我們熟悉的最簡單的自然數（來自網絡）
量子力學建立之初，薛定谔将虛數
引入方程，用來描述微觀粒子的奇特行為。但是，複數究竟是一種數學技巧，還是客觀實在，一直沒有答案。如果我們不用複數，而隻用實數來描述量子世界，是可行的嗎？複數在量子力學裡，是非用不可的嗎？
數學，幾乎伴随着我們每個人的認知。在我們很小的時候，家長很可能會用一個個蘋果、一根根手指，來教會我們計數；後來，數字的範圍不斷擴充，當初通過幾個蘋果、幾根手指建立起來的對數字的了解，已經不能涵蓋人們遇到的所有場景了。幾千年前，出于生産生活的需要，我們不僅需要表示“盈餘”，還要表示“虧空”，是以，人類跨域了正數和零的概念，負數産生了；同樣是在幾千年前，當我們需要描述把機關“1”分成若幹份的時候，分數就産生了。分數可以化作有限小數或無限循環小數。還有一些數“不講道理”，它化作的小數既不終止，也不重複，而是無限不循環的，我們管它叫無理數。我們比較熟悉的無理數有圓周率、還有邊長為1的正方形對角線長度
。可以看到，哪怕是最“不講道理”的無理數，在圓形、正方形這樣的日常生活場景中也能找到它們的身影。隻要你承認圓形、正方形存在，就得承認無理數的存在。
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數字的應用在生活中太重要了，世界上各個文明哪怕相隔萬裡，都不約而同地在數字上産生過燦爛的文化和悠久的曆史。
但無論如何，上面提到的這幾類數字不管多抽象，總還可以在現實中找到對應的意義。直到，你遇到了——複數。
複數由實部和虛部組成，其中虛部那個令人困惑的
，盡管你知道它代表了-1的平方根，但是它究竟有什麼意義、對應現實世界的什麼場景，可能大部分人都說不上來。
這個問題，連偉大的數學家也感到過困惑。
16世紀，意大利數學家吉羅拉莫·卡爾達諾曾經在他的一本名叫《大術》的著作中，為了讨論“把10分成兩部分，使它們的乘積為40”的問題，引入了将負數取平方根的方法，他把兩個數分别寫成（
）和（
），解決了這個問題。當時，他也隻是認為這是一種友善計算的數學技巧，還沒有意識到自己觸摸到了複數宮殿的大門。後來，笛卡爾将負數取平方根的表達命名為虛數。這個虛數，好像一個似有若無的幽靈，當時的數學家難以洞悉它的秘密，經過二百多年很多數學家們的前赴後繼，複數理論才建立起來。它的重要性令人驚歎，難怪法國數學家阿達馬說：“在實數域中，連接配接兩個真理的最短路徑是通過複數域。”
複數理論在數學界的地位日漸上升，在實體學和其他工程技術上也都是十分重要的工具。我們計算電流、處理信号，都離不開複數這個工具。但是，也僅僅是工具而已。什麼意思呢？就是，有了它我們可以更友善地處理問題，沒有它，也可以搞定，隻不過麻煩一些。畢竟，最終我們計算出來的電流總應該是個實數。
但是，有一天，這種确定性到量子力學這兒開始動搖了。像16世紀的數學家一樣，對于虛數的困惑也浮現在實體學家心裡。
1926年，實體學家薛定谔在建立波動方程的時候，最初參照波動光學的模型，寫下了機械粒子的微分方程，但這個方程沒有任何實體上的意義，然而當他将負1的平方根
放入到方程裡時，複數形式的波函數瞬間變得有意義了，能夠幫助我們準确描述粒子的量子行為。而波函數這種看不見摸不着的抽象概念，不管是薛定谔本人，還是其他實體學家，誰都說不清它的本質到底是什麼。
但對于我們而言，實體研究的是現實世界，而現實世界你能想象到的一切實體量應該是可測量的，而可測量的量裡面怎麼會有虛數呢？我們知道，波函數的模方描述的是粒子出現的機率，是以，雖然波函數寫成複數形式，但是機率本身還是實數。那麼，虛數
真的是描述真實世界所必需的嗎？薛定谔也不确定。在他給洛倫茲的信中，他似乎傾向于虛數
隻是一種數學上的處理方法，而現實中的可測實體量都應該是實數形式的。當時，他在信中就表示過，波函數引入複數，自己是不太踏實的，本質上量子波函數應該是一個實函數。薛定谔一直試圖把複數從他的波動方程中抹去，但是并沒有成功。
在量子力學中，複數是必要的嗎(圖檔來自Quanta Magazine)
那麼，複數的波函數和真實的量子世界是什麼關系？複數到底在裡面扮演何種角色呢？
要回答這個問題，我們可以回頭看看無理數的誕生。兩千多年前，無理數的誕生是為了描述邊長為1的正方形的對角線長度，隻要你承認正方形的存在，就得承認無理數是客觀存在的，否則，對角線長度用什麼來表示呢？可見，無理數并非是“沒道理的”。那麼虛（複）數呢，它真的是虛的嗎，還是具有客觀實在性？
