摘要
本文分析研究單闆滑雪過程，設計出了能使熟練運動員最大限度産生垂直騰空的半管滑道形狀，并結合運動員在空中完成翻轉等動作的要求檢測優化了該滑道的形狀。
首先，根據調查所得資料，半管滑道是具有一定傾斜度的U形槽滑道。為便于問題的分析，先不考慮滑道的傾斜情況，研究平放狀态下的滑道截面圖。對滑道内某處的運動員進行受力分析，利用能量守恒定律，表示出在剖面内進行一個周期滑動（從滑道某一邊出發到滑回這一邊）并産生垂直騰空時的能量轉化關系。再對傾斜狀态下的滑道分析，以滑道底部平地中線為X軸，垂直于X軸且方向是東西走向的為Y軸，兩軸交于O點，垂直于XOY平面的為Z軸。受力分析，表示出X,Y,Z三個方向上的摩擦力做的功，代回上文的能量轉化關系式中，化簡得到垂直騰空距離關于滑道各部分參數的表達式。同時，各參數有其對應的限制條件，在滿足這些條件的情況下，垂直騰空距離取最大值時，參數出現有效收斂解：l（滑道總長度）=118.6m，h（垂直部分長度）=1.2m，R（過渡段所近似的圓的半徑）=2.4m，d（平底寬度）=15m，H（滑道無傾斜狀态下的高度）=3.5m，µ（滑道内動摩擦系數）=0.05，θ（滑道傾斜的角度）=18°，過渡區曲線的曲率為0.41667。按照這些參數建造的滑道，即為滿足題目要求的滑道。
其次，由于運動員騰空過程需要消耗能量，而在空中完成翻轉等動作又需要一定的角速度和高度，是以，運動員隻有在以某種情況離開滑道時，才能完成翻轉并回到滑道。故在前一個模型的基礎上進一步假設，求得離開滑道時的質心速度，空中旋轉角速度和翻轉時間的表達式，再取進入滑道時速度為15m/s，起跳及落地速度損失率為13%和17%，且進入速度方向與滑道邊緣夾角（以下稱夾角）為90°，87°，70°和不控制這幾種情況，分别模拟運動軌迹。最後發現，在進入速度為15m/s，夾角為70°，隻需沿X軸滑行10~12m，則可以完成空中翻轉等動作。在問題一中，進入速度同樣為15m/s，夾角可任意取，且X軸上的長度滿足要求，故驗證成功，問題一的滑道形狀成立。
最後，通過網上搜尋，翻找書籍等方法，了解到了建造滑雪滑道所需要滿足的要求，整理後，分為安全和環境這兩個方面來叙述。
關鍵詞：簡化模型，能量守恒定律，三維坐标系，能量消耗，轉動慣量
一.問題引言
1.1問題背景
産生于60年代美國的單闆滑雪，在國際上雖然還屬于新興的運動項目範疇，但它以自身的魅力，轉眼之間風靡了世界，并于1994年被國際滑聯定為冬奧會項目。
單闆滑雪需要專門的滑雪區域和半管滑道才能進行。單闆滑雪過程中，選手需要利用半管滑道産生垂直騰空（“垂直騰空”是超出半管滑道邊緣以上的最大垂直距離），進而在空中完成各種旋轉和跳躍動作（主要包括躍起抓闆、躍起非抓闆、倒立、躍起倒立、旋轉）。
對于這項高難度的冬季極限運動而言，良好的場地條件會讓訓練事半功倍，而訓練場地中尤其值得考慮的就是半管滑道的設計。
1.2 問題提出
•設計一個單闆滑雪場，使得熟練的單闆滑雪選手最大限度地産生垂直騰空。•優化滑雪場形狀，滿足在空中産生最大身體扭曲這一要求。
•一個“實用”的滑雪場地需要考慮哪些權衡系數。
二.基本假設
因實際情況中某些因素無法人為控制同時對需要研究的問題有一定影響，為了便于建立模型，做出以下假設：
1.假設問題一、二中的滑雪場存在于無風向即不考慮空氣阻力的情況下。
2.假設滑雪運動員的重量以及滑雪闆是均勻分布的，同時在模組化過程中，滑雪運動員和滑雪闆始終在一起的。
3.在建立垂直騰空相關模型時，将運動員視為質點。
4.假設滑雪運動員進入單闆滑雪場時的初始速度容易控制。
5.假設滑道内各處的動摩擦系數相同。
6.假設當運動員産生垂直騰空時，隻考慮重力勢能。
7.假設運動員在空中翻轉時，角速度保持不變。
三.符号說明
在建立模型的過程中，定義并使用了以下符号，為友善閱讀，整理總結各符号的含義如下：
| 符号 | 含義 |
| α β θ l h R d H v0 v2 vB vC vD f rf N μ Wf vmax G Gmax | 單闆滑雪場的邊坡角度 X正方向和AD連線的交叉角度 在Y-Z平面上運動員所受支撐力和Y軸的夾角角度 單闆滑雪場的長度 滑道上方垂直牆的高度 滑道的曲率半徑 滑道底平面的寬度 從地面到管道頂點的高度 滑雪運動員的初始速度 v0θ 投射到Y-Z平面的值 在B點瞬間的速度 在C點瞬間的速度 出D點時的起飛速度 摩擦力 f投影在Y-Z平面的值 滑雪運動員正常的作用力 摩擦系數 滑動摩擦力做的功 全過程中最大的滑行速度 作用在滑雪闆上的重力加速度 在滑雪運動員能保持良好平衡狀态下的最大重力加速 |
