3.4 倒谱分析
倒谱最初由Bogert等人[12]提出，作为检测回波延迟时间的比自相关函数更好的替代方法，特别是对于地震信号。当时，它被定义为对数功率谱的功率谱。稍后重新定义了“功率倒谱”[13]，作为对数功率谱的傅里叶反变换，部分原因是在频率函数和时间函数之间使用反变换更合乎逻辑，部分原因是它随后可以反转为功率谱（例如，在编辑后）。大致同时，“复杂倒谱”被定义为复谱的复对数的傅里叶反变换[13]，这可以反转为时间函数，例如允许从时间信号中去除回波。因为倒谱涉及谱的傅里叶变换，它是“谱的谱”，这实际上是Bogert等人在原始论文中创造的术语之一，本节将在第3.4.1节的术语中进行讨论。然而，自相关函数是相应自谱的傅里叶反变换（参见第3.2.6.5节），因此同样是谱的谱。真正使倒谱与众不同的是在第二次变换之前对谱进行的对数转换。在响应谱中，这将强制作用函数与传递函数之间的乘法关系（从力到响应）转换为一个保留在倒谱中的加法关系。这引起了倒谱的主要应用之一。对于SIMO（单输入，多输出）系统，倒谱中的加法对应于在时间域中对作用函数和冲激响应函数进行卷积。请注意，这不适用于MIMO（多输入，多输出）系统，因为每个响应然后是卷积的总和。
在时间域中将卷积转换为加法的另一种情况是回波的情况。正如图3.31 [4]所示（也参见图3.11），具有回波的信号可以建模为原始信号（称为f1(t)）与包含原点处的单位δ函数和时延τ处的缩放δ函数的信号（称为f2(t)）的卷积：
带有频谱的情况
如图3.31所示，后者是一个固定矢量和一个较小旋转矢量的和，执行每前进1/τ沿频率轴一周期。因此，它的振幅（以及对数振幅）和相位在频率上都是周期性的，周期为1/τ。在取对数之后，总信号的对数频谱是原始频谱和一个频率周期为f = 1/τ的附加周期分量的和。逆傅里叶变换给出了原始函数f1(t)的倒谱，再加上与周期分量的傅里叶级数分量相对应的倍数τ。这在检测和去除回波以及测量其延迟时间方面具有应用。
在机器状态监测中，倒谱分析的主要应用之一是对包含谐波和旁瓣族（间距均匀）的信号进行分析，其中是整个族而不是单个频率分量表征故障。例如，在齿轮的局部故障中（参见第2章的图2.12），会产生贯穿整个频谱的谐波和/或旁瓣，并且在对数振幅谱中更为明显（大大减小了源点和测量点之间的相对任意结构传递函数的影响）。这将在第5章的第5.4节中更详细地讨论。倒谱还可用于轴承故障产生的谐波，但仅当它们分离得很好时。在第5章的第5.5节中进一步讨论了这一点，指出使用包络分析通常更好，因为它没有这种限制。
3.4.1 术语和定义
如上所述，在原始论文[12]中，作者通过颠倒“spectrum”的第一个音节创造了“cepstrum”这个词，其理由是它是“spectrum的谱”。类似地，“quefrency”一词取自“frequency”，作者还提出了一些其他词汇，包括：
其中，quefrency、rahmonic和lifter在澄清操作或特征指的是倒谱而不是频谱或时域信号方面很有用，并且在文献以及本书中仍然经常使用。其他术语的实用性可能更为可疑。
因此，倒谱的定义为：
其中
以其振幅和相位来定义，因此
在这种情况下，当X(f)是复数时，方程（3.49）的倒谱被称为“复倒谱”，尽管由于ln(A(f))是偶函数，φ(f)是奇函数，复倒谱是实值的。
请注意，相比之下，自相关函数可以导出为功率谱的反变换，或者
当功率谱用于替代方程（3.49）中的谱X(f )时，所得到的倒谱被称为“功率倒谱”或“实倒谱”，具体表达式为：
因此，实倒谱是复倒谱的缩放版本，其中谱的相位被设为零。有时术语“实倒谱”用来表示对数幅度的反变换，因此在方程（3.53）中没有因子2。
请注意，在计算复倒谱之前，相位函数φ( f )必须被展开为频率的连续函数，而这通常很困难，因此使用实倒谱更为简便。
在某些情况下有用的另一种倒谱类型是“微分倒谱”，它被定义为谱的对数的导数的反变换。最容易用z变换（可替代采样函数的傅立叶变换）来定义，如下所示：
其中n是quefrency指标，可以直接从时间信号计算如下：
在这其中，有一个优点是（对数）频谱的相位不必进行展开。
