3D數學5-幾何圖元

05/11/2020

05/12/2020 - 直線的向量表達式的語義

幾何圖元

• 表示方法
• • 直線與射線
  • • 射線表達
    • 直線
    • • 向量表達式
  • 球和圓
  • • 表達式可以見最上面
    • 公式
  • 矩形邊界框
  • • 專業術語
    • AABB表達方式
    • • AABB與邊界球
    • 變換AABB
  • 平面
  • • 表達方式
    • 平面3個點計算n和d
    • 從點集中求出最佳平面的
    • 點到平面的距離
  • 三角形
  • • 重心坐标空間
    • 特殊點
  • 多邊形
  • • 自相交多邊形
    • 凸或者凹多邊形
    • 三角分解和扇形分解

表示方法

如何表示一個圖元或形狀

• 隐式表示：通過定義一個布爾函數表示。

  x 2 + y 2 + z 2 = 1 （ 球 函 數 ） x^2 + y^2 + z^2 = 1 （球函數） x2+y2+z2=1（球函數）

• 參數形式表示

例子：圓表達式

x ( t ) = c o s ( 2 π t ) y ( t ) = s i n ( 2 π t ) x(t) = cos(2\pi t) \\ y(t) = sin (2\pi t) x(t)=cos(2πt)y(t)=sin(2πt)

t被稱作參數，當t從0變化大1時，點（x(t),y(t)）的軌迹就是所要描述的形狀

• 直接形式表示：專業術語表達易于了解
• 線段
• 球心和半徑表示球
• 自由度：每個幾何圖元都有一個固有的屬性，球有半徑，長方體有長寬高

直線與射線

射線表達

x ( t ) = x 0 + t Δ x y ( t ) = y 0 + t Δ y x(t) = x_0 + t \Delta x \\ y(t) =y_0 + t \Delta y x(t)=x0​+tΔxy(t)=y0​+tΔy

$$

直線

隐 式 定 義 ： a x + b y = d 向 量 表 達 ： p ⋅ n = d 斜 截 式 ： y = m x + b 隐式定義：ax+by = d \\ 向量表達：p\cdot n = d\\ 斜截式： y = mx + b 隐式定義：ax+by=d向量表達：p⋅n=d斜截式：y=mx+b

向量表達式

p ⋅ n ⃗ = d p\cdot \vec n = d p⋅n

=d

設向量n = [a,b]. n是垂直于直線的機關向量，d給出了原點到直線的有符号距離。這個距離是在垂直于直線的方向（平行于n）上度量的。

• d如果為正，直線和标準向量n代表的點在原點的同一側
• 當d不斷增大時，直線沿方向n移動

球和圓

表達式可以見最上面

公式

• 面積或體積
• 周長或表面積

矩形邊界框

用來界定物體的幾何圖元的矩形邊界框。

專業術語

• 軸對齊矩形邊界框（axially aligned bounding box），它的邊必須垂直于坐标軸
• AABB： 一個3D的簡單六面體，每一邊平行于一個坐标平面

AABB表達方式

p m i n = [ x m i n , y m i n , z m i n ] p m a x = [ x m a x , y m a x , z m a x ] p_{min} = [x_{min},y_{min},z{min}]\\ p_{max} = [x_{max},y_{max},z{max}] pmin​=[xmin​,ymin​,zmin]pmax​=[xmax​,ymax​,zmax]

• 中心點
• 半徑向量：它是從中心點指向pmax<\sub>的向量

AABB與邊界球

AABB比邊界球更适合于做定界體。

• 易于計算一個點集的AABB：程式設計易于實作
• 大部分時候AABB的體積比邊界球體積小

變換AABB

用變換後的物體重新計算AABB，或者對AABB做和物體同樣的變換。

AABB有8個點，通常重新計算會快的多。但是會面臨一個問題，AABB有時候也會發生扭曲或者旋轉，導緻新邊界比原邊界框大許多。

最後，選擇AABB做和物體同樣的變換，再根據矩陣情況下，再重新計算最小值和最大值。

平面

表達方式

$$

隐式定義：ax+by +cz= d

向量表達：p\cdot n = d （n為法向量，p為面上的點）

$$

平面3個點計算n和d

叉乘可以計算垂直于兩個向量的向量。

從點集中求出最佳平面的

一組三個以上的點集中求出平面方程，叫作多邊形頂點。

點到平面的距離

公式:q是一個點

q ⋅ n − d q\cdot n - d q⋅n−d

如果等于0，表示點在平面上

三角形

三角形由三個頂點構成。

• 基本性質
• 面積
  • 普通版：底乘高除2
  • 海倫公式：如何在不知道高的情況下計算面積，用三角形三邊長度計算面積
  • 進階版：用三角形三個頂點計算面積

重心坐标空間

在3D世界中，為了友善移動或使用三角形。三角形所在平面的任一點都能表示為頂點的權重平均值。

特殊點

• 重心
• 内心
• 外心

多邊形

簡單化：把複雜的多邊形變成簡單的多邊形的組合，比如多個三角形組合成梯形等。

自相交多邊形

邊相加

凸或者凹多邊形

簡單化不同，凹多邊形需要使用輔助線。

三角分解和扇形分解

任意多邊形都能分解為三角形。

扇形三角分割出一些長的，較細的三角形。

3D基礎數學第十二章