龐加萊1905年的兩篇同題文章《論電子的動力學》，雖被主流學術界遺忘一百多年，但終究會被載入史冊進而成為整個實體學經典中之經典。他所發現的洛倫茲群，已與量子觀念一起構成了現代實體學公認的兩大基石之一。他所建立的四維時空的赝歐幾裡得幾何，讓時間t與空間x，y，z 一樣變為相對量，進而産生出同時性的相對性、時間膨脹、長度收縮等人們至今仍津津樂道的話題。他所建立的四維相對論運動方程，終結了牛頓運動方程對實體學長達兩百餘年的統治，使之變為狹義相對論的低速近似規律。他所證明的電動力學的完整協變性，讓運動物體的電動力學從實體學前沿研究變成相關應用學科的必備基礎，也變成大學課堂上聚訟紛纭的永恒主題。
撰文 | 金曉峰(複旦大學實體學系)
來源 | 本文選自《實體》2022年第4期
我們在上期《龐加萊的狹義相對論之一：洛倫茲群的發現》(《文一》)中，介紹了龐加萊《七月文章》的重要發現之一：洛倫茲變換 (boost) 與空間轉動一同構成了一個群。這個洛倫茲群的存在，直接導緻了四維時空的赝歐幾裡得幾何 (pseudo-Euclideang eometry)，進而奠定了狹義相對論的運動學基礎。在四維時空中看，兩個慣性系之間的相
質讓時間t與空間x，y，z一樣變為相對量，并産生如“同時性的相對性”、“時間膨脹”、“長度收縮”等陌生而有趣的概念。百年之後回頭看，對洛倫茲群發現的重要性怎麼強調都不為過，因為它已與量子觀念一起構成了現代實體學公認的兩大基石之一。龐加萊的這一發現，或許可以看作是對畢達哥拉斯“萬物皆數”的絕佳闡釋，恰如著名數學家蓋爾方特所說：“數學是文化的一部分，……優美、簡單、精确和不可思議的思想這四個東西的組合，正是數學的核心。”
對于實體學定律的對稱性，費曼曾說：“我如此詳細地談論這個具體例子，是因為它開啟了實體學定律的對稱性研究。正是龐加萊，他提出了可以對方程做什麼而使之不變的分析；也正是龐加萊，他主張對實體定律的對稱性給予重視。空間平移，時間延遲等對稱性并不很深刻，但是，由均勻一緻速度帶來的對稱性卻非常有趣，而且産生了一系列後果。不止于此，這些後果還可以被拓展到我們未知的定律之中。” (I bring this particular example up in such detail because it is really the beginning of the study of symmetries in physical laws.It was Poincaré’s suggestion to make this analysis of what you can do to the equations and leave them alone. It was Poincaré’s attitude to pay attention to the symmetries of physical laws.The symmetries of translation in space, delay in time, and so on, were not very deep; but the symmetry o funiform velocity in a straight line is very interesting, and has all kinds of consequences. Furthermore, these consequences are extendable into laws that we do not know.) 那麼，究竟什麼是實體學定律的對稱性呢？對稱性對任何人都不陌生，日常生活中随處可見，比如，圓形的餐桌，正方形的地磚，左右對稱的人臉等等，數不勝數。我們發現：任意一個對稱的幾何圖形，總存在一些讓圖形保持不變 (leave them alone) 的操作 (what you can do)。比如，将圓形的餐桌轉過任一角度，圖形不會變；将正方形的地磚轉過90°、180°、270°、360°，圖形也不變；将左 (或右) 半臉作鏡面反射，圖形也不變等等。用數學的語言講，對任一給定的幾何圖形，保持圖形不變的操作被稱為對稱操作，所有這些對稱操作的集合可以構成一個群。換句話說，我們稱這個幾何圖形具有該群的對稱性。