前兩天
小編的朋友圈簡直被《開端》刷爆了
出于好奇
小編花了一天時間補完了這部劇
從此再也不敢直視紅色塑膠袋
《開端》主要講述了主角李詩情和肖鶴雲在一輛即将爆炸的公共汽車上不斷經曆循環，尋找真相，阻止爆炸的故事。
但是我發現，作者最後也沒有解釋為什麼會出現 “循環”。于是，我陷入了沉思。
終于，在思考過人生的哲學後，我，
岷 · G胖使徒 · 量子征服者 · 刷夜冠軍 · 客
發現這部劇的“循環“中竟然隐藏着這樣深刻的實體原理！
01
蝴蝶扇動翅膀引起了龍卷風
公共汽車上竟然有一個炸彈，炸彈預計1 : 45在大橋上被引爆。而你，是被選中的人，獲得了讀檔重來，保留記憶的力量。
請你運用能力，找出兇手，阻止爆炸，拯救乘客。
《開端》的主角就擁有這樣神奇的力量，于是他們想盡辦法希望阻止炸彈爆炸。但是相比于計劃中的響鈴爆炸，意外撞到油罐車，手動引爆炸彈卻是占了多數。
女主幹擾司機行車，可能導緻公共汽車撞向油罐車；直接報警，可能被警方認為是爆炸案兇手；武力制服陶映紅，争奪高壓鍋可能會使炸彈提前引爆······
總的來說，就是每一次循環都因為主角二人不同的行動而導緻了不同的結局。
這題我會呀！
這不就是非線性的混沌系統嘛！
“
線性總是無趣的，
非線性的世界才是多姿多彩的。
—— 岷客洛夫斯基
（我自己編的）
”
首先讓我們看一個簡單的數學遞推關系
其中 r > 0 是一個預先設定的參數。
例如，當r = 2, x=0.9時，這個數列為
當r = 2, x=0.3時，這個數列為
我們發現，這時無論初始的取什麼值，數列最後都會收斂到0.5.
然後讓我們把參數調大，使r = 2.5, 初始的 x 依然等于0.9. 此時計算數列得
可以看到，數列仍然會穩定到一個确定的數值，隻不過這時需要計算更多次數。
但是，如果繼續增大參數，當 r 增加到3以上，3.4以下後，最終的模式會是兩個數字的交替出現，當 r 繼續增加，序列會逐漸變成四個數字循環出現，然後是八個數字，十六個數字······
當參數繼續增大到3.57後，這時的周期太長了，以至于無論一個人數多長時間都無法找出規律，或者說，周期性已經消失，進入了混沌。
數列不動點（縱軸）與參數（橫軸）之間的關系
讓我們更進一步，看一個稍微複雜一點的例子。1963年，氣象學家愛德華 · 洛倫茲提出了一個簡化的大氣對流模型，
從此将人們對于混沌系統的研究推向了高潮。他在1963年解釋道，“如果這個理論正确，一個海鷗扇動翅膀，将可能永遠改變天氣”。
在之後他使用了更加有詩意的解釋，“一隻南美亞馬遜流域中的蝴蝶扇動了翅膀，将可能引起美國兩周以後德克薩斯州的龍卷風”。是以，混沌又被形象地成為“蝴蝶效應”。
洛倫茲方程的一個解，描述了系統狀态的演化 | 圖檔來源：Lorenz system - Wikipedia
可以看到，系統的狀态仿佛一直在繞着兩個圈轉來轉去。在上面的數列的例子中，當參數 r = 2 時，無論初始的值取多少，最後數列都會收斂到0.5。像這樣的，一個系統有朝某個穩态發展的趨勢，這個穩态就叫做吸引子。
吸引子是系統在演化過程中傾向的一組狀态，适用于各種起始條件。吸引子可以是一個點，一個點集，也可以是一條曲線，甚至可以是具有分形結構的複雜集合。
同時，洛倫茲方程對初值條件是非常敏感的，是以在實際情況下，即使沒有量子效應，我們對于未來的預測也可能會因為初值的微小差異而失敗。
關于y變量的洛倫茲方程，x, z的初值條件不變。僅改變y的初值條件分别為1.001, 1.0001和1.00001。随時間的演化，差異越來越大 | 圖檔來源：Chaos theory - Wikipedia
非線性和混沌理論現在已經被廣泛應用于各個領域，數學，實體，生物學，甚至在非自然科學領域的心理學，經濟學都能看到他的影子。
例如，在經濟學中，可以通過遞歸量化分析(Recurrence quantification analysis，RQA)的方法運用混沌理論。GIUSEPPE ORLANDO和GIOVANNA ZIMATORE利用從OECD資料庫中檢索到的美國GDP資料，對其做遞歸量化分析。他們檢驗了 RQA 在簡單信号上的相關性，然後研究了在商業時間序列中的應用。
