3.2.7 縮放傅裡葉變換（Zoom FFT）
方程（3.22）的基本離散傅裡葉變換（DFT）在頻率上從零延伸到奈奎斯特頻率，其分辨率等于采樣頻率fs除以樣本數N。有時希望更詳細地分析頻率範圍的有限部分，這時可以使用所謂的“縮放分析”。由于分辨率Δf = fs/N，改進它的兩種方法是：
增加記錄長度N。一些分析儀中包括“非破壞性縮放”選項[4]，它利用算法通過組合大小為m × N的m個欠采樣大小的變換的結果來執行變換。這在硬體限制了可以執行的變換大小時曾經很有用，但在現代分析儀和諸如MATLAB⃝R等信号處理軟體中，幾乎沒有對變換大小的限制，是以可以通過執行大型變換，然後僅檢視結果的一部分來實作縮放。
降低采樣頻率fs。如果所需的縮放帶的中心頻率被移至零頻率，使得可以通過低通濾波器将中心頻率周圍的縮放帶隔離出來，那麼可以降低采樣頻率fs。最高頻率然後是縮放帶的一半，采樣頻率可以相應減小，而不會出現混疊問題。這個過程在圖3.18中有示例。低通濾波和重新采樣過程通常以倍頻（2：1）步驟進行，因為數字濾波器始終會删除相對于采樣頻率的最高倍頻，并且将采樣頻率減半簡單地意味着丢棄每隔一個采樣。這種縮放通常由專用硬體處理器實時執行，其優勢在于在信号需要存儲之前可以降低采樣率。縮放過程是解調的有用前置步驟，即使後續處理将在計算機中進行，這在第3.3節中進一步讨論。請注意，從縮放處理器輸出的時間信号是複雜的，因為相應的頻譜不是共轭的。
3.2.8 實用FFT分析
3.2.8.1 FFT過程的陷阱
所謂FFT的陷阱都是DFT的性質，由從傅裡葉積分變換到DFT的三個階段引起的。第一步是對時間信号進行數字化，可能導緻“混疊”；第二步是将記錄截斷為有限長度，可能導緻“洩漏”或“視窗效應”；而第三步是對頻譜進行離散采樣，可能導緻“拾音器效應”。圖3.19使用卷積定理 [4] 在圖形上顯示了這三個步驟。
在圖3.19(a–c)中，無限連續時間信号如圖3.6(c)那樣進行采樣，産生一個周期譜，其周期等于采樣頻率fs。可以看到，如果原始信号包含任何在±f_N範圍之外的分量，其中f_N是“奈奎斯特頻率”或采樣頻率的一半，則這些分量将與真實分量重疊，産生“混疊”（高頻被表示為低頻）。一旦引入混疊，就無法去除，是以在為處理而數字化任何時間信号之前使用适當的模拟低通濾波器是重要的。在初始正确數字化之後，可以使用數字低通濾波器允許以較低的采樣率進行重新采樣。在圖3.19(d–e)中，通過将其乘以有限（矩形）視窗，信号被截斷為長度T。是以，頻譜與視窗的傅裡葉變換進行卷積，視窗充當濾波器特性。單一頻率的能量以這種特性的形式擴充到相鄰頻率，是以稱為“洩漏”。最後，在圖3.19(f–g)中，連續頻譜在頻域中進行離散采樣，這在時間域中對應于與間距T的一組delta函數卷積，使時間信号周期性。頻譜不一定在峰值處采樣，是以出現“拾音器效應”；就好像頻譜是通過拾音器籬笆上的縫隙檢視一樣。
為了避免混疊，幾乎總是需要使用具有非常陡峭衰減的抗混疊濾波器。已經相當普遍地使用具有每八度120 dB衰減的濾波器，允許使用大約80%的計算頻譜。是以，使用1K（1024點）變換，頻譜線号512位于奈奎斯特頻率，更高的頻率折回到測量範圍。線号624折回到所需測量範圍的頂部（線号400），隻有它的64%處于一個八度之上，是以被衰減了77 dB，使其低于典型的動态範圍。抗混疊濾波器通常會導緻時間信号的相當大的失真，是以通常不包括在數字示波器中（是以不應将其用于信号的數字化以進行進一步處理）。圖3.20（來自[8]）說明了抗混疊濾波如何糾正頻譜而扭曲時間信号，反之亦然。
洩漏效應受最終頻譜采樣的影響，圖3.21說明了對于矩形視窗（其傅裡葉變換是sin(x)/x或sinc(x)函數）如果視窗包含正弦波的整數個周期，盡管每個譜線與sinc函數相關聯，但這些函數在零點進行采樣，是以不明顯。另一方面，在剩餘半個周期的最壞情況下，有效的濾波特性非常差。在機器的“階次跟蹤”中利用了這一現象（第3.6.1節），其中信号采樣與機器速度同步，可以安排在記錄長度内有整數個（所有諧波的）旋轉頻率的周期，這種情況下可以使用矩形視窗。否則，對于連續信号，通常需要選擇除矩形之外的資料視窗以實作更好的濾波特性。下面将對此進行讨論。
由于“拾音器效應”，頻譜函數不一定在其峰值處進行采樣，而“拾音器誤差”是真實值與最大頻譜線值之間的差異。對于矩形權重，這可能高達3.9 dB，而大多數其他視窗的值較低。
3.2.8.2 資料視窗
3.2.8.2.1 連續信号
對于連續信号，視窗的一個主要功能是減小通常在将信号的随機部分變為周期性時産生的不連續性的影響。實際上，這意味着最小化濾波特性中的旁瓣，包括最高的旁瓣和剩餘的旁瓣（通過最大化其衰減速率）。為了改善相對于寬帶噪聲的離散頻率分量的增強，希望最小化特性的噪聲帶寬，但另一方面，還必須注意最小化拾音器效應。