所謂實體學定律的對稱性，即相應實體公式的對稱性，顧名思義，也就是保持方程形式不變的對稱操作，這些操作也構成一個群；類似的，我們也稱這個實體學定律具有該群的對稱性。下面我們将會看到，龐加萊在《七月文章》中如何具體證明麥克斯韋—洛倫茲方程組等一系列實體定律具有洛倫茲群的對稱性，這正是費曼所說的“It was Poincaré’s suggestion to make this analysis of what you can do to the equations and leave them alone. It was Poincaré’s attitude to pay attention to the symmetries of physical laws.”其中，他最先發現了電磁作用量的洛倫茲不變性 (the invariant action)。十多年後的1918年，Emmy Noether正是從研究對稱操作下的作用量不變性出發，揭示出對稱性與守恒量之間的密切關系 (Noether定理)，充分彰顯了實體學定律的對稱性研究之重要性。同時，正是基于對方程的對稱性要求，龐加萊發現了電子的四維相對論運動方程這一原本并不存在的全新方程，這也正如費曼所說的“But the symmetry of uniform velocity in a straight line is very interesting, and has all kinds of consequences. Furthermore, these consequences are extendable into laws that we do not know. ”
本文接下來将詳細介紹龐加萊《七月文章》的下述兩項重要成果：(1)嚴格證明電動力學的完整協變性。龐加萊不僅證明了麥克斯韋方程組的協變性，而且還證明了帶電粒子運動方程的協變性，進而徹底解決了長期争論不休的動體電動力學這個難題。(2)發現電子的四維相對論運動方程。龐加萊首先證明了作用量的洛倫茲不變性，并以此為基礎獲得了電子的四維相對論性運動方程，一舉奠定狹義相對論的動力學基礎，從此終結了牛頓運動方程對實體學長達兩百餘年的統治，使之成為狹義相對論的低速近似規律。
1矢量的洛倫茲變換
意識到四維時空具有洛倫茲群的對稱性極其重要，它直接導緻了一系列影響深遠的重要後果，或許這就是數學“不可思議的思想”。龐加萊正是從這裡出發，嚴格證明了電動力學定律具有洛倫茲群的對稱性；必須強調指出，電動力學完整的協變性，不僅包含麥克斯韋方程組的協變性，而且還包含帶電粒子運動方程的協變性。下面我們将看到，洛倫茲和愛因斯坦都證明了無源麥克斯韋方程組的協變性。對于有源麥克斯韋方程組，洛倫茲做錯了，而愛因斯坦隻證明了它們與相對性原理是相容的 (愛因斯坦原話的英文翻譯是agree with) ，隻有龐加萊嚴格證明了它們的協變性，即由洛倫茲變換從S系中的方程組嚴格導出S′系中形式完全相同的方程組。對于帶電粒子的相對論運動方程，愛因斯坦沒能得到，而龐加萊得到并證明了它的協變性。
圖1 二維空間的轉動示意圖
難道龐加萊有什麼“獨門神器”嗎？别說，他還确實有，那就是四維時空的赝歐幾裡得幾何！為了清楚地說明這點，讓我們以二維空間的轉動為例[1]。如圖1所示，将(x，y)坐标軸逆時針旋轉φ角度可得(x′，y′)坐标軸，矢量r在這個轉動過程中保持不變，它在S′系和S系的關系式如下：
顯然，若沒有四維時空的圖像，這個結果是不可想象的。接下來我們将會看到，這一矢量變換式在相對論動力學中起了至關重要的作用，這也可以算是龐加萊的“獨門神器”吧。
龐加萊當然非常清楚這一點。在《文一》中筆者曾經指出，他顯然比任何人都清楚《七月文章》的第4節應該放在第1節才是順理成章的文章寫法，但為了避免“喧賓奪主”，他沒有這麼做。或許不少讀者對此不以為然，認為這隻是筆者的過度解讀而已。事實上，龐加萊在《六月文章》(即《七月文章》的詳細摘要) 的引言 (背景介紹) 之後，緊接的是下面這段話 (完全是第4節的結論)：
“在這個(洛倫茲)變換中，x軸扮演了特殊的角色，但我們顯然可以構造這樣的變換，在這裡某一條通過原點的直線将扮演這個角色。所有這樣的變換加上所有的空間轉動的整個集合構成了一個群；但這必須要求l=1，這正是洛倫茲用另一種方式得到的結果。”