四.問題分析
4.1針對問題一
需要建立垂直騰空與半管滑道各部分參數的關系，來确定垂直騰空達到最大限度時，半管滑道的形狀。
首先，在半管滑道的截面圖上進行分析，利用能量守恒定律，表示出在剖面内進行一次滑動并産生垂直騰空時的能量轉化關系。
其次，在有坡度的立體滑道圖中分析滑行時的受力，得出實際滑行過程中各方向摩擦力做功的具體表達式。代回能量轉化關系式中，化簡得到垂直騰空距離關于滑道各部分參數的表達式。在滿足參數限定條件的情況下，垂直騰空距離達到最大值時，對應的滑道參數即為最理想狀況。
4.2針對問題二
需要分析找到運動員垂直騰空完成翻轉等動作時，場地所需滿足的條件，判斷問題一中設計的半管滑道形狀是否合适，合适，則成立；不合适，則進行優化。而在此過程中，運動員的能量損耗是一個必須考慮的問題。
4.3針對問題三
需要調查收集建造滑雪滑道時應滿足實際條件的相關資訊。如：安全因素，環境因素等。
五.模型的建立與求解
5.1問題一模型的建立與求解
5.1.1 Preparation of model
Snowboarding is a winter sport that evolved from skateboarding and surfing. There are three main types of skiing: alpine skiing, freestyle skiing, and cross-country skiing. Snowboarders use one board and use their body and feet to steer. This paper studies the u-shaped field relative to the skilled skiers. Snowboarding is a winter sport that evolved from skateboarding and surfing. There are three main types of skiing: alpine skiing, freestyle skiing, and cross-country skiing. Snowboarders use one board and use their body and feet to steer. This paper studies the u-shaped field relative to the skilled skiers. Table 1 shows the relevant professional concepts of the "half-pipe" track: shows the relevant professional concepts of the "half-pipe" track:
Table 1：Semitrailer track related professional concept
| 表示符号 | 專業概念 | 概念解釋 |
| d | Flat width | U槽底部的平地 |
 | Transitions | 水準槽底部與垂直牆之間的弧型過渡區 |
| h | Verticals height | 邊緣和過渡（弧線）之間的垂直部分 |
| ---- | Platform | 雪牆上面的水準平台 |
| c | Entry Ramp | U型槽的起滑位置 |
The relevant parameters of "single tube" will vary according to the needs of athletes, which is also known as the u-shaped field. The quantitative way to determine its shape is to calculate its most scientific parameters according to the needs.
