常微分方程機敏問答[3] #20210622

• 存在唯一性定理
• • 答案
• 壓縮映射
• • 答案
• 解的存在性
• • 答案
• 分岔
• • 答案
• 分岔的應用
• • 答案
• 幂級數解法
• • 答案
• 奇解和包絡
• • 答案

本專欄主要作個人複習自測，有相關知識預備的同學也可作複習用。不保證無相應基礎的人士能看明白。

萬一考試考到了，或者對你的學習有較大幫助，一鍵三連不過分吧（斜眼笑）

存在唯一性定理

1. 對于沒有解析解的微分方程，我們可能有什麼考察的角度？
2. 叙述皮卡定理中“首先達到左右邊界”和“首先達到上下邊界”分别對應什麼樣的解存在閉區間。李氏條件用在了哪裡？
3. 叙述與初值問題 y ′ = f ( x , y ) , y ( 0 ) = y 0 y'=f(x,y),y(0)=y_0 y′=f(x,y),y(0)=y0​等價的積分方程。怎麼把該方程改寫成皮卡序列疊代所用到的公式？
4. 疊代有意義前提是不會超出上下邊界。是以需要證明 y n ( x ) − y 0 y_n(x)-y_0 yn​(x)−y0​關于 ∣ x − x 0 ∣ |x-x_0| ∣x−x0​∣有什麼結論？
5. 此處證明函數項級數一緻收斂用的是M判别法，其中考察的收斂的數項級數是什麼？反設有兩個解 u ( x ) , v ( x ) u(x),v(x) u(x),v(x)，證明唯一性時，考察的數項級數和前面的有何異同？
6. 證明皮卡定理時，一緻收斂用在了什麼地方？
7. 說明李氏條件是Osgood條件的特例（提示： ∫ 0 δ d r / L r = ∞ \int_0^\delta dr/Lr=\infty ∫0δ​dr/Lr=∞）。用李氏條件或Osgood條件證明唯一性的核心思想是考察什麼的積分？
8. 不滿足李氏條件（進而Osgood條件）下解一定不唯一嘛？皮卡序列一定收斂嗎？
9. 利用考察6.中積分類似的方法，還能證明 f f f關于 y y y單調時，解具有什麼樣的唯一性？
10. 回憶解的存在唯一性定理證明過程，如何估計 y ′ = x 2 − y 2 , y ( − 1 ) = 0 , ∣ x + 1 ∣ ≤ 1 , ∣ y ∣ ≤ 1 y'=x^2-y^2,y(-1)=0,|x+1|\le 1,|y|\le 1 y′=x2−y2,y(−1)=0,∣x+1∣≤1,∣y∣≤1的解的存在區間？
11. 用類似于皮卡定理證明過程的歸納法，可以得到皮卡序列和真解的一個差上界 ∣ y n − y ∗ ∣ ≤ M L L n + 1 ∣ x − x 0 ∣ n + 1 ( n + 1 ) ! |y_n-y^*|\le\frac ML \frac{L^{n+1}|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!} ∣yn​−y∗∣≤LM​(n+1)!Ln+1∣x−x0​∣n+1​。由此簡要說出如何提高解的精度。

答案

1. 解的結構（線性空間？流形？），數值解，存在唯一性，幾何直覺等。

2. [ x 0 − a , x 0 + a ] , [ x 0 − b / M , x 0 + b / M ] ( M > m a x x , y ∣ f ( x , y ) ∣ ) [x_0-a,x_0+a],[x_0-b/M,x_0+b/M](M>max_{x,y}|f(x,y)|) [x0​−a,x0​+a],[x0​−b/M,x0​+b/M](M>maxx,y​∣f(x,y)∣). 李氏常數用途：對疊代不同次數的結果之間（如 y 1 y_1 y1​和 y 2 y_2 y2​之間），估計對應的 x x x處，兩個 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的差。（注：若再積分，即可估計 y 1 y_1 y1​與 y 2 y_2 y2​的差）