如果方程（3.49）中的频率谱X(f)是由单位圆内的增益因子K以及零点和极点（ai和ci）以及单位圆外的零点和极点（1/bi和1/di）表示的FRF（其中|ai|，|bi|，|ci|，|di| < 1），那么Oppenheim和Schafer已经证明复倒谱由以下解析公式给出：
以倒谱系数n为指数。
由于倒谱是实数，因此（3.56）中的复指数项可以成对分组，例如，一对ci项可以用(2/n)Cin cos(nαi)代替，其中Ci = |ci |，αi = ∠ci。这表示一个指数衰减的正弦波，通过1/n的双曲函数进一步衰减。图3.32比较了具有一对极点且没有零点的SDOF系统的倒谱与脉冲响应函数。在对数幅度尺度上，FRF的零点（反共振）就像倒置的极点（共振），因此相应的倒谱项具有倒置的符号是毫不奇怪的。
在z域内对频谱进行导数运算以获得微分倒谱会导致倒谱中的n乘法，因此典型项变为2 Ain cos(nαi)，即指数衰减的正弦波，没有双曲函数的加权，因此其形式类似于IRF。这对于已经开发用于将参数曲线拟合到IRF的技术直接应用于微分倒谱是有用的。这是微分倒谱的第二个优势，但主要用于进行操作模态分析的情况[16]。所谓的“平均微分倒谱”[17]在这个应用中具有额外的优势，但在这里将不再详细讨论。
请注意，对于具有最小相位特性的函数，这适用于许多物理结构的FRF，没有极点或零点位于单位圆外（bi和di消失），因此在方程（3.56）中没有负的倒谱项，因此倒谱（和微分倒谱）是因果的。根据正常的希尔伯特变换关系（参见第3.3节），这意味着相应FT的实部和虚部，即频谱的对数幅度和相位，通过希尔伯特变换相关联，只需要测量其中一个。这还意味着可以通过将正倒谱项加倍并将负倒谱项设为零，从相应的实倒谱（实数且偶数）获得复倒谱。在这种情况下，频谱的相位也无需测量或展开。
3.4.2 倒谱的典型应用
图3.33比较了高速轴承故障情况下的倒谱和自相关函数。这展示了在进行倒谱反变换之前，对功率谱取对数会带来的差异。在图3.33(a)中的对数功率谱中，存在BPFO（滚珠通过频率，外圈）的谐波族，间隔为206 Hz。由于它们都在−20 dB线以下，这对应于线性（振幅平方）尺度上满量程的1％，因此在功率谱中它们几乎看不到。因此，倒谱（图3.33(c)）主要由对应于BPFO的rahmonics（间隔为4.84毫秒）主导，而自相关函数（图3.33(b)）只是展示了频谱中两个最大分量之间的拍频，与轴承故障无关。
请注意，倒谱成分的quefrency提供的准确性非常好，因为它代表整个频谱中间隔的平均值。还要注意，只有在故障在频谱中产生离散谐波时，才能使用倒谱进行轴承故障诊断。这在高速机器的情况下通常是成立的，因为由故障激发的谐振往往是涉及到的滚珠通过频率的相对低谐波阶次，但对于低速机器通常并非如此，因为该阶次可能达到数百甚至数千，并且这些高谐波通常被混合在一起。值得注意的是，“包络分析”中，通过对带通滤波信号进行幅度解调获得的包络进行频谱分析，可以在任何情况下使用。
图3.34展示了法国电力公司EDF对一台蒸汽涡轮机进行检测，该涡轮机存在缺失叶片的情况[18]。这是法国电力公司EDF进行的工作，该公司经历了大型涡轮机上一个或少数小叶片的丧失，对整体振动水平影响不大（有时失去一个叶片会导致另一侧的叶片“擦过”，从而使涡轮近似平衡）。故障叶片排放的方向不正确的蒸汽与一系列定子叶片发生相互作用，由安装在外壳上的加速度计在转子每转一圈时检测到一次脉冲事件。这在用于检测该现象的中频范围内显著增加了轴速（50 Hz）的谐波。
复合倒谱在检测和去除回波方面的应用示例如图3.35 [4]所示。图中显示，由于倒谱比脉冲响应短，因此可以去除重叠的回波。虽然这是一个数值生成的情况，但在实际信号中也可以去除回波[4]。使用实部倒谱，可以通过对倒谱进行类似的编辑来从对数谱中去除回波的影响。请注意，在复合倒谱中，对数幅度谱的缩放应为nepers（幅度比的自然对数），以与相位谱中的弧度相对应。
3.4.3 倒谱分析的实际考虑
在计算倒谱时可能出现一些人为因素，必须小心确保它们不会对结果产生过多影响。图3.36中展示了一些此类效应。