5.1.2 Establishment and solution of the model
To study the problem, determine the maximum height "vertical" suspension, need to comprehensively consider the effect of circuit parameters bring players (including the transition curve, base platform width, etc.), because the track is three-dimensional structure, to facilitate understanding, model from simple to deep, from intuitive to complicated, first of all, a plane model of the vertical section, study one-way players particle motion;
Fig. 1: sectional view of half pipe slide
When A contestant moves from point A to point D and starts entering the track vertically with v_0, then:
By the law of conservation of energy
（1）
is the internal energy generated by snowfield friction on snowboard.
The key of this conception is to find out the distance of skidding in the transition zone, where the curvature and radius of curvature are introduced【1】；
Curvature: is the bending degree of the equilibrium curve,It's denoted by the symbol
.
The definition of a reference derivative,Find the mean curvature
, defineABThe average bending of a curve，Among them
is the change Angle of the tangent line on the curve AB,
is the arc length of AB。
By:
(2)
and
(3)
Obtain radius of curvature:
(4)
Fig 2: stress analysis of a certain position in the half pipe slide
First of all,decompose
in the
plane，And then you get the magnitude of the friction that the player is causing as he's sliding down due to gravity, and the frictional force fy
in the y-z plane, In the
plane of the coordinate system, we can obtain the stress analysis of the entire process of the contestant (as shown in the figure2).According to the law of conservation of energy, the initial state v_0 is decomposed into a process of tangential motion:
(5)
and
(6)
According to the graphic analysis,
,Among them f2
is generated by gravity in the
plane,and：
,
then
(7)
Take the partial derivative of (5)【2】，and let
and（6）,if I plug in x for 5, I get：
be
(8)
As shown above，This is a first order linear inhomogeneous equation，The method first USES arbitrary constant variation,then：
(9)
From
to get：
（10）
Let the competitor's speed point at A be
,and
，so
(11)
then：
(12)
The friction force on curve AB:
(13)
Combined with (1) :
be
（14）
The expression of h0
is denoted as:
Among them,σ
is the central Angle of the circle of curvature corresponding to the transition zone in the usual U - shaped graph.
◆his expression can be used to calculate the vertical flight height
relatively directly.However, it is difficult to see the most accurate parameter value corresponding to it, and the slope Angle of the track is not taken into account, which is not in line with the reality. The more comprehensive and scientific three-dimensional track will be analyzed as a whole below.
Fig. 3: halfpipe slide stereogram
Combined with the experience of the above model, the coordinate system as shown in figure 3 is established.
The movement status of a cycle in the sliding process is as follows: Enter the track at point A, then slide along AB on the bottom platform to point B, then slide to point C on the BC section of the platform, then slide onto the uphill track to point D.Taxi from point D to transition point D1
and empty. Back to point D'
after motion again into the u-shaped pool, complete a fly. Since the D'
slide downhill to C'
, Along the platform to B'
, after is uphill section to A'
, transition section to A1'
,by A1'
empty curve fell after exercise to A1"
,By A1'
'point curve suspension movement after the fall back to A1''
to complete the second empty, The transition section have A''
to complete A cycle of movement.
Since the motion characteristics of the itd and the flying segment are consistent, the motion characteristics of the two segments are merged.Therefore, force analysis was performed AB,BC,CD,DD',D'C'
,C'B'
,B'A'
and A'A”
,then the equations of motion were established
The movement status of a cycle in the sliding process is as follows: Enter the track at point A, then slide along AB on the bottom platform to point B, then slide to point C on the BC section of the platform, then slide onto the uphill track to point D.Taxi from point D to transition point
and empty. Back to point D'
after motion again into the u-shaped pool, complete a fly. Since the D'
slide downhill to C'
, Along the platform to B'
, after is uphill section to A'
, transition section to
,by '
empty curve fell after exercise to "
,By '
'point curve suspension movement after the fall back to A1''
to complete the second empty, The transition section have
to complete A cycle of movement.
Since the motion characteristics of the itd and the flying segment are consistent, the motion characteristics of the two segments are merged.Therefore, force analysis was performed '
,C'B'
,B'A'
and
,then the equations of motion were established.