   我們直接使用了一些課本上的記号，下同。

3. ϕ ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( x , ϕ ( x ) ) d x ( x 在 一 定 範 圍 内 ) \phi(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(x,\phi(x))dx(x在一定範圍内) ϕ(x)=y0​+∫x0​x​f(x,ϕ(x))dx(x在一定範圍内)，不斷“近似認為”右側 ϕ = y k \phi=y_k ϕ=yk​，就是疊代公式 ϕ k + 1 ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( x , ϕ k ( x ) ) d x \phi_{k+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(x,\phi_k(x))dx ϕk+1​(x)=y0​+∫x0​x​f(x,ϕk​(x))dx.
4. ∣ y n ( x ) − y 0 ∣ ≤ M ∣ x − x 0 ∣ |y_n(x)-y_0|\le M|x-x_0| ∣yn​(x)−y0​∣≤M∣x−x0​∣.
5. M L L n ∣ x − x 0 ∣ n n ! \frac ML \frac{L^n|x-x_0|^n}{n!} LM​n!Ln∣x−x0​∣n​. 證明唯一性：初始是一個常數界 K K K，表示兩解之差上界。證明疊代收斂：初始是 M ∣ x − x 0 ∣ M|x-x_0| M∣x−x0​∣. （當然，證明的表達形式很多，言之有理即可）
6. 交換積分和極限順序。
7. 略。都要考察 f ( x , y 1 ( x ) ) − f ( x , y 2 ( x ) ) f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x)) f(x,y1​(x))−f(x,y2​(x))積分，進而得到兩解之差（的變化量）。
8. 不一定，不一定。（如“米勒之例”）
9. 單側。

10. 最簡單的：直接考慮 m i n { a , b / M } = 1 / 4 min\{a,b/M\}=1/4 min{a,b/M}=1/4. 即得解得存在區間為 [ − 1.25 , − 0.75 ] [-1.25,-0.75] [−1.25,−0.75]或更大。

    稍精确：右側 m i n { a , b / M } = 1 min\{a,b/M\}=1 min{a,b/M}=1顯然。考察左側，為了使得 a = b / M a=b/M a=b/M，列方程 h = 1 / ( 1 + h ) 2 h=1/(1+h)^2 h=1/(1+h)2，即 h 3 + 2 h 2 + h − 1 : = f ( h ) = 0 h^3+2h^2+h-1:=f(h)=0 h3+2h2+h−1:=f(h)=0.

    f f f在 h > 0 h>0 h>0遞增。 f ( 0.5 ) > 0 , f ( 0.4 ) < 0 f(0.5)>0,f(0.4)<0 f(0.5)>0,f(0.4)<0，是以解的存在區間為 [ − 1.4 , 0 ] [-1.4,0] [−1.4,0]或更大。（此處并不能斷言比 [ − 1.5 , 0 ] [-1.5 ,0] [−1.5,0]更小。為什麼？）

11. 增加疊代次數。或減小區間，以獲得更小的 M , L M,L M,L。

壓縮映射

1. 考察 y = x y=x y=x和 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)兩曲線在 x O y xOy xOy平面的圖像，說出怎麼疊代求 f f f的根，并由此給出壓縮映射原理的幾何直覺。
2. 用壓縮映射證明皮卡定理，則距離度量和完備性分别是什麼？
3. 接上，壓縮映射證法得到的解存在區間相比上一節的證法更小，其原因是哪個常數可能較大？
4. ∣ f ( y ) − f ( x ) ∣ < ∣ y − x ∣ |f(y)-f(x)|<|y-x| ∣f(y)−f(x)∣<∣y−x∣在有界閉區間上成立，則可以用确界存在定理考察 F ( x ) : = ∣ f ( x ) − x ∣ F(x):=|f(x)-x| F(x):=∣f(x)−x∣作為 x x x的函數，最小值點能在閉區間上取得，且 F ( x ) F(x) F(x)最小值為（）。如果改為考察無界區間，那麼不動點還存在嗎？
5. g ( x ) = x 2 − 4 g(x)=x^2-4 g(x)=x2−4，則疊代公式 x n + 1 : = x n − g ( x n ) / g ′ ( x n ) x_{n+1}:=x_n-g(x_n)/g'(x_n) xn+1​:=xn​−g(xn​)/g′(xn​)（在一定區域内）為何是壓縮映射？其收斂速度如何？

答案

1. 求根方法：交替畫橫線和豎線。幾何直覺：考察斜率。
2. “一緻”的度量（“差的絕對值最大值”），一緻收斂的柯西準則。
3. 李氏常數。
4. 0，不一定，如把 x − e x + C x-e^x+C x−ex+C（ C C C為常數）的一段和射線接起來，得到分段函數。

5. G ( x ) : = x − g / g ′ G(x):=x-g/g' G(x):=x−g/g′作為關于 x x x的函數，在足夠小的鄰域内有 ∣ G ′ ( x ) ∣ ≤ α < 1 |G'(x)|\le \alpha <1 ∣G′(x)∣≤α<1.