首先，龐加萊更正了洛倫茲1904年文章中的兩個錯誤。當然，一如既往，他不說洛倫茲做錯了，而是說“(我)這裡的公式與洛倫茲之前得到的不太一樣(different somewhat)”，典型的龐加萊風格！因為要證明有源麥克斯韋—洛倫茲方程組的協變性，是以必須要知道電荷密度ρ與電流密度ρu在洛倫茲變換下如何變換，這是問題的核心也是難點。下面是龐加萊的正确結果：
其次，龐加萊給出了洛倫茲變換下力的正确變換公式。必須指出，無論是證明 (龐加萊版本) 或者說明 (愛因斯坦版本) 有源麥克斯韋方程組的協變性，相對于證明無源麥克斯韋方程組的協變性，都是一個重要進展，但這還不是電動力學或電磁規律的完整協變性。隻有在進一步證明帶電粒子在電磁場中的運動方程也是協變的，電動力學的協變性才算完整；這當然要以能得到電子相對論運動方程，即超越牛頓第二定律的運動方程為前提。在當今的教科書和文獻上，相對論運動方程幾乎都被冠以愛因斯坦的名字，但不得不說，這個方程與愛因斯坦真沒關系，因為至少到1907年他還不知道如何對力進行變換 (具體内容見後)。下面是龐加萊對三維力的變換結果。
2麥克斯韋方程組的完整協變性
龐加萊《七月文章》第1節是“洛倫茲變換”，他一口氣羅列出下面11個他稱作基本方程的公式：
然後根據下列洛倫茲變換式：
逐一證明了這11個方程的協變性，即在S系中成立的公式，經洛倫茲變換後，在相對于S系沿x方向以v運動的S′系中形式完全不變 (隻是相關實體量從不帶撇的變成帶撇的而已)。
我們不打算重制他的全部證明，僅僅給出下面幾個愛因斯坦1905年文章中沒做 (如I) 或做不了 (如II和III) 的證明。
由此便能證明：
以及
其中(E′,H′)與(E,H)的關系如下：
龐加萊在第1節最後有下面的一段讨論，有趣而且重要，是以我們直接将原文翻譯如下：
“假如電子的慣性(筆者注：即品質)是純電磁起源的，而且假定它們隻受電磁力的作用，那麼在電子内部的平衡條件：f=0，根據力的變換式(4)，這等價于f′=0。是以，平衡條件不受(洛倫茲)變換的影響。不幸的是，這樣一個簡單的假定是不允許的，因為如果我們假設u=0，便意味着E=0。這樣 E=0，也就是ρ=0 (筆者注：推出了電子不帶電的荒唐結果)。
類似的結果對一般情況(general case)也成立。是以，我們必須認為不僅僅隻存在電磁力，而且應該有其他的力或限制。我們因而必須确定支配這些力或限制的條件，使得電子的平衡不受(洛倫茲)變換的影響，這将會在之後的一個章節中來做(筆者注：第6節)。”
這段話包含了兩個非常重要的資訊。一方面，由力的變換式(4)可知，f=0這個等式相對于洛倫茲變換是協變的，這就明确表示，牛頓第一定律或說慣性定律對于經典力學和相對論力學同樣适用。這就是為什麼在狹義相對論中，這個從經典力學發展而來的慣性系概念也是整個新理論的基礎。由于慣性定律常常冠以伽利略的名字，是以當狹義相對論的四維時空觀，颠覆了伽利略時空觀 (絕對時間)，而将其視為一種極限情形(光速∞)時，不免容易造成誤解，以為慣性定律 (牛頓第一定律) 也不成立了。另一方面，龐加萊的結果表明，由于同性電荷的排斥作用，一個穩定的電子，除了電磁力外，必定存在非電磁的其他力來平衡同性電荷排斥力。值得提醒一下，龐加萊的“電子” (electron) 一詞，在其所有著作中都不僅僅用來指代我們今天所講的電子，它同樣适用于我們今天所講的原子核以及正負離子，實際上與我們今天所說的無論帶正電還是帶負電的“帶電粒子”更加吻合。他的《六月文章》和《七月文章》都以“On the dynamics of the electron”為标題，把它翻譯成“論帶電粒子的動力學”實際上更合适。