在图3.36(a)中，显示了谱中的噪声水平会影响谐波分量的检测。很明显，如果谐波完全淹没在噪声中，它们在倒谱中将无法被检测到。可以采用多种技术使离散频率分量从背景噪声中更为突出。一种方法是使用较窄的带宽，如上文3.2.8.4节中所述，可以使用缩放分析实现。另一种方法是使用同步平均或其他手段来减小噪声相对于离散频率分量的影响。请注意，同步平均仅可用于谐波分量，并且仅限于具有一个基本周期的情况。如果侧带族未通过零频率（即侧带也不是谐波）就不能用它来增强等间距的旁瓣。在3.6节中讨论了一些用于分离离散频率和随机信号的替代技术。无论如何，倒谱中的rahmonic族的缩放取决于信噪比，因此通常仅在使用相同的分析参数比较倒谱时才是有效的，并且应小心确保测量中的噪声水平没有发生变化。
倒谱的结果取决于原始谱分析中使用的滤波器特性，图3.36(b)说明了一些情况，其中这可能直接导致错误的结果。通常假设如果谱中的谐波或旁瓣族上升，那么这将导致倒谱中相应分量的增加。然而，如果谱分量在峰值以下的固定分贝数内“桥接”，如图3.36(b)所示，那么高倒谱分量将不会改变。造成“桥接”的两个潜在原因是谱中的分量在分辨率（分离）上不够好，或者滤波器特性非常差（例如，使用矩形窗的FFT）。汉宁窗的滤波器特性相当好，如果它们至少相隔八个分析线，则能够在50 dB的范围内分离相邻分量。这通常足以使噪声在相邻分量之间的“桥接”中占主导地位。在解释倒谱中不同分量的值（由谱中的谐波系列产生）时，应记住这类似于对具有不同间距但宽度恒定的一系列脉冲进行频率分析。分量之间的间隔越大，将生成的rahmonics越多，对于给定的谱中谐波系列从噪声水平中突出的突出程度（以分贝为单位），个别rahmonics的幅度就越小。再次强调，仅在使用相同的分析参数比较倒谱值时才是有效的，即便如此，在不同quefrencies的分量之间进行比较仍然困难。
图3.36(c)中展示的另一个实际问题是振动参数的选择（速度或加速度；位移很少被使用）。由于它们之间的差异原则上是对数谱斜率的中度差异（对应于从加速度到速度的积分），这是一个非常“低quefrency”效应，不会影响包含诊断信息的高quefrency值。然而，如果谱值低于分析的动态范围，后者可能会受到相当大的影响。因此，一般而言，最好选择在感兴趣的频率范围内谱级别最均匀的参数。这通常是速度，但偶尔可能是加速度。在讨论动态范围时，应牢记谱中的大幅负偏差（以分贝为单位）对倒谱的影响与正偏差一样大，但可能几乎没有物理意义。因此，有时限制负偏差并施加与测量的有效动态范围（80-100 dB）相对应的人为“噪声水平”可能是一个好主意。对数的参考值也应谨慎选择。原则上，它对倒谱中的零quefrency值以外的任何值都没有影响，因此最好选择为谱对数值的中等范围。如果将其选择为谱的平均分贝值，则零quefrency值将为零，并且对倒谱的有用部分影响最小。
由于需要对谱中的谐波/旁瓣分量进行良好分辨，通常有利于使用缩放来获取后者。还可以通过选择谱的一部分来排除不需要的分量。后者可能包括受到诸如不对齐等现象影响的轴转速的低谐波，以便将它们与齿轮啮合频率周围的调制旁瓣分开。在对缩放谱进行倒谱分析时，谱的左端不再对应零频率，得到的倒谱可能会给出令人困惑的结果。图3.37显示了一个示例，其中使用了两个略微偏移的缩放谱来获取包围齿轮啮合频率第二谐波周围的旁瓣的倒谱。由于旁瓣族不再通过谱的左端的有效“零频率”，实部倒谱中的rahmonics不再是对应于旁瓣间距的正峰值。与25 Hz间距对应的quefrency在两种情况下都接近零交叉点。与8.3 Hz间距对应的quefrency在一种情况下有正峰值，在另一种情况下有负峰值。通过利用希尔伯特变换原理，可以解决这个问题，因为真实的间距将由通过逆变换具有单侧对数谱的复数（解零频率的负频率分量的零填充）获得的复（解析）信号的幅度中的峰值指示。方便起见，可以将这样的倒谱称为“解析倒谱”，以区别于实部倒谱，后者是实数。
无论何时旁瓣族是否通过零频率，甚至是真正的零频率，都将遇到完全相同的现象。对于正常齿轮，齿轮啮合频率是两个轴速度的谐波，因此由这些轴速度调制的旁瓣族也是谐波，因此通过零频率。然而，在行星齿轮中，调制频率并非齿轮啮合频率的子倍频，因此旁瓣族不一定通过零频率。
关于倒谱分析在齿轮诊断中的具体应用将在第5章的5.4节中更详细地讨论。