   是以，這裡其實用到了 g g g一階導非零，二階導存在。

   對于本題， g ′ = 2 x , x n + 1 = x n / 2 + 2 / x n , ∣ x n − 2 ∣ = ∣ ( x n − 2 ) 2 / 2 x n ∣ g'=2x,x_{n+1}=x_n/2+2/x_n,|x_n-2|=|(x_n-2)^2/2x_n| g′=2x,xn+1​=xn​/2+2/xn​,∣xn​−2∣=∣(xn​−2)2/2xn​∣.

   一定條件下 ∣ ( x n − 2 ) 2 / 2 x n ∣ < ∣ ( x n − 2 ) 2 ∣ |(x_n-2)^2/2x_n|<|(x_n-2)^2| ∣(xn​−2)2/2xn​∣<∣(xn​−2)2∣，進而誤差依次為平方，四次方，八次方……量級，即幂次關于 n n n以指數增大。收斂速度很快。

解的存在性

1. 解釋歐拉折線落在“角形區域”（圖像：一個“叉”把矩形切割成4部分），并畫出兩種可能的簡圖。
2. 為什麼一系列“歐拉折線”滿足Ascoli引理的題設？
3. 怎麼統一地表達出歐拉折線？（即：形式上表達出歐拉折線對應的函數 ϕ n ( x ) \phi_n(x) ϕn​(x)）
4. 歐拉折線代入上一節2.中積分方程，怎麼估計誤差？
5. Ascoli引理推出的（）性質用在了哪裡？
6. 一緻有界和等度連續推出一緻收斂成立的區間是且僅是（）區間。
7. 為了構造使得奇數段情況和偶數段情況分别遞增和遞減的歐拉折線，函數 x c o s ( π / x ) xcos(\pi/x) xcos(π/x)起到什麼作用？
8. 如果 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)不連續，解可能不存在，舉出例子。
9. 皮卡序列是否滿足Ascoli引理題設？它能不能用來證明皮亞諾存在定理？

10. 由實體中伯努利方程，桶開小洞漏水時 h ˙ = − C h \dot h=-C\sqrt h h˙=−Ch

    ​. 解不唯一表示什麼情況下無法反推之前情況？

11. 對于一維自治系統 x ′ = f ( t , x ) = f ( x ) x'=f(t,x)=f(x) x′=f(t,x)=f(x)（隻與 x x x有關）和非自治系統，分别估計歐拉折線法走一步（導緻折線和真實解曲線）的誤差：其大緻是什麼常數乘以 Δ t 2 \Delta t^2 Δt2（步長平方）？
12. 如果改進歐拉折線法：先根據 f ( 0 , 0 ) f(0,0) f(0,0)走一步 Δ t \Delta t Δt得到點 ( Δ t , f ( 0 , 0 ) Δ t ) : = ( t 1 , x 1 ) (\Delta t,f(0,0)\Delta t):=(t_1,x_1) (Δt,f(0,0)Δt):=(t1​,x1​)，再進行一定修正，得到點 ( Δ t , ( f ( 0 , 0 ) + f ( t 1 , x 1 ) ) Δ t / 2 ) : = ( t 2 , x 2 ) (\Delta t,(f(0,0)+f(t_1,x_1))\Delta t/2):=(t_2,x_2) (Δt,(f(0,0)+f(t1​,x1​))Δt/2):=(t2​,x2​). 則對自治系統， ( t 2 , x 2 ) (t_2,x_2) (t2​,x2​)處折線對應的取值和真實解曲線對應的取值誤差在什麼量級？