Fig. 4 side view of u-tube slide
The establishment of the equation of motion, in the curvilinear coordinate system as shown in the figure,
represent the accelerations along the tangent line y
, the principal normal line z
,and the adjoining normal line x
in curvilinear coordinates, respectively. Since it is reciprocating motion, There are differences in force analysis in different directions of motion. In order to express clearly, In order to express clearly,the first cycle can be divided into
the first stage of
second phase of analysis.
Fig 5: force analysis diagram of the first stage
- he force analysis in the first stage is shown in the figure. According to Newton's second law, the dynamic equations are established: part goes down
數學模組化美賽、國賽真題訓練——滑雪場的設計（原創）
(15)
Where the sliding friction is opposite to the motion direction and has a magnitude of
If the Angle between the total friction and the
direction is
，與将And the friction force is decomposed along the y
and
directions，be：
（16）
- BC part
(17)
The friction force is the same as equation (16).
(3) CD section upward
(18)
The friction force is the same as equation (16).
(4)
Parabolic segments
(19)
In the second stage, the force distribution diagram is shown in the figure. According to Newton's second law, The following dynamic equations were established:
Fig. 6: schematic diagram of force analysis in the second stage
1）
section downward
(20)
The friction force is the same as equation (16).
2）
part
(21)
The friction force is the same as equation (16).
4）
Parabolic segments
(23)
5.1.3 The model results
Since there is no analytical solution, in order to verify the numerical model, the convergent solution is adopted as the reference solution in this paper, that is, when the parameter value is small enough, the physical quantity is basically unchanged.
Selecting v0
=15ms
,αo=0
, When the time step values are different, the displacement of one period is shown in Fig. 7.
Fig 7: relationship between displacement and
time step
When the time steps are 0.001，0.0005 and 0.0001，It can be seen that the displacement and velocity curves basically coincide. In this paper, the 0.0005 solution is taken as the reference solution to calculate the error value. Fig. 10 shows the relationship between the downward tangential and binormal displacements at different time steps with time.
Fig 8: peak point error of tangential and
auxiliary normal displacements of the first period
Fig 9: error of key points of the first cycle speed
Fig. 10: tangential and subnormal displacement time histories of the first period
- 三維模型的分析
對半管滑道的三維模型建立三維坐标軸(如圖11)：
圖11:半管滑道三維模型
其中
為賽道底部平面與
平面的夾角。
将滑道内垂直牆以上的高度
設為模型的零刻線邊坡角度。
有
（24）
約定條件：
1.Vmax 為選手将失控時的速度。
2.當有最大重力加速度時恰好平衡。
3.反應時間内可以改變其方向，并開始行動。
若起飛速度為
，又因牛頓運動定理，即
即
圖12：位移與速度關系
根據初速度入槽角度對運動特征的影響，當
,
時,計算選手完成一個周期運動的位移，随t變化的特征:
圖13：第一周期切向及副法向位移
随着初速度方向越來越趨近于平行滑道邊緣的方向，完成第一個運動的時間随之加長，初速度的方向對切向及副法線的方向位移及速度行程曲線均産生影響；随着初速度方向逐漸垂直滑道邊緣，切向位移及速度增大，而副法線位移及速度減小，總速度減小。
研究初速度的大小與方向對運動特征的影響：
取
,
,研究初速度對騰空高度，騰空時間的影響。
得到如圖14表示的關系：
圖14：初速度對騰空高度和騰空時間的關系圖像
- 整個過程的特征分析
當軌道傾斜角
時，選取初速度
為15ms
,α0=0.