順便說一下，洛倫茲的電動力學理論被稱為洛倫茲電子論，這裡的電子也作同樣了解，它既指帶負電也指帶正電的帶電粒子。特别是，麥克斯韋—洛倫茲方程組又被稱為微觀的麥克斯韋方程，就是因為在這組方程組的模型裡，隻有處于确定空間位置的帶正負電荷的粒子及其它們的運動 (構成電流)，剩下的就是真空 (以太)。正像朗道的《連續媒體電動力學》第一頁上所說：“連續媒體電動力學的基本方程組是通過對真空中的電磁場方程組進行平均而得到的。這一從微觀得到宏觀方程組的方法是由洛倫茲于1902年最先使用的。”簡言之，宏觀麥克斯韋方程組可由微觀麥克斯韋—洛倫茲方程組平均而來。正因為後者比前者更加基本而且普遍，是以狹義相對論的奠基者洛倫茲、龐加萊、愛因斯坦事實上都是針對麥克斯韋—洛倫茲方程組來展開讨論的。這也是為什麼朗道理論實體系列教程，在第二冊《經典場論》中先讨論麥克斯韋—洛倫茲方程組，然後在第五冊《連續媒體電動力學》中讨論宏觀麥克斯韋方程組的道理。
3最小作用量原理
龐加萊《七月文章》的第2節和第3節分别是“最小作用量原理”和“洛倫茲變換與最小作用量原理”。他比任何人都敏銳地意識到，最小作用量原理與洛倫茲群是否相容是一個非常重要的問題，這正是他在第3節中關注的核心問題。他首先在第2節中将整個麥克斯韋電動力學建立在最小作用量原理之上，然後在第3節中嚴格證明了作用量是洛倫茲變換下的不變量，這為接下來讨論電子的相對論動力學奠定了基礎。
從最小作用量原理出發，龐加萊得到了電磁場的作用量表達式
4經典電子模型的龐加萊張力
原則上，龐加萊在第4節“洛倫茲群”中已嚴格證明l=1是唯一正确的結果，即隻有洛倫茲模型是正确的。同時，龐加萊比任何人都清楚，不同參照系之間的長度和時間相對性，完全是基于光速不變及各向同性公設 (postulate) 的測量問題 (我們将會在下一篇文章《文三》中詳細讨論) ，換句話說，是一個純粹的運動學問題。那麼，對一個已經有明确答案的運動學問題，龐加萊為什麼還要從動力學的角度，花那麼大的功夫去讨論呢？這不顯得有點畫蛇添足嗎？
事實上，龐加萊在這裡探讨了一個非常深刻的問題，充分展現了他作為大數學家、大數學實體學家的“不可思議的思想”。他關心的問題是：如果洛倫茲模型是正确的，那它與實體學最重要的基本原理之一——最小作用量原理——相容嗎？為此，他考察一個最簡單的情況：對于一個在S系中作勻速直線運動的電子，它的能量、拉格朗日量和動量應該如何表達？由于這三者不是互相獨立的，是以考察它們之間的關系，可以用來判斷上述三個模型與這一作用量原理的相容性。如果我們就此打住，讓讀者自己猜一下龐加萊得到的答案，估計會讓絕大多數人大跌眼鏡。完全出乎預料，朗之萬模型竟然是唯一能與這個從作用量角度出發的基本原理相容的模型！換句話說，龐加萊從動力學角度得到的結果與從運動學角度得到的結果完全沖突！這就回到了龐加萊在第1節末尾說的那段話：
“是以，我們必須認為不僅僅隻存在電磁力，而且應該有其他的力或限制。我們因而必須确定支配這些力或限制的條件，使得電子的平衡不受(洛倫茲)變換的影響”。
這就是所謂龐加萊張力的來源。沒有它，不僅電子不可能穩定存在，而且電子模型跟狹義相對論也不可能相容。為了解決這一沖突，龐加萊這麼說：
“是以我們這樣表述下列問題：除了電磁力外，我們必須引進什麼樣的附加力，可以得到洛倫茲的模型，或更一般地說，得到不同于朗之萬模型的結果。”
在引進了附加勢之後，洛倫茲模型得到了挽救，而朗之萬模型就變得不合理了 (引起了發散)。最重要的一個結論是：這個附加力 (也就是龐加萊張力) 正比于電子的體積，它相當于一個負壓，補償了同号電荷間互相排斥引起的電子不穩定性，至少定性解釋了為什麼自然界确實存在穩定的電子，同時還與洛倫茲群的對稱性完全相容。
雖然龐加萊在此更多是着眼于理論的自洽，而不是有關電子品質的電磁或非電磁起源，但由他引進的龐加萊張力卻在之後幾十年的粒子實體研究中成為一個重要問題，在實體學史的重要性不言而喻，詳細讨論可見《費曼實體學講義》第二冊第28章[3]。雖然經典電子模型今天已經過時，而且電子的品質起源，至少就其主要部分而言也不是電磁的，而是源于電弱統一理論中的規範對稱性自發破缺，有興趣的讀者可參閱盧昌海博士的文章《品質的起源》[4]。但有趣的是，龐加萊張力與此并不沖突，因為将電子看成點電荷後，龐加萊張力也自然趨近于零。事實上，這與麥克斯韋—洛倫茲方程組的基本特征完全吻合，正像David Griffiths在其《電動力學導論》教科書中所說：“以電荷密度和電流密度的形式表達的麥克斯韋電動力學，一個點電荷必須被看作是尺度趨近于零的一個廣延電荷。”[5]
5帶電粒子的相對論運動方程