02
周遊所有可能
衆所周知
遇事不決
量子力學
當我看到主角團可以一遍遍循環嘗試各種辦法阻止炸彈爆炸之後，我就知道，他們可能已經掌握了量子力學的奧秘了。
不要急，讓我賣個關子。
量子力學告訴我們，物質同時具有波的屬性和粒子的屬性，這就是“波粒二象性”。是以正如水波在經過障礙物時會激起花紋，光子、電子在經過狹縫時都會發生衍射。
電子雙縫幹涉結果圖，最終會出現明顯的衍射花樣
為了解釋這種現象，我們需要摒棄傳統“路徑”的思想，取而代之的是“機率”的思想。
在量子力學中，機率幅是描述系統行為的複數，這個複數的模方表示機率密度。在複平面上一個複數等價于一個矢量。
考慮一個電子衍射實驗，從S點發射電子，在O點接收電子，中間經過一塊屏障，屏上有兩個狹縫A, A。O點的電子的機率幅就是從A, A兩條路徑機率幅的疊加。
這時，有一個好奇的同學問，如果這是一塊有三個狹縫（A, A , A）的屏障的話，O點的電子機率幅會是什麼樣的呢？很顯然是A, A , A三條路徑的疊加。
如果他接着問，如果再放一塊帶有狹縫的屏障的話，O點的電子幾率幅會是什麼樣的呢？
這看起來是一個非常蠢的提問，不就是将所有的路徑疊加嗎？但是實際上卻可以從這個概念出發，不斷增加螢幕，不斷增加狹縫，直至無窮多，這樣就能夠得到費曼路徑積分了。
我知道大家不喜歡看公式（我也不喜歡），是以下面我們用一張圖檔來說明自由粒子的費曼路徑積分的計算問題。
粒子從A點(start)傳播到B點(end)有許多可能的路徑，每一條可能的路徑都會為B點的機率幅做出貢獻，其貢獻的權重表現為
其中，S為作用量， 為約化普朗克常數。
一組路徑對自由粒子路徑積分的貢獻 |Path integral formulation - Wikipedia
我們需要将每一條路徑得到的機率幅相加，反映在複平面上，就是将每一個小矢量箭頭首尾相接，最後的總矢量就是從最開始的點到最後的點的連線。而機率幅的模方，就是B點粒子出現的機率。
請注意，上圖的矢量AB表示的是粒子從A傳播到B的機率幅，它的模方表示機率。下圖用黑線框出來的區域表示路徑積分後沒有被抵消的一小塊區域，當取 趨于零的經典近似後，就會過渡到沿直線傳播的經典情況
在求和的過程中，那些很離譜的路徑在求和過程中互相抵消，機率極小；隻有在一小塊區域内的路徑不會抵消，當約化普朗克常數趨于零的時候，量子就會過渡到經典情況，這時就是我們熟知的“光沿直線傳播”了。
03
回到開端
繞了這麼一大圈，讓我們來揭曉循環的秘密吧！
《開端》中男女主角一定熟知非線性實體，因為他們清楚的知道自己的動作會引發一連串反應，導緻完全不同的結果；同時他們也有着紮實的量子力學基礎，懂得路徑積分就是将所有可能路徑求和。是以他們一遍遍循環嘗試，整理思路，最終阻止爆炸拯救所有人，就像是粒子最終找到了通往終點的 “道路” 一樣。
是以說，這波是量子力學大勝利！
最後，為了緩解大家看完文章的疲憊，小編特意選了一段舒緩的音樂放在文末，大家不妨閉上眼傾聽一會，放松心情
參考文獻
[1]Lorenz system - Wikipedia
[2]Chaos theory - Wikipedia
[3] Orlando G , Zimatore G . RQA correlations on real business cycles time series[J]. Social ence Electronic Publishing, 2017.
[4]郝柏林. 從抛物線談起(混沌動力學引論)(第2版)[M]. 北京大學出版社.
[5]Path integral formulation - Wikipedia
[6] Zee, Anthony. Quantum field theory in a nutshell. Vol. 7. Princeton university press, 2010.
編輯：岷客