,摩擦系數取0.05時計算基本模型完成6次騰空動作下運動軌迹及位移，速度随時間變化，如圖15所示，總結該模型條件下出槽速度，騰空時間，騰空距離，騰空高度，出入池速度大小及角度（詳見附件1）；為了進一步研究運動特征及進行對比研究，取
時，計算模型完成6次騰空動作下運動軌迹及位移，速度随時間變化，如圖16（詳細資料見附件2）。
圖15：整個過程對運動軌迹及切向，副法向位移的時程（
）
圖16：整個過程對運動軌迹及切向，副法向位移的時程（θ=0 ）
從上兩組圖可看出，當第一次入池時的初速度角度與U形池壁垂直且大小一定時，存在傾角為θ
的場地，使得運動軌迹，位移及速度均與沒有傾角時存在場地有較大差別。主要展現在：
• 無傾角U形場地下，隻存在切向運動，總體運動趨勢是衰減的，速度及位移均衰減較快。
• 有傾角的U形池場地，運動是兩個方向的，較之無傾角場地切向位移及速度衰減變慢，則有利于選手完成動作。
然而同時将出現沿着場地長度的副法線方向的速度及位移，在目前的分析條件下這個方向的速度及位移增長過快，會導緻選手脫離場地範圍，不利于選手完成比賽。
對此，我們将賽道傾角定為18°，用相同方法給出附件一的資料，對比附件二中資料，以同樣的初速度垂直進入U形軌道，有傾角的賽道每次出入池速度不斷增加，而無傾角的場地則不斷衰減，在評分中關注騰空高度，而騰空高度一定程度上取決于騰空時間，很明顯，有傾角賽道各方面都優于無傾角賽道。
然而，附件一二結果顯示，随着騰空次數增加，有傾角場地下的騰空距離将随入池角度的不斷增加而增加，說明速度的方向越來越轉向場地長度的方向，不利于完成動作，不再贅述。（附件三中給出詳細完整動作運動軌迹及切向，副法線位移的時程和完整動作對總速度，切向及副法向時程方向）。
5.1.4模型結論
•初速度角度越大，騰空前的起跳速度越大，單偏離池壁垂直方向也越遠，造成沿長度方向跑的過快的現象，不利于完成比賽；
•根據理論化的公式計算，結合選手滑行動作的分析，最終得出本文範圍内“半管”賽道參數的最優配置：l（滑道總長度）=118.6m，h（垂直部分長度）=1.2m，R（過渡段所近似的圓的半徑）=2.4m，d（平底寬度）=15m，H（滑道無傾斜狀态下的高度）=3.5m，µ（滑道内動摩擦系數）=0.05，θ（滑道傾斜角度）=18°，過渡區曲線的曲率為0.41667。
5.2問題二的模型建立與求解
5.2.1模型的準備
騰空段模型的描述：運動員在離開U形池時會有能量的損失，我們以損失率作為衡量。在騰空段中，會調整速度的方向和進行一系列的技術動作，進而會有一定的能量改變或能量損失。并且根據文獻，不同的運動員的損失程度會有所不同。同時，運動員的要完成轉體和空翻就需要有繞身體相應軸的角速度和高度。高度越高，所需的速度也越大，造成的質心的運動速度改變也越大，那麼消耗的能量也越大。
5.2.2模型的建立與求解
◆ 騰空段修正模型的假設
在前面的模型的基礎上進行進一步假設：
1）運動員滑出和進入U形滑道時，會經過一個垂直段。此時隻有重力作用，機械能守恒。故:
為滑道的豎向的垂直段，
為進入垂直段的初速度，
離開垂直段的速度。
2）假設運動員在空中轉體是為圓柱體，繞質心的轉動均為勻速轉轉動慣量公式為：
其中：p為回轉半徑。
3）起跳時，保持滑出滑道的總能量不變，運動員在獲得騰空的質心速度外，還要獲得完成轉體及空翻的角速度，滑出滑道的質心速度
可以根據能量守恒定律由下面關系計算：
其中
， 分别為運動員的轉體及空翻時的轉動慣量，
分别為運動員完成轉體及空翻所需的最小角速度，假設均勻勻速轉動，則可由下式求得：
其中 ，
分别為運動員的轉體及空翻的圈數，時間
由
（進入垂直段的切向初速度）近似求得。
4）落地時假設質心的動能保持不變，而空翻及轉體産生的轉動能量由進入U形池時阻力抵消，速度損失率為質心速度損失率。
◆ 騰空修正模型的分析
在隻考慮起跳及落地速度損失的影響的情況下，選取初速度為15m/s，起跳及落地的速度損失率分别取為17 %，13%，分别取起跳的角度為90,87,70 ， ， 及不控制入池角度四種情況，模拟運動軌迹及且向及副法向速度，計算結果如圖15：:
