第二個優勢，但主要用于進行操作模态分析的情況[16]。所謂的“平均微分倒譜”[17]在這個應用中具有額外的優勢，但在這裡将不再詳細讨論。
請注意，對于具有最小相位特性的函數，這适用于許多實體結構的FRF，沒有極點或零點位于機關圓外（bi和di消失），是以在方程（3.56）中沒有負的倒譜項，是以倒譜（和微分倒譜）是因果的。根據正常的希爾伯特變換關系（參見第3.3節），這意味着相應FT的實部和虛部，即頻譜的對數幅度和相位，通過希爾伯特變換相關聯，隻需要測量其中一個。這還意味着可以通過将正倒譜項加倍并将負倒譜項設為零，從相應的實倒譜（實數且偶數）獲得複倒譜。在這種情況下，頻譜的相位也無需測量或展開。
3.4.2 倒譜的典型應用
圖3.33比較了高速軸承故障情況下的倒譜和自相關函數。這展示了在進行倒譜反變換之前，對功率譜取對數會帶來的差異。在圖3.33(a)中的對數功率譜中，存在BPFO（滾珠通過頻率，外圈）的諧波族，間隔為206 Hz。由于它們都在−20 dB線以下，這對應于線性（振幅平方）尺度上滿量程的1％，是以在功率譜中它們幾乎看不到。是以，倒譜（圖3.33(c)）主要由對應于BPFO的rahmonics（間隔為4.84毫秒）主導，而自相關函數（圖3.33(b)）隻是展示了頻譜中兩個最大分量之間的拍頻，與軸承故障無關。
請注意，倒譜成分的quefrency提供的準确性非常好，因為它代表整個頻譜中間隔的平均值。還要注意，隻有在故障在頻譜中産生離散諧波時，才能使用倒譜進行軸承故障診斷。這在高速機器的情況下通常是成立的，因為由故障激發的諧振往往是涉及到的滾珠通過頻率的相對低諧波階次，但對于低速機器通常并非如此，因為該階次可能達到數百甚至數千，并且這些高諧波通常被混合在一起。值得注意的是，“包絡分析”中，通過對帶通濾波信号進行幅度解調獲得的包絡進行頻譜分析，可以在任何情況下使用。
圖3.34展示了法國電力公司EDF對一台蒸汽渦輪機進行檢測，該渦輪機存在缺失葉片的情況[18]。這是法國電力公司EDF進行的工作，該公司經曆了大型渦輪機上一個或少數小葉片的喪失，對整體振動水準影響不大（有時失去一個葉片會導緻另一側的葉片“擦過”，進而使渦輪近似平衡）。故障葉片排放的方向不正确的蒸汽與一系列定子葉片發生互相作用，由安裝在外殼上的加速度計在轉子每轉一圈時檢測到一次脈沖事件。這在用于檢測該現象的中頻範圍内顯著增加了軸速（50 Hz）的諧波。
複合倒譜在檢測和去除回波方面的應用示例如圖3.35 [4]所示。圖中顯示，由于倒譜比脈沖響應短，是以可以去除重疊的回波。雖然這是一個數值生成的情況，但在實際信号中也可以去除回波[4]。使用實部倒譜，可以通過對倒譜進行類似的編輯來從對數譜中去除回波的影響。請注意，在複合倒譜中，對數幅度譜的縮放應為nepers（幅度比的自然對數），以與相位譜中的弧度相對應。
3.4.3 倒譜分析的實際考慮
在計算倒譜時可能出現一些人為因素，必須小心確定它們不會對結果産生過多影響。圖3.36中展示了一些此類效應。
在圖3.36(a)中，顯示了譜中的噪聲水準會影響諧波分量的檢測。很明顯，如果諧波完全淹沒在噪聲中，它們在倒譜中将無法被檢測到。可以采用多種技術使離散頻率分量從背景噪聲中更為突出。一種方法是使用較窄的帶寬，如上文3.2.8.4節中所述，可以使用縮放分析實作。另一種方法是使用同步平均或其他手段來減小噪聲相對于離散頻率分量的影響。請注意，同步平均僅可用于諧波分量，并且僅限于具有一個基本周期的情況。如果側帶族未通過零頻率（即側帶也不是諧波）就不能用它來增強等間距的旁瓣。在3.6節中讨論了一些用于分離離散頻率和随機信号的替代技術。無論如何，倒譜中的rahmonic族的縮放取決于信噪比，是以通常僅在使用相同的分析參數比較倒譜時才是有效的，并且應小心確定測量中的噪聲水準沒有發生變化。
