向量的内、外積及其幾何含義

一、向量的内積（點乘）

定義

概括地說，向量的内積（點乘/數量積）。對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之後求和的操作，如下所示，對于向量a和向量b：

a和b的點積公式為：

這裡要求一維向量a和向量b的行列數相同。注意：點乘的結果是一個标量(數量而不是向量)

定義：兩個向量a與b的内積為 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，則a與b****正交的充要條件是a·b = 0。

向量内積的性質：

1. a^2 ≥ 0；當a^2 = 0時，必有a = 0. （正定性）
2. a·b = b·a. （對稱性）
3. (λa + μb)·c = λa·c + μb·c，對任意實數λ, μ成立. （線性）
4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
5. |a·b| ≤ |a||b|，等号隻在a與b共線時成立.

向量内積的幾何意義

内積（點乘）的幾何意義包括：

1. 表征或計算兩個向量之間的夾角
2. b向量在a向量方向上的投影

有公式：

推導過程如下，首先看一下向量組成：

定義向量c：

根據三角形餘弦定理（這裡a、b、c均為向量，下同）有：

根據關系c=a-b有：

即：

a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

向量a，b的長度都是可以計算的已知量，進而有a和b間的夾角θ：

θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

進而可以進一步判斷兩個向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向關系，具體對應關系為：

a∙b>0→方向基本相同，夾角在0°到90°之間 

a∙b=0→ 正交，互相垂直 

a∙b<0→ 方向基本相反，夾角在90°到180°之間

二、向量的外積（叉乘）

定義

概括地說，兩個向量的外積，又叫叉乘、叉積向量積，其運算結果是一個向量而不是一個标量。并且兩個向量的外積與這兩個向量組成的坐标平面垂直。

定義：向量a與b的外積a×b是一個向量，其長度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a與b。并且，(a,b,a×b)構成右手系。 

特别地，0×a = a×0 = 0.此外，對任意向量a，a×a=0。

對于向量a和向量b：

a和b的外積公式為：

其中：

根據i、j、k間關系，有：

向量外積的性質

1. a × b = -b × a. （反稱性）
2. (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （線性）

向量外積的幾何意義

在三維幾何中，向量a和向量b的外積結果是一個向量，有個更通俗易懂的叫法是法向量，該向量垂直于a和b向量構成的平面。

在3D圖像學中，外積的概念非常有用，可以通過兩個向量的外積，生成第三個垂直于a，b的法向量，進而建構X、Y、Z坐标系。如下圖所示：

在二維空間中，外積還有另外一個幾何意義就是：|a×b|在數值上等于由向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。