答案

1. 注意導函數 f f f有界。略。
2. 一緻有界顯然。由導函數 f f f有界得到等度連續性。
3. ϕ n ( x ) = y 0 + ∑ k = 0 s − 1 f ( x k , y k ) h / n + f ( x s , y s ) ( x − x s ) \phi_n(x)=y_0+\sum_{k=0}^{s-1} f(x_k,y_k) h/n+f(x_s,y_s)(x-x_s) ϕn​(x)=y0​+∑k=0s−1​f(xk​,yk​)h/n+f(xs​,ys​)(x−xs​).
4. 提示：利用 f f f關于第二個變量（ y y y）的一緻連續性（這比李氏條件顯然弱）。
5. 一緻收斂，交換積分和極限。
6. 有限。
7. 保證原點處連續，且注意奇偶性影響。
8. 提示：一系列可數個同心菱形，半徑依次縮小，一圈 f = 1 f=1 f=1，一圈 f = − 1 f=-1 f=−1.
9. 滿足。不能。（回憶皮卡定理中需要兩邊取極限後，才能說明 ϕ \phi ϕ确實是解）
10. 桶漏光水之後。
11. 自治： 1 2 f ( 0 ) f ′ ( 0 ) \frac 12 f(0)f'(0) 21​f(0)f′(0). 非自治：全導數 1 2 d f / d t = 1 2 ( ∂ t f + ∂ x f ⋅ f ) ∣ ( 0 , 0 ) \frac 12 df/dt=\frac 12(\partial_t f+\partial_x f\cdot f)|_{(0,0)} 21​df/dt=21​(∂t​f+∂x​f⋅f)∣(0,0)​.（原因：泰勒展開的二階項）

12. f ( t 1 , x 1 ) = f ( x 1 ) ≈ f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x 1 + f ′ ′ ( 0 ) x 1 2 / 2 , f ( x 1 ) + f ( 0 ) 2 ≈ f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) f ( 0 ) Δ t / 2 + f ′ ′ ( 0 ) f 2 ( 0 ) Δ t 2 / 4 f(t_1,x_1)=f(x_1)\approx f(0)+f'(0)x_1+f''(0)x_1^2/2,\frac{f(x_1)+f(0)}2\approx f(0)+f'(0)f(0)\Delta t/2+f''(0)f^2(0)\Delta t^2/4 f(t1​,x1​)=f(x1​)≈f(0)+f′(0)x1​+f′′(0)x12​/2,2f(x1​)+f(0)​≈f(0)+f′(0)f(0)Δt/2+f′′(0)f2(0)Δt2/4

    誤差 ≈ [ ( f ′ ′ f 2 + f ′ 2 f ) / 6 − f ′ ′ f 2 / 4 ] Δ t 3 \approx[ (f''f^2+f'^2f)/6-f''f^2/4]\Delta t^3 ≈[(f′′f2+f′2f)/6−f′′f2/4]Δt3. （泰勒展開要到三階）

分岔

1. 含參數微分方程的參數變化時解結構會改變。如果有多個參數，那麼參數和解結構的關系圖從原理上類似于（）（說出一種大學實體中學到的事物）。注：含多個參數的時候，如果系統參數隻在某條線上變化，那又相當于退化到一維，仍然可能出現類似于單參數情況的分岔。
2. 分岔反映在解的幾何意義和實體意義上，可能有突變、相變等。對 y ′ = − a y − y 2 ( a ≥ 0 ) y'=-ay-y^2(a\ge0) y′=−ay−y2(a≥0)說明。
3. 用二維系統的鞍點、結點限制在某一直線上的情形解釋“鞍-結點”分岔。
4. 分岔圖的橫軸是參數 r r r，縱軸是（）。導函數圖像橫縱軸是（）。相圖中空心點對應分岔圖中（）。分岔圖中曲線如何反映到相圖上？
5. “鞍-結點”分岔與其它三種（transcritical, subcritical, supercritical分岔）在考察導函數圖像時的幾何意義顯然不同（提示：平移與旋轉），試直覺解釋。
6. 解釋三種“臨界”分岔中不動點的失穩，比較亞臨界和超臨界分岔的實體意義，畫圖解釋磁滞（hysteresis）并猜想“磁滞”的詞源。
7. 臨界分岔 x ′ = x 3 − r x x'=x^3-rx x′=x3−rx如果右側加“不完美項”常數 h h h使得體系不再具有對稱性，則臨界分岔變為（）分岔。為了從幾何直覺考察，應該繪制什麼樣的三維圖？
8. 接上，對于 x ′ = r x − x 2 + h x'=rx-x^2+h x′=rx−x2+h中的 h h h呢？（提示：考慮 h h h的符号）
9. 回憶0，考察7.（請特别考察兩種越過界線的方向）
10. 為了考察 x ′ = r x − s i n x x'=rx-sinx x′=rx−sinx帶來的分岔現象，畫出（）的圖像再考察過原點不同斜率直線與其交點即可。該系統有一個（）分岔和許多（）分岔。