現在的複數之于量子世界與當初的無理數是類似的道理。
一般而言，每一個波函數對應着一種實體狀态的分布。此外，我們認為獨立建構的體系具有獨立的實體狀态，那麼很自然地，由這些獨立系統構成的總的實體狀态可以直接用它們的張量積形式來表示，這有點類似于在數學裡我們把兩個或者以上的數進行相乘來得到一個總的結果。
當兩個波函數分别由完全相同、互相獨立的兩個系統制備時，研究證明它們對應的分布沒有重疊，也就是說一個實體狀态隻能夠被編碼到唯一的波函數當中，這也就意味着波函數是客觀真實存在的[1]。而如果我們可以證明，量子力學（波函數）必須使用複數，那麼複數就是客觀實在的。
是以，現在的問題歸結到了：量子力學真的必須使用複數嗎？換句話說，如果不用複數，除了過程麻煩點兒，計算結果會不同嗎？
在經典世界裡，我們知道複數一般可以寫成
，那麼理論上，我們總可以用a和b這兩個實數來替代，隻不過，一個複數變成兩個實數，處理起來麻煩一些。而對于量子世界，很多科學家也在不斷嘗試用各種不引入複數的方法來描述量子力學。
我們知道，量子力學具有獨特的數學結構，其中不同的實體系統狀态用不同的希爾伯特空間來描述，位置或者動量等可觀測量則用作用于系統的希爾伯特空間的線性算子表示。從量子力學的早期開始，科學家們就認為複數架構下的量子理論的許多特征被兩個替代的假設理論所表示，比如複數的希爾伯特空間可以被一個實數或四元數的希爾伯特空間所取代。這在1936年伯克霍夫和馮·諾依曼提出量子邏輯假設時就被明确指出，量子态的希爾伯特空間的閉子空間可以構造一種類似布爾邏輯的代數語義，基于此，實數和四元數的模型與标準的複數理論一樣可以滿足他們的假設。
另一方面，在1960年，瑞士實體學家厄恩斯特·斯蒂克爾堡為了将标準複量子理論實數化，引入了特殊的算子，并要求可觀測的量與引入的算子對易，這類似于數學中的交換律。由于對可觀測量的這種限制，他的特殊算子扮演着虛數
的角色，規則雖然麻煩點，但最終結果在實數架構下沒有任何影響。雖然當時他隻是證明了所有單粒子實驗的量子理論預測都可以在隻用實數的情況下推導出來，但他的這種規則可以進一步擴充應用到多粒子體系。
還有一些研究表示，在量子世界裡，在不使用複數的情況下，通過引入可以與系統中的任何東西進行互相作用的通用量子比特，把狀态和測量空間次元擴大一倍，就像經典實體裡，用a和b兩個數代替一個複數一樣，我們依然可以完美預測著名的量子實體實驗——貝爾實驗。（貝爾實驗是一個檢驗量子力學基礎理論的重要實驗，它探究的是關于糾纏的根本性質。它将糾纏粒子分别發送給Alice和Bob，就像分别、同時、背靠背地拷問一對雙胞胎一系列問題，根據它們的回答，來看看雙胞胎之間的心有靈犀，究竟是真的跨越時空的糾纏，還是有誰偷偷傳遞了消息。）
除了薛定谔、斯蒂克爾堡，還有馮諾依曼、戴森（Freeman Dyson）（對，就是寫《飛鳥和青蛙》的那個）、奇森（Nicolas Gisin）、伍特斯（William Wootters）也做了很多實數量子力學的嘗試。這些研究讓實體學家一度認為複數在量子力學裡隻是為了我們友善計算的手段，而不是必需的存在，似乎我們完全可以隻用實數去描述我們的世界。
猜測歸猜測，實體規律的證明始終是需要實驗資料來支撐。2021年1月，一個嶄新的方案由西班牙、奧地利和瑞士等國科學家組成的理論團體提出來。這個方案的獨特之處在于，它是實驗可檢驗的、定量的、類似于貝爾不等式的判據。
圖檔來自APS Physics
所謂糾纏交換，就是說，Alice、Bob、Clarie三個人不在一處，這時，兩個糾纏源R和S，S将一對糾纏粒子發送給Alice和Bob；R将另一對糾纏粒子發送給Bob和Clarie，根據Bob進行的貝爾測量結果，Alice和Clarie手中原本沒有關聯的粒子最終處于糾纏狀态。早期的貝爾測試中，所有參與方的粒子來自單一的源，他們額外攜帶的資訊在實數描述中不是問題。
但是在新設計的貝爾測試中，兩個糾纏源互相獨立，參與三方各自獨立地進行本地的測量。當Bob做完整的貝爾測量、Alice和Clarie執行各自的測量時，三方關聯的統計結果如何？科學家們的理論計算表明，如果我們采取沒有虛數的所謂“實量子理論”，并且我們認同獨立子系統是以張量積的形式構成整個系統，那麼得到的預測結果将與複數模型下的預測不一緻。這樣複數描述量子力學是否必要，就成為了一件可以驗證的事。
該理論成果最初1月送出到了科學預印本伺服器arXiv上，于2021年12月正式發表在了《自然》雜志上[2]。
