函數 — 高等數學

文章目錄

• • 考點一：求函數的定義域
  • • 求具體函數的定義域
    • • （1）原則
      • （2）做題方法
    • 求抽象函數的定義域
    • • （1）方法：由a≤φ(x)≤b 解出 x 的範圍
      • （2）方法：求出φ(x) 在[a,b]上的值域.特别地，若φ(x)單調，則所求定義域為[φ(a),φ(b)]或[φ(b),φ[a]]
      • （3）已知f[φ(x)]的定義域為[a,b]，求f[φ(x)]的定義域
    • 筆記
  • 考點二：求函數的值域
  • • 筆記
  • 考點三：相同函數的判斷
  • • 定理
    • 筆記
  • 考點四：求函數表達式
  • • 方法一：直接帶入
    • 方法二：做恒等變形
    • 方法三：換元法
    • 筆記
  • 考點五：函數的四種性質
  • • 單調性
    • • （1）定義
      • （2）判斷：利用倒數符号
    • 奇偶性
    • • （1）定義
      • （2）常見
      • （3）運算性質
    • 有界性
    • • （1）定義
      • （2）常見
    • 周期性
    • • （1）定義
      • （2）常見的周期函數
  • 考點六：求反函數
  • • 定義
    • 求反函數步驟
  • 考點七：基本初等函數
  • • 幂函數
    • 指數函數
    • 對數函數
    • • （1）概念
      • （2）運算公式
      • （3）指數與對數的恒等變形
    • 三角函數
    • 反三角函數

考點一：求函數的定義域

求具體函數的定義域

（1）原則

（2）做題方法

求抽象函數的定義域

（1）方法：由a≤φ(x)≤b 解出 x 的範圍

（2）方法：求出φ(x) 在[a,b]上的值域.特别地，若φ(x)單調，則所求定義域為[φ(a),φ(b)]或[φ(b),φ[a]]

（3）已知f[φ(x)]的定義域為[a,b]，求f[φ(x)]的定義域

筆記

1. 分數的分母 ≠ 0
2. 根号裡面的數 ≥ 0
3. ln、lg、log都是對數
4. ln以1為底、lg以10為底
5. 解不等式組（複合函數，取交集）
6. 1-x 分之 1+x >0 和 (1+x)(1-x)>0 是同解，得出(1+x)(x-1)<0，最後得出：-1<x<1

7. sinx ≠ 0 → x ≠ kπ，因為 sinx 是一個周期函數 ，函數圖像為：當x=0、x=π、x=2π、x=3π 時，sinx

   都等于0，是以sin ≠ kπ

8. 注意：定義域指的是自變量 x 的範圍。

考點二：求函數的值域

筆記

1. 值域指的是因變量 y 的範圍

考點三：相同函數的判斷

定理

筆記

1. 根号裡面開偶次方根，必須加絕對值，舉個例子：f(根号x的平方)=絕對值x
2. 絕對值函數 實際上就是 分段函數
3. 當 x≥n時，要去掉絕對值，需每個數字都要變符号
4. 當 x<n時，要去掉絕對值，則可直接去掉

考點四：求函數表達式

方法一：直接帶入

方法二：做恒等變形

方法三：換元法

筆記

1. 碰到f[f(x)]時，先将f(x)寫出來，再将f(x)的每一個值替換x即可
2. 奇變偶不變，符号看象限
3. 如果換元法做不出就要用恒扥變形，反之同理。

考點五：函數的四種性質

單調性

（1）定義

（2）判斷：利用倒數符号

奇偶性

（1）定義

（2）常見

（3）運算性質

有界性

（1）定義

（2）常見

周期性

（1）定義

（2）常見的周期函數

考點六：求反函數

定義

求反函數步驟

考點七：基本初等函數

幂函數

指數函數

對數函數

（1）概念

（2）運算公式

（3）指數與對數的恒等變形

三角函數

反三角函數