文章目錄
- 1.答題模闆
- 2. 一階線性微分方程
- 3.常系數非齊次線性微分方程
-
- f ( x ) = P ( m ) e λ x 型 f(x)=P(m)e^{λx}型 f(x)=P(m)eλx型
- f ( x ) = e λ x [ P m ( x ) c o s ω x + P n ( x ) s i n ω x ] 型 f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)cos{\omega}x+P_n(x)sin{\omega}x]型 f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型
1.答題模闆
微分方程。各位是不是學的很酸爽呢？其實本章内容邏輯非常簡單，主要是微分方程的形式和種類太多，難以記憶。
【微分方程賦】
離齊線，二階常
歐拉差分全伯降！
巧變形，化标準，
套路求解莫慌張！
【釋義】這首破詩的前兩句是我們在大學範圍内常見的微分方程的類型——可分離變量方程，齊次方程，一階線性微分方程，二階常系數線性方程，歐拉方程，差分方程，全微分方程，伯努利方程，可降階方程，當然應付期末考試最主要是第一句的類型。這首破詩的後兩句是說求解微分方程的步驟是固定的。首先要要通過巧變形（初等變形，變量互換，變量代換，疊加原理）把所給方程化成标準形式，然後按照固定步驟求解即可（參見表格1~表格3）。
至于考試題型，無非就是已知方程求解，或者已知解求方程。至于大家頭疼的應用問題，雖然具有很強的實際意義，但是考試中反而出現的不多。
2. 一階線性微分方程
y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y^{'}+P(x)y=Q(x) y′+P(x)y=Q(x)
通解： y = e − ∫ P ( x ) d x [ C + ∫ Q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x ] y=e^{-\int P(x)dx }[C+\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx] y=e−∫P(x)dx[C+∫Q(x)e∫p(x)dxdx]
注意通解可以寫以下形式：
y = C e − ∫ P ( x ) d x + e − ∫ P ( x ) d x ∫ Q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x ) = Y + y ∗ 可 以 看 出 非 齊 次 線 性 方 程 組 的 通 解 等 于 它 所 對 應 的 齊 次 線 性 方 程 的 通 解 Y 加 原 方 程 （ 非 齊 次 線 性 方 程 ） 的 一 個 特 解 \color{red} {y=C e^{-\int P(x)dx }+e^{-\int P(x)dx }\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx)}=Y+y^* 可以看出非齊次線性方程組的通解等于它所對應的齊次線性方程的通解Y加原方程（非齊次線性方程）的一個特解 y=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)e∫p(x)dxdx)=Y+y∗可以看出非齊次線性方程組的通解等于它所對應的齊次線性方程的通解Y加原方程（非齊次線性方程）的一個特解
3.常系數非齊次線性微分方程
f ( x ) = P ( m ) e λ x 型 f(x)=P(m)e^{λx}型 f(x)=P(m)eλx型
可 設 特 解 ： y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x 可設特解：y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x} 可設特解：y∗=xkQm(x)eλx
f ( x ) = e λ x [ P m ( x ) c o s ω x + P n ( x ) s i n ω x ] 型 f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)cos{\omega}x+P_n(x)sin{\omega}x]型 f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型
可 設 特 解 y ∗ = x k e λ x [ Q l ( x ) c o s ω x + R l ( x ) s i n ω x 可設特解 y*=x^ke^{\lambda x}[Q_l(x)cos{\omega}x+R_l(x)sin{\omega}x 可設特解y∗=xkeλx[Ql(x)cosωx+Rl(x)sinωx