倒譜的結果取決于原始譜分析中使用的濾波器特性，圖3.36(b)說明了一些情況，其中這可能直接導緻錯誤的結果。通常假設如果譜中的諧波或旁瓣族上升，那麼這将導緻倒譜中相應分量的增加。然而，如果譜分量在峰值以下的固定分貝數内“橋接”，如圖3.36(b)所示，那麼高倒譜分量将不會改變。造成“橋接”的兩個潛在原因是譜中的分量在分辨率（分離）上不夠好，或者濾波器特性非常差（例如，使用矩形窗的FFT）。漢甯窗的濾波器特性相當好，如果它們至少相隔八個分析線，則能夠在50 dB的範圍内分離相鄰分量。這通常足以使噪聲在相鄰分量之間的“橋接”中占主導地位。在解釋倒譜中不同分量的值（由譜中的諧波系列産生）時，應記住這類似于對具有不同間距但寬度恒定的一系列脈沖進行頻率分析。分量之間的間隔越大，将生成的rahmonics越多，對于給定的譜中諧波系列從噪聲水準中突出的突出程度（以分貝為機關），個别rahmonics的幅度就越小。再次強調，僅在使用相同的分析參數比較倒譜值時才是有效的，即便如此，在不同quefrencies的分量之間進行比較仍然困難。
圖3.36(c)中展示的另一個實際問題是振動參數的選擇（速度或加速度；位移很少被使用）。由于它們之間的差異原則上是對數譜斜率的中度差異（對應于從加速度到速度的積分），這是一個非常“低quefrency”效應，不會影響包含診斷資訊的高quefrency值。然而，如果譜值低于分析的動态範圍，後者可能會受到相當大的影響。是以，一般而言，最好選擇在感興趣的頻率範圍内譜級别最均勻的參數。這通常是速度，但偶爾可能是加速度。在讨論動态範圍時，應牢記譜中的大幅負偏差（以分貝為機關）對倒譜的影響與正偏差一樣大，但可能幾乎沒有實體意義。是以，有時限制負偏差并施加與測量的有效動态範圍（80-100 dB）相對應的人為“噪聲水準”可能是一個好主意。對數的參考值也應謹慎選擇。原則上，它對倒譜中的零quefrency值以外的任何值都沒有影響，是以最好選擇為譜對數值的中等範圍。如果将其選擇為譜的平均分貝值，則零quefrency值将為零，并且對倒譜的有用部分影響最小。
由于需要對譜中的諧波/旁瓣分量進行良好分辨，通常有利于使用縮放來擷取後者。還可以通過選擇譜的一部分來排除不需要的分量。後者可能包括受到諸如不對齊等現象影響的軸轉速的低諧波，以便将它們與齒輪齧合頻率周圍的調制旁瓣分開。在對縮放譜進行倒譜分析時，譜的左端不再對應零頻率，得到的倒譜可能會給出令人困惑的結果。圖3.37顯示了一個示例，其中使用了兩個略微偏移的縮放譜來擷取包圍齒輪齧合頻率第二諧波周圍的旁瓣的倒譜。由于旁瓣族不再通過譜的左端的有效“零頻率”，實部倒譜中的rahmonics不再是對應于旁瓣間距的正峰值。與25 Hz間距對應的quefrency在兩種情況下都接近零交叉點。與8.3 Hz間距對應的quefrency在一種情況下有正峰值，在另一種情況下有負峰值。通過利用希爾伯特變換原理，可以解決這個問題，因為真實的間距将由通過逆變換具有單側對數譜的複數（解零頻率的負頻率分量的零填充）獲得的複（解析）信号的幅度中的峰值訓示。友善起見，可以将這樣的倒譜稱為“解析倒譜”，以差別于實部倒譜，後者是實數。
無論何時旁瓣族是否通過零頻率，甚至是真正的零頻率，都将遇到完全相同的現象。對于正常齒輪，齒輪齧合頻率是兩個軸速度的諧波，是以由這些軸速度調制的旁瓣族也是諧波，是以通過零頻率。然而，在行星齒輪中，調制頻率并非齒輪齧合頻率的子倍頻，是以旁瓣族不一定通過零頻率。
關于倒譜分析在齒輪診斷中的具體應用将在第5章的5.4節中更詳細地讨論。