圖17：不同起跳角度下的軌迹曲線
從圖17中可以看出，當考慮出入U型池的速度損失後，總體變化規律同不考慮能量損失類似，但此時除起跳角度 70度不控制落地角度這種情況外，其他情況下即使起跳角度為 70度，運動員也可以順利完成成套動作，不會飛離軌道。
圖18：不同起跳角度的切向速度曲線
切向速度随時間變化圖（圖18）中顯示，在考慮出速度損失後，無論何種情況，整體速度變化趨勢保持平穩，對比相應不考慮速度損失情況，每次跳躍之間的差距變化縮小，這更符合實際情況，同時考慮速度損失後，每次起跳之間的差距變化變小，這更符合實際情況，同時考慮速度損失後，每次起跳及落地的切向基本能保持時在10~12m/s的範圍，符合實際的觀測結果。
圖19：不同起跳角度下的副法向速度曲線
從法向速度随時間變化圖19中可以看出，當考慮初速度出入U型池的速度損失後，副法向速度的變化也保持平穩，不會出現不符合實際的快速增長。
5.2.3模型結論
•要完成空中翻轉等高難度動作，運動員進入滑道時，速率應大于等于15m/s, 速度方向與滑道邊緣夾角大于等于70°，且在x軸方向上滑行至少10m。
•問題一中設計滑道形狀時，以15m/s為條件，進入角度任意，x軸方向上長度為118.6m> 10m, 故問題一中設計的滑道形狀滿足條件。
5.3 問題三的解答
作為給技術熟練的滑雪選手準備的滑道，建造半管滑道應滿足以下實際條件：
◆安全方面：
•坡面與滾落線（滾落線是指由山頂至山腳下最短的下落軌迹）一緻;雪道變向處的角度大于160°;坡度在16°~30°間。
•U型場地周圍5米之内不得有障礙物。
•U型場地雙側不能形成"陡壁"。
•U型場地終止區要廣闊、安全。
◆環境方面（針對室外滑雪場）：
•在坡度适宜，常年積雪的山坡上進行建造，保證滑雪滑道足夠的使用價值。
•最好建造于山坡背風向，減小風力對滑行效果的影響。
•滑雪道建造的規模與其所處的市場環境相符，最大化此規模下的滑雪場利益輸出。
•有物資運輸通道，便于進行必要的人工造雪或其他維護措施。
六.評價與改進
6.1模型的優點
•針對問題一模型
1對于滑行段，本計算方法合理，精度較高，且具有較高的收斂性；
2由簡單到複雜，抽象到實際，充分展現了模組化“以簡單手段解決複雜問題”的思想。
•針對問題二模型
1多處使用計算模拟運動軌迹，很好地再現了運動員的騰空過程，使問題變得直覺，也更有助于發現運動員完成翻轉等動作所需要滿足的條件。
2利用問題一的既得結論為自身鋪墊，開闊了思維角度。
6.2模型的缺點
•針對問題一模型
在實際情況中，風向對于運動員的滑行影響較為明顯，但模型一當中，忽略了空氣阻力對于運動狀況的影響，使得結果可能存在一些偏差。
•針對問題二模型
在模型一的結論尚未得到充分驗證的情況下，利用模型一的結論為自己鋪墊，容易造成兩處連續錯誤。
6.3模型的改進
◆空氣阻力對滑行過程的影響
在本文模組化過程中，出于簡化模型的需求，未考慮空氣阻力。但在實際情況中，高速的直滑降落速度可達62.5m/s，是以，空氣阻力的影響不可忽視。
空氣阻力
式中：
是空氣阻力系數，一般在0.3~0.95【6】之間；
是空氣密度；i代表人體或滑雪闆；
為飛離滑道時的速度；
是i連體基方向上相對空氣的運動速度；
是對應于 的投影面積。
由滑闆在飛行過程中動能定理得
由滑闆在過渡區滑行過程中動能定理得
聯合以上兩式，公式（？）代入，得出垂直間距高度
為求得最大垂直間距高度，建立泛函優化模型，目标函數為
由于過度部分連接配接平底部分和垂直部分，為了避免運動員在上滑時滑闆撞擊坡，過渡面需跟這兩部分光滑相切連接配接。得出限制條件：
将此模型所表示的空氣阻力與前文的雪地阻力相結合，最終得到準确的阻力模型。
七.參考文獻
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[6]《真空管道空氣制動系統的模型設計——空氣阻力系數的計算與恒定空氣阻力的模型設計》北京師範大學附屬中學，張銘浩