答案

1. （物态變化中的）相圖。注意”相圖“一詞多義。
2. y ′ = − y 2 y'=-y^2 y′=−y2則 y = 1 / ( x + C ) y=1/(x+C) y=1/(x+C). 這種衰減比指數慢得多。
3. 平衡點相碰消失（或憑空産生）。（可以嘗試 x ′ = r − x 2 , y ′ = − y x'=r-x^2,y'=-y x′=r−x2,y′=−y）
4. x x x，縱軸 x ′ x' x′橫軸 x x x，虛線，略。
5. ”鞍-結點“是平移，後三種是旋轉。
6. 同一個不動點随參數變化，穩定性改變。亞臨界有“災變”（災難性後果），圖略。回憶實體中鐵磁性媒體的磁滞回線。
7. 鞍-結點。例如 z ( x , r ) = x 3 − r x z(x,r)=x^3-rx z(x,r)=x3−rx的三維圖像，然後用不同高度截取。

8. h < 0 h<0 h<0則：在 r = 0 r=0 r=0處， x ′ = 0 x'=0 x′=0無解，反映在分岔圖上即 x = 0 x=0 x=0處沒有曲線。此時是（兩個）鞍-結點分岔。

   h = 0 h=0 h=0則跨臨界分岔。

   h > 0 h>0 h>0則可以解出整個 r ∈ R r\in\mathbb R r∈R上兩條函數曲線 x 1 ( r ) , x 2 ( r ) x_1(r),x_2(r) x1​(r),x2​(r)，并不存在分岔。

9. 提示：全平面 r O h rOh rOh分為兩個區域。

   注意：固定 h h h考察 r r r的分岔，與固定 r r r考察 h h h的分岔，本質上是兩個東西。

10. s i n x sinx sinx，亞臨界，鞍-結點。

分岔的應用

1. 阻尼力 − b ϕ ˙ -b\dot \phi −bϕ˙​（ ϕ \phi ϕ是角度）中 b b b機關是什麼？負号是什麼意思？
2. “環”上運動的珠子中，怎麼用無量綱化定義“阻尼很大”？
3. x ˙ = s i n x ( γ c o s x − 1 ) \dot x=sinx(\gamma cosx-1) x˙=sinx(γcosx−1)的分岔怎麼考察？
4. “環”上運動的珠子中，導函數圖像展現在數軸上是怎樣的？（提示：注意闡述周期性）
5. 請在二維相圖上表示奇異極限。此時線素場如何？
6. 對于 ϵ x ′ ′ + x ′ + x = 0 \epsilon x''+x'+x=0 ϵx′′+x′+x=0的奇異極限，怎麼在 x ( t ) x(t) x(t)圖像上展現？（參考4.）
7. 分岔的穩定性與實體中的勢如何結合？（提示：構造勢函數）

答案

1. N ⋅ s N\cdot s N⋅s. 阻礙運動（力與運動方向相反）
2. 略。
3. 泰勒展開到三階（不要忘了 s i n x sinx sinx三階項）
4. 提示：“環”結構中，數軸上無窮個點表示實際的一個點。導函數有周期性，故實際上隻用在一個周期内考察和畫圖。注意分岔導緻有幾種可能的圖。
5. 提示：先極快到一條曲線附近，然後跟着曲線走。除了一條曲線附近，其餘處線素場近似豎直。解曲線上水準。（即：偏離就很快拉回來）
6. 導數很快從初值變成某個和初值無關的定值。（注：且這過程其實是”指數的“趨近）

7. x ′ x' x′積分取相反數就是勢函數。回憶實體中 力 = − ∇ 勢 力=-\nabla 勢 力=−∇勢.