圖檔來自nature
遊戲規則既然有了，接下來，隻需要設計一些好的實驗裝置來完成這種驗證。它必須滿足很多嚴苛的條件，比如：需要實作确定性的糾纏交換（需要确定性的CNOT門），如果是用光子做糾纏粒子的話，要能對光子的偏振進行有效的測量，Alice、Bob、Clarie三人要保證類空間隔以防止“互相串供”，等等。
2021年3月，中國科學技術大學潘建偉、陸朝陽、朱曉波等組成的研究團隊基于自主研發的超導量子體系，首次對量子力學中複數的必要性進行了實驗檢驗[3]。他們采用了I形的Transmon量子比特設計來增加量子比特之間的間距，以減少在同一個超導晶片上的比特之間的近鄰耦合。通過高精度的量子操控技術，兩個糾纏脈沖序列用于制備兩對糾纏态，将量子比特分發給參與的三方。每一方各自獨立選擇要在其量子位上執行的測量操作，其中Bob進行完整的貝爾态測量。最後，根據測量結果的聯合統計分布計算量子博弈遊戲的"分數"，僅用實數的參與者最多可以獲得7.66分，而實驗結果顯示，由4個超導量子比特組成的三方參與者可以獲得8.09(1) 分，以超過判據43個标準差的實驗精度證明了複數在标準量子力學形式中的必要性。這個實驗的優勢是确定性的糾纏交換和量子比特測量，關閉了探測效率潛在的漏洞。
實驗結果圖：不同的理論對應不同的數值界限，實驗測量結果大大超過了實數量子力學模型（圖檔來自陳明城、王粲、劉豐銘等PRL 128, 040403 (2022)）。
2021年10月，南方科學技術大學的範靖雲研究團隊以同樣的概念為基礎，在光學體系上進行了複數檢驗實驗[4]。實驗中，同一個實驗台上的兩個獨立源産生糾纏的偏振光子對，分發給遊戲的三方。Alice和Clarie利用本地的波片組合對各自接收到的光子進行相應的随機測量操作。這個實驗的原型來自1998年潘建偉和同僚在因斯布魯克利用線性光學完成的首個糾纏交換的實驗[5]。南科大研究團隊通過修改複數和實數的博弈遊戲協定，使Bob可以利用線性光學器件進行機率性的貝爾态測量來完成驗證。最終，參與三方根據聯合測量結果以超過判據4.5個标準差的實驗精度得出了相同的結論，也就是量子實體需要複數。
兩項獨立研究成果于2022年1月24日同時發表在國際知名學術期刊《實體學評論快報》上，确立了量子力學需要複數。但是，在這兩個實驗研究中，所有的量子态制備和遊戲三方的本地測量并沒有遵守理論設計要求的嚴格類空分離，使得在複數和實數博弈的遊戲中，理論上，實數參與者可以作弊，利用潛在的漏洞獲得和複數參與者相同的分數，進而導緻實驗不能區分實數和複數描述架構下的量子力學。
基于此，中國科學技術大學潘建偉、陸朝陽、張強等近一步開展了基于光子體系下嚴格滿足愛因斯坦定域性的實驗檢驗[6]。在這個實驗中，研究人員利用光量子網絡中的兩個獨立源各自獨立産生糾纏光子對，分發給遠處的三個參與者進行高速随機的光子測量操作。遊戲過程中，參與者不受其他參與者的測量選擇和結果影響，獨立地進行各自本地的操作。實驗結果顯示，實數描述下的參與者與光學量子網絡實驗中觀察到的資料不相容，近一步支援證明了複數是描述量子實體必不可少的存在。
非定域實驗裝置圖。實驗三方處于類空間隔，滿足嚴格的愛因斯坦非定域性條件。（來自吳典、江揚帆、顧雪梅等arxiv.2201.04177, PRL to appear）。
現在，我們的實驗已經驗證了，虛數
不隻是一個工具，而是一個必不可少的存在。在“獨立系統以張量積形式構成總的實體狀态”這種自然的假設下，證明了量子力學的波函數是客觀實在的，并且量子力學中複數是必需的，那麼這也就意味着複數具有客觀實在性，不再僅僅是個數學技巧而已。這就好比我們前面說的，隻要你承認正方形的存在，承認有正方形對角線長度這麼個東西，就得承認無理數的客觀實在性。當然，至于是不是接受張量積假設，正如是否接受世界上存在正方形一樣，你可以保有自己的看法。
回到基礎實體的角度，筆者想到楊振甯先生曾經在台中央大學的一次演講中，也曾提到過
在量子力學發展之後的重要作用。他認為，
應該不隻是一個工具，更是一個基本觀念。但為什麼基礎理論必須引入
，卻沒有人知道。
楊先生提出的第二個問題——為什麼會如此，還會吸引着實體學家們繼續追問下去。有可能，現在的我們就像當年寫出
的吉羅拉莫·卡爾達諾一樣，觸摸到一個新世界的大門，它正等着人類去推開。
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