表3.1比較了應用于靜止信号的最常見視窗的特性，圖3.22（來自[9]）比較了它們最壞情況下的濾波特性。漢甯視窗，可以看作是一個正弦平方函數的一個周期，是一個良好的通用視窗，拾音器效應限制為1.4 dB，噪聲帶寬為1.5（線間隔的倍數f），并且在重疊平均方面具有良好的特性，将在後面讨論。
就分離差異較大的相鄰分量而言，相對較好的視窗可能是Kaiser-Bessel，但通常通過簡單地提高分辨率（縮放分析或更大的變換）也可以達到相同的效果。平頂視窗專門設計用于最小化拾音器效應，是以通常在用标定信号進行校準測量時是最佳選擇，該标定信号的頻率可以落在兩個分析線之間的任何位置。當分析由一個或多個諧波族主導的信号時，它也可能是有用的，因為隻要它們被分辨出來（記住噪聲帶寬為3.8f），就不需要補償各個諧波的訓示值。
圖3.23顯示了在使用漢甯視窗時如何對拾音器誤差和頻率誤差進行補償。隻要頻率在記錄長度上穩定，圍繞頻率峰值的兩個最高樣本之間的dB差異（dB）确定了誤差。如上所述，漢甯視窗具有期望的特性，即在重疊平均中（稍後會讨論）可以通過2/3、3/4等的重疊完全均勻地進行權重。在50%的重疊時，權重變化為2：1，但對于靜止信号來說，這不是一個問題。在找到長時間瞬态信号的平均頻譜時（超過變換尺寸），均勻的權重更可取。
3.2.8.2.2 瞬态信号
對于模态分析中的沖擊測量，瞬态信号的分析是常見的。力信号總是短暫的，是以矩形視窗是合适的，盡管可以根據力脈沖的長度調整視窗，以排除噪聲。對于響應信号，必須確定在記錄結束時信号已經消散（即降低50到60 dB）。這可以通過擴充記錄長度（即通過縮放或更大的變換尺寸）來實作，但如果受到其他限制的限制，通常會應用指數視窗，從響應信号開始，使信号的衰減足夠。這相當于施加額外的阻尼，這是非常精确已知的，是以可以從結果測量中減去。對于瞬态視窗的前沿和後沿以及指數視窗的前沿，可以添加一個短的錐度，通常為半漢甯形狀，以使過渡更加緩和。
3.2.8.3 在頻域中的應用
由于乘以視窗函數在頻域中對應于與其傅裡葉變換（FT）的卷積，是以有時這是應用它們最有效的方式。其中這種方法有利的例子包括首先，當視窗的傅裡葉變換非常簡單時，例如漢甯函數；其次，僅需要譜的一部分，如縮放譜；第三，當可以将幾個不同的視窗應用于完全相同的傅裡葉變換時。基本原理可以使用漢甯視窗來解釋，當周期性地重複（如在離散傅裡葉變換中隐式發生）時，可以表示為sin²θ或1/2 - 1/2 cos 2θ，其卷積系數為[-1/4, 1/2, -1/4]（要注意頻率對應于記錄長度上的一個周期，是以對應于一個線間距）。與這樣一個簡單函數的卷積通常比在時域中直接進行乘法更有效，特别是在二進制算術中，其中與系數的乘法對應于橫向移位。請注意，所述系數是針對最大值為一的視窗的，通常會被修改以縮放結果（參見第3.2.8.5節）。
3.2.8.4 頻譜平均
對FFT譜進行平均的需要取決于信号是否包含随機分量。平均應始終根據信号功率（即振幅的平方）進行，因為這是獨立于相位的守恒量。離散頻率分量的DFT譜始終具有相同的振幅，是以通過平均振幅的平方獲得的收益較小，盡管這有助于澄清哪些分量是離散頻率，哪些是随機分布。在進行診斷目的的分析時（例如，通過縮放譜非常精确地測量單一頻率或一族旁瓣），最好不進行平均，因為在實際應用中，機器速度會随時間略有變化，平均會導緻頻率的模糊和尤其是掩蓋頻率間隔。
當從機械信号中擷取有意義的随機信号譜時，這些信号通常是由流體流動（湍流、汽蝕）、道路粗糙度等引起的，需要對多個功率譜估計進行平均。所需的平均次數由所需的精度确定，因為結果的相對标準偏差（對于高斯信号）由以下公式給出：[4]
其中n是獨立平均次數。是以，對于n = 16，ε = 12.5%或1 dB，這意味着結果有68%的機率在±1 dB範圍内，95%的機率在±2 dB範圍内，99.7%的機率在±3 dB範圍内。要将誤差減半，需要進行四倍的平均，依此類推。
對于矩形視窗，“獨立”意味着不重疊，但對于其他視窗，如Hanning視窗，通過重疊可以獲得優勢，因為在權重接近零的兩端附近會丢失資訊。實際上，對于重疊50%，在統計上幾乎不會有太多損失，是以建議對于靜止随機信号使用這種方法，因為可以從給定長度的信号中獲得兩倍的有效平均值。如上所述，此時的總體權重不是均勻的，因為在連續的Hanning視窗重疊的點，它們的幅度權重為1/2，是以它們的功率權重為1/4，這意味着在重疊平均中，該部分信号的最終權重為1/2，信号沿其長度的總功率權重在1/2和1之間變化。這對于靜止信号沒有問題，但為了從給定長度的記錄中提取所有資訊，特别是如果它是非靜止的，建議至少重疊2/3的因子，盡管對于典型的FFT記錄長度通常是2的幂，通常更簡單的是重疊3/4。在後一種情況下，插入公式（3.37）的有效平均次數是實際次數的一半。