   嘗試畫出勢函數圖，發現各類分岔的實體意義非常明顯。

幂級數解法

1. 對于 y ′ = x 2 + y 2 , y ( 0 ) = 0 y'=x^2+y^2,y(0)=0 y′=x2+y2,y(0)=0分别用皮卡序列和待定系數法求解的幂級數展開到 x 7 x^7 x7項（不用嚴格說明）
2. 什麼叫函數在 G ∈ R 2 G\in \mathbb R^2 G∈R2内解析？
3. 解釋求幂級數形式解中， C 2 = 1 2 ! y ′ ′ ( x 0 ) = f x ′ ( x 0 , y 0 ) + f y ′ ( x 0 , y 0 ) y ′ ( x 0 ) 2 = a 10 + a 01 C 1 2 C_2=\frac 1{2!} y''(x_0)=\frac{f'_x(x_0,y_0)+f_y'(x_0,y_0)y'(x_0)}{2}=\frac{a_{10}+a_{01}C_{1}}{2} C2​=2!1​y′′(x0​)=2fx′​(x0​,y0​)+fy′​(x0​,y0​)y′(x0​)​=2a10​+a01​C1​​是什麼意思。
4. 進行形式運算：對于 y ′ = r y − y 2 + a y 3 + O ( y 4 ) y'=ry-y^2+ay^3+O(y^4) y′=ry−y2+ay3+O(y4)，若 y = x − b x 3 y=x-bx^3 y=x−bx3，則代換得（）。上式中對于 r ≠ 0 r\ne0 r​=0可适當取（）使得 x ′ x' x′關于 x x x表達式三階項消失。

答案

1. 皮卡： y 0 = 0 , y 1 = x 3 / 3 , y 2 = ∫ ( x 6 / 9 + x 2 ) d x = x 3 / 3 + x 7 / 63 y_0=0,y_1=x^3/3,y_2=\int(x^6/9+x^2)dx=x^3/3+x^7/63 y0​=0,y1​=x3/3,y2​=∫(x6/9+x2)dx=x3/3+x7/63

   待定系數： a 0 = 0 , a 1 = a 0 2 = 0 , 2 a 2 = 2 a 0 2 a 1 = 0 , ⋯ a_0=0,a_1=a_0^2=0,2a_2=2a_02a_1=0,\cdots a0​=0,a1​=a02​=0,2a2​=2a0​2a1​=0,⋯這樣計算下去。

2. 提示：展開式每一項是二進制單項式。展開收斂，且等于原函數。
3. 提示： C i C_i Ci​是解的（一進制）幂級數展開系數， a i j a_{ij} aij​是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的（二進制）幂級數展開系數。注意多元微分鍊式法則。

4. x ′ − 3 b x 2 x ′ = r x − r b x 3 − x 2 + a x 3 + O ( x 4 ) , x ′ = r x + r x 3 b x 2 − r b x 3 − x 2 + a x 3 + O ( x 4 ) = r x − x 2 + ( a + 2 b r ) x 3 + O ( x 4 ) x'-3bx^2x'=rx-rbx^3-x^2+ax^3+O(x^4),x'=rx+rx3bx^2-rbx^3-x^2+ax^3+O(x^4)=rx-x^2+(a+2br)x^3+O(x^4) x′−3bx2x′=rx−rbx3−x2+ax3+O(x4),x′=rx+rx3bx2−rbx3−x2+ax3+O(x4)=rx−x2+(a+2br)x3+O(x4).

   b b b.

奇解和包絡

1. 一階隐式微分方程相比顯式情況，“線素場”怎麼樣了？
2. 對 y = x y ′ − 1 4 y ′ 2 y=xy'-\frac 14 y'^2 y=xy′−41​y′2兩邊求微分得到（）為0或（）為0，這是否是解的充要條件？
3. 證明上式中“抛物線”解每一點處切線都是解。
4. 參數法求隐式方程的解：請解釋 d y = y ′ d x ⇒ g u d u + g v d v = h ( u , v ) ( f u d u + f v d v ) dy=y'dx\Rightarrow g_udu+g_vdv=h(u,v)(f_udu+f_vdv) dy=y′dx⇒gu​du+gv​dv=h(u,v)(fu​du+fv​dv)的各字母含義。
5. 對于一階隐式微分方程 F ( x , y , y ′ ) = 0 F(x,y,y')=0 F(x,y,y′)=0一個解 y = ϕ ( x ) y=\phi(x) y=ϕ(x)和通解 y = f ( x ; C ) y=f(x;C) y=f(x;C)，當（）不屬于（），且（）解曲線上任一點出發都得到（）中的一個解，則（）是奇解。奇解唯一嘛？
6. F ( x , y , y ′ ) F(x,y,y') F(x,y,y′)在區域内連續且對第二、第三個變量可偏導時，奇解上每一點 F F F處對第幾個變量偏導為0？證明思路：反設一點附近（），則由（）元、（）維情況隐函數存在定理，得到局部有（）元函數 p ( x , y ) p(x,y) p(x,y)使得（）為0，這樣形式上可以把隐式微分方程化為顯式，然後根據（）（人名）定理推出沖突。由上可以得到奇解的（）條件。