龐加萊《七月文章》第7節“緩慢加速的運動” (quasi-stationary motion) 是繼第4節“洛倫茲群”之後的又一華彩樂章，在這裡龐加萊發現了電子的相對論性運動方程，從此結束了牛頓運動方程長達兩百餘年的統治。他這樣開頭：
“尚待考察的是，這樣一個電子收縮的假定(筆者注：即洛倫茲收縮)是否可以解釋絕對運動的不可能性(筆者注：即相對性原理)，我将從研究一個孤立電子，或說處于遠處其他電子作用下電子的緩慢加速運動開始。(It remain to be seen if this hypothesis on the contraction of electrons accounts for the impossibility of manifesting absolute motion, and we shall begin with studying the quasi-stationary motion of an isolated electron, or one subjected only to the action of other distant electrons)。”
這段話很重要，而且在我們之後的《文三》和《文四》中還會涉及，是以将原文附上，以免誤解。這裡隻想簡單提一句，hypothesis在龐加萊的語義中有三種不同的意思 (見龐加萊的《科學與假設》)，此處所用隻是指尚待經驗确認的事實，而絕非以它作為前提來推導什麼結果。
接着龐加萊明确解釋了由Abraham (1902年) 引入的“緩慢加速的運動”這一概念的含義。要點有二：(1)電磁輻射可以忽略，(2)隻計及拉格朗日量對電子運動速度的偏導數而忽略對加速度的偏導數。這樣的電子滿足運動方程：
接着龐加萊又證明了上述相對論運動方程(16)式在洛倫茲群下是協變的。至此，龐加萊真正嚴格證明了電動力學的完整協變性：不僅麥克斯韋方程組，而且帶電粒子的運動方程都具有洛倫茲群的對稱性。他确實幹淨徹底地解決了電子的動力學問題，這與他《六月文章》和《七月文章》的題目《論電子的動力學》完全契合。同時，他所建立的四維時空，四維時空不變量，四維矢量等概念，之後又成為闵可夫斯基工作的基礎。是以，可以毫不誇張地說：在1905年，龐加萊憑一己之力，是世界上唯一既建立了狹義相對論運動學，又建立了狹義相對論動力學的人。同一年中的愛因斯坦，确實獨立建立了狹義相對論的運動學，可他的電子運動方程做錯了，而且電子的橫向品質m⊥也做錯了(見愛因斯坦1905年原文[8])。1906年普朗克成為曆史上得到電子相對論運動方程的第二人，而正确的相對論運動方程第一次出現在愛因斯坦的文章中已是1907年的事了[9]，他如此寫到：“按普朗克的方式來定義力。質點運動方程的重新表述，如此清楚地證明了它們與經典力學運動方程的相似性，也取自普朗克的工作。” (“Force is defined as in Planck’s study.The reformulations of the equations of motions of material points, which so clearly demonstrated the analogy between these equations of motion and those of classical mechanics,are also taken from that study.) 顯而易見，愛因斯坦自己也認為将牛頓第二定律推廣到相對論運動方程這一步不是他的貢獻。
在正式引用龐加萊的下列總結性陳述之前，筆者注意到：無論是楊振甯先生[10]，還是A. Pais[11]在講到龐加萊沒有達到相對論時都引用龐加萊1904年在St Louis大會上的發言。不錯，龐加萊在1905年6月之前确實還沒有達到相對論，但在1905年6月之前愛因斯坦不也沒有達到嗎？顯然，将1904年的龐加萊與1905年6月之後的愛因斯坦做比較既有失公平也沒有意義。事實上，不可能有任何人在讀了龐加萊的下列陳述後仍會認為他在《七月文章》中沒有達到相對論：