八.附錄
1.附件一
| a0=10° | 出槽速度 （ms） | 出槽角度（°） | 騰空時間（s） | 騰空距離（m） | 騰空高度(m) | 入槽速度(m) | 如槽角度(°) | |
| 1 2 3 4 5 6 | θ=18. θ=0. θ=18. θ=0. θ=18. θ=0. θ=18. θ=0. θ=18. θ=0. θ=18. θ=0. | 13.00 12.00 17.9 9.12 25.10 6.26 32.70 2.63 40．30 0.0 47.80 0.0 | 23.50 10.50 56．2 11.40 69.80 13.50 76.20 26.20 79.90 0.0 82.20 0.0 | 2.55 2.40 2.14 1.83 1.87 1.24 1.67 0.48 1.51 0.0 1.39 0.0 | 23.00 5.23 38.80 3.28 49.30 1.82 57.20 0.56 63.50 0.0 68.60 0.0 | 7.57 7.07 5.32 4.08 4.05 1.89 3.24 0.28 2.67 0.0 52.00 0.0 | 17.50 12.00 47.30 10.50 65.00 11.40 73.40 13.50 78.10 26.20 80.90 0.0 | 47.30 10.50 65.00 11.40 73.40 13.50 78.10 26.20 80.90 0.0 82.90 0.0 |
2.附件二
| α0=0。 | 出槽速度(ms) | 出槽角度(°) | 騰空時間(s) | 騰空距離(m) | 騰空高度(m) | 入槽速度(m) | 如槽角度(°) | |
| 1 2 3 | θ=18. θ=0. θ=18. θ=0. θ=18. θ=0. θ=18. θ=0. θ=18. θ=0. θ=18. θ=0. | 12.40 11.90 16.30 9.07 23.30 6.20 30.80 2.48 38.30 0.0 45.80 0.0 | 13.80 0.0 16.30 9.07 23.30 6.20 30.80 2.48 38.30 0.0 45.80 0.0 | 2.58 2.44 2.13 1.85 1.84 1.26 1.63 0.51 1.47 0.0 1.34 0.0 | 17.60 0.0 34.30 0.0 44.90 0.0 52.60 0.0 58.70 0.0 63.40 0.0 | 7.74 7.27 5.29 4.20 3.95 1.96 3.10 0.31 2.52 0.0 2.09 0.0 | 16.10 11.90 21.70 9.07 28.50 6.20 35.60 2.48 42.70 0.0 49.80 0.0 | 41.80 0.0 62.80 0.0 72.50 0.0 77.70 0.0 80.80 0.0 82.80 0.0 |
| 4 5 6 |
3.問題一模型結果實作所需代碼：
a=u*g*cos(angb);
vB1(j)=xp(p,2);
vcl(j)=spart(vb1(j)^2-2*a*1)
t0=(vB1(1)-Vc1(1))/a;
n2=2*t0/dt2
[T,Y2]=ode45(pzxl,[tp(p):dt2:tp(p)+2*t0],[xp(p,1) xp(p,2) xp(p,3)
xp(p,4)] );
for i=1:n2
if(Y2(i,1)<1/2)
>>f
if(Y2(i+1,1)>1/2)
k2(j)=i;
end
end
end
for i=1:k2(j)-1
xp(p+i,1)=Y2(i+1,1);
xp(p+i,2)=Y2(i+1,2);
xp(p+i,3)=Y3(i+1,3);
xp(p+i,4)=Y4(i+1,4);
tp(p+i)=T(i+1)
end