7. 為什麼 y ′ = y y'=\sqrt y y′=y

   ​不能用5.考察？

8. 什麼是包絡？（一階連續可微的）通解對應曲線族的包絡線是奇解對應的解曲線如何直覺解釋？
9. 給出包絡滿足的“C-判别式”。為了證明它，我們可以形式上寫出包絡線上 x , y , C x,y,C x,y,C用 C C C表示的參數方程（），由 V ( x , y , C ) V(x,y,C) V(x,y,C)恒為0，求全微分得（），再根據向量（）和向量 ( V x , V y ) (V_x,V_y) (Vx​,Vy​)關系即得結果。
10. 8.的幾何直覺解釋：設 C C C表示高度，每個高度上有一條曲線 V ( x , y , C 0 ) V(x,y,C_0) V(x,y,C0​)，如果 V C ′ ≠ 0 V_C'\ne0 VC′​​=0則局部有二進制一維反函數（），設 V V V一階連續可微（且 V x ′ , V y ′ V_x',V_y' Vx′​,Vy′​不全為0），則局部類似于”山坡的等高線“，不可能有包絡。

答案

1. 不一定唯一（不一定良定義）
2. y ′ ′ = 0 y''=0 y′′=0或 x − y ′ / 2 = 0 x-y'/2=0 x−y′/2=0. 必要不充分。
3. 提示：由上，抛物線滿足 y ′ = 2 x y'=2x y′=2x，直接寫出切線方程，驗證是解即可。
4. 把 x , y , y ′ x,y,y' x,y,y′都用兩個參數 u , v u,v u,v表示，分别為 x = f ( u , v ) , y = g ( u , v ) , y ′ = h ( u , v ) x=f(u,v),y=g(u,v),y'=h(u,v) x=f(u,v),y=g(u,v),y′=h(u,v).
5. ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)， { f ( x ; C ) ∣ C 取 一 切 可 能 值 } \{f(x;C)|C取一切可能值\} {f(x;C)∣C取一切可能值}， ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)， { f ( x ; C ) ∣ C 取 一 切 可 能 值 } \{f(x;C)|C取一切可能值\} {f(x;C)∣C取一切可能值}， ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x). 不一定。
6. 第三個。 ∂ y ′ F ≠ 0 \partial_{y'} F\neq0 ∂y′​F​=0，2，1，2， F ( x , y , p ) F(x,y,p) F(x,y,p)，皮卡，必要不充分。
7. 對第二個變量不可偏導，于是皮卡定理條件不滿足。
8. 對曲線族 V ( x , y , C ) = 0 V(x,y,C)=0 V(x,y,C)=0和不在其中的曲線 U ( x , y ) U(x,y) U(x,y)， U U U上任一點都和某條曲線族 V V V中的曲線相切，則 U ( x , y ) U(x,y) U(x,y)稱為“包絡線”。提示：相切表示導數相等，而點點都有切線也呼應了奇解的定義。
9. V ( x , y , C ) = V C ′ ( x , y , C ) = 0 V(x,y,C)=V'_C(x,y,C)=0 V(x,y,C)=VC′​(x,y,C)=0. { x = f ( C ) y = g ( C ) C = C \left\{\begin{matrix} x=f(C)\\ y=g(C)\\ C=C \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧​x=f(C)y=g(C)C=C​， V x f C + V y g C + V C = 0 V_xf_C+V_yg_C+V_C=0 Vx​fC​+Vy​gC​+VC​=0， ( f C , g C ) (f_C,g_C) (fC​,gC​).（下标表示偏導）
10. C ( x , y ) C(x,y) C(x,y).