“是以，洛倫茲的假定(筆者注：l=1)才是唯一能與絕對運動之不可能性(筆者注：即相對性原理)相容的假定；如果一個人承認這種不可能性，那他必須承認運動着的電子會沿運動方向收縮成一個旋轉橢球，其他兩軸的長度不變；他還必須承認，正像我們在上一節中展示的那樣，存在一個正比于電子體積的附加勢。洛倫茲的分析被完全證明了，但我們可以更好地解釋其背後的真正原因：這個原因必須從第4節内容中去尋找。那些不改變運動方程的變換構成一個群，而且隻有在l=1時才成立。就像我們不可能意識到一個電子是處于絕對靜止狀态還是絕對的運動狀态，我們必須要求當一個電子處于運動時，它将會發生形變，準确地按照這個群的相應變換強加給它的那樣去進行變化。”
從這段原話我們不難看出，(1)龐加萊顯然很明白，他的第4節是整個狹義相對論最核心的内容，特别是，洛倫茲群和四維時空的概念是了解洛倫茲收縮的基礎，進而使絕對運動之不可能性成為一個不可動搖的事實。(2)在一個不存在絕對運動的世界中，一切相對勻速直線運動的慣性系，都以洛倫茲群互相關聯着，這使得在任一慣性系中為真的實體定律 (公式)，在其他慣性系中也一定為真，即定律 (公式) 的形式在其他慣性系中保持不變。這就是所謂實體定律必須具有洛倫茲群對稱性的真正含義。
至此，我們對龐加萊1905年狹義相對論（《六月文章》和《七月文章》) 的介紹就全部結束了。下面用幾句話再次總結一下他對狹義相對論的原創性貢獻：(i)他首先發現了洛倫茲群；(ii)首先建立了四維時空的赝歐幾裡得幾何；(iii)首先證明電磁作用量的洛倫茲不變性；(iv)首先建立了電子的相對論運動方程；(v)首先證明了電動力學的完整協變性。
最後，我們對後兩篇文章的主題做一交代。在下一篇文章（《文三》）中，将詳細介紹龐加萊在通往狹義相對論之路上的重要思想和觀念 (1905年前)，特别是，他如何看待以太，如何看待運動，如何看待時間和空間，如何看待相對性原理和光速不變原理，如何看待科學中的假設、定律和原理，以及如何評價一個科學理論等；在最後一篇文章（《文四》）中，将詳細介紹龐加萊與洛倫茲、愛因斯坦、闵可夫斯基等同時代人在相對論問題上的交流及其互相影響。
參考文獻
[1] Arfken G B，Weber H J. Mathematical Methods for Physicists，4th edition. Academic Press，1995
[2] Panofsky W K H，Phillips M. Classical Electricity and Magnetism，2nd edition.Dover Publications Inc.，1962，p.298
[3] Feynman R E，Leighton R B，Sands M. The Feynman Lectures on Physics，Vol.2. Addison-Wesley Publishing Company,1964
[4] 盧昌海. 因為星星在那裡：科學殿堂的磚和瓦. 北京：清華大學出版社，2015
[5] Griffiths D. Introduction to Electrodynamics，4th edition. Cambridge University Press，2017
[6] Purcell E M，Morin D J. Electricity and Magnetism，3nd edition. Cambridge University Press，2013
[7] Miller A I. Archive for History of Exac tSciences，1973，10(3-5)：207
[8] The Collected Papers of Albert Einstein,Vol. 2. Princeton University Press，1989，p. 169
[9] The Collected Papers of Albert Einstein,Vol. 2. Princeton University Press，1989，p.254
[10] 楊振甯. 愛因斯坦：機遇與眼光. 見：楊振甯文集. 上海：華東師範大學出版社，1998
[11] Pais A. Subtle is the Lord. Oxford University Press，1982
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