函数 — 高等数学

文章目录

• • 考点一：求函数的定义域
  • • 求具体函数的定义域
    • • （1）原则
      • （2）做题方法
    • 求抽象函数的定义域
    • • （1）方法：由a≤φ(x)≤b 解出 x 的范围
      • （2）方法：求出φ(x) 在[a,b]上的值域.特别地，若φ(x)单调，则所求定义域为[φ(a),φ(b)]或[φ(b),φ[a]]
      • （3）已知f[φ(x)]的定义域为[a,b]，求f[φ(x)]的定义域
    • 笔记
  • 考点二：求函数的值域
  • • 笔记
  • 考点三：相同函数的判断
  • • 定理
    • 笔记
  • 考点四：求函数表达式
  • • 方法一：直接带入
    • 方法二：做恒等变形
    • 方法三：换元法
    • 笔记
  • 考点五：函数的四种性质
  • • 单调性
    • • （1）定义
      • （2）判断：利用倒数符号
    • 奇偶性
    • • （1）定义
      • （2）常见
      • （3）运算性质
    • 有界性
    • • （1）定义
      • （2）常见
    • 周期性
    • • （1）定义
      • （2）常见的周期函数
  • 考点六：求反函数
  • • 定义
    • 求反函数步骤
  • 考点七：基本初等函数
  • • 幂函数
    • 指数函数
    • 对数函数
    • • （1）概念
      • （2）运算公式
      • （3）指数与对数的恒等变形
    • 三角函数
    • 反三角函数

考点一：求函数的定义域

求具体函数的定义域

（1）原则

（2）做题方法

求抽象函数的定义域

（1）方法：由a≤φ(x)≤b 解出 x 的范围

（2）方法：求出φ(x) 在[a,b]上的值域.特别地，若φ(x)单调，则所求定义域为[φ(a),φ(b)]或[φ(b),φ[a]]

（3）已知f[φ(x)]的定义域为[a,b]，求f[φ(x)]的定义域

笔记

1. 分数的分母 ≠ 0
2. 根号里面的数 ≥ 0
3. ln、lg、log都是对数
4. ln以1为底、lg以10为底
5. 解不等式组（复合函数，取交集）
6. 1-x 分之 1+x >0 和 (1+x)(1-x)>0 是同解，得出(1+x)(x-1)<0，最后得出：-1<x<1

7. sinx ≠ 0 → x ≠ kπ，因为 sinx 是一个周期函数 ，函数图像为：当x=0、x=π、x=2π、x=3π 时，sinx

   都等于0，所以sin ≠ kπ

8. 注意：定义域指的是自变量 x 的范围。

考点二：求函数的值域

笔记

1. 值域指的是因变量 y 的范围

考点三：相同函数的判断

定理

笔记

1. 根号里面开偶次方根，必须加绝对值，举个例子：f(根号x的平方)=绝对值x
2. 绝对值函数 实际上就是 分段函数
3. 当 x≥n时，要去掉绝对值，需每个数字都要变符号
4. 当 x<n时，要去掉绝对值，则可直接去掉

考点四：求函数表达式

方法一：直接带入

方法二：做恒等变形

方法三：换元法

笔记

1. 碰到f[f(x)]时，先将f(x)写出来，再将f(x)的每一个值替换x即可
2. 奇变偶不变，符号看象限
3. 如果换元法做不出就要用恒扥变形，反之同理。

考点五：函数的四种性质

单调性

（1）定义

（2）判断：利用倒数符号

奇偶性

（1）定义

（2）常见

（3）运算性质

有界性

（1）定义

（2）常见

周期性

（1）定义

（2）常见的周期函数

考点六：求反函数

定义

求反函数步骤

考点七：基本初等函数

幂函数

指数函数

对数函数

（1）概念

（2）运算公式

（3）指数与对数的恒等变形

三角函数

反三角函数