目錄
導論
導數的悖論
用幾何來求導
鍊式法則和乘積法則的形象解釋
指數函數求導
隐函數求導
極限
積分與微積分基本定理高階導數
泰勒級數
擴充
這個筆記讓你看完了覺得自己也可以發明微積分，這話對不對我不知道，但是我覺得這個思想很棒，就好似我們面試中常常問到的HashMap的源碼，實際我們了解了精髓之後自己也可以實作我們自己的Map。
詳情可以見：自己寫一個Map
聽人說一件事情，和自己從頭到尾實作一件事情是很不一樣的。本文向你展現這些法則的來源，是很自然的規律，不要死記硬背，但是練習計算能力就隻能靠你自己了。
你可以窺見 微積分的三個中心思想：積分、微分、兩者互逆。 不過故事開頭很簡單，人物是你和一個圓。你想找出圓的面積。
你在多次嘗試後将它切割成了多個同心圓：我們将厚度用符号 dr替代。這個 dr 越小，最後的結果就月準确。
當這個 dr 越來越小後，整個就仿佛是一個三角形，其中的縫隙已不複存在。
如果你是一個數學家，還想着借此發展出能解決一般問題的工具和技巧。大量微小的數值之和來求近似。
積分
數學法則隻要與現實有關，都是不确定的；若是确定的，都與現實無關。——阿爾伯特·愛因斯坦
悖論就是，先說現實問題，再說數學問題。 一瞬間的變化沒有什麼道理，但卻是導數想表達出的含義。這是怎麼回事？
現實問題是，汽車上機速度表是怎麼計算出來的？瞬時速率 這個概念又是怎樣的？
假如說，一個汽車在行駛，我給他拍了一個照片，那麼我可以通過這個照片看出來汽車的速度嗎？顯然不可以。
是以，其實我們還是取一個微小的時間間隔來計算汽車的 瞬時速率 ，也就引出了下圖我們的計算公式：
dt is not“infinitely small”，用了這個小技巧後瞬時速率就有意義了。
“他曾沒有足夠的想象力來當數學家。不過他成了一名詩人，現在過得挺好。” 一大衛.希爾伯特
為什麼一個微積分的學生，在大部分時間裡面都要糾結于抽象函數的導數，而不是在實實在在的考慮變化率的問題，這是因為許多顯示世界中的現象，許多我們想用微積分來分析的實際問題，都需要用到多項式，三角函數，指數函數或者其他的純函數來表達，是以如果你可以熟練的掌握這些技巧，那你就學到了可以精确的描繪事物變化率的語言。
導數的實質是某個微小量的變化。
下面介紹幾個函數，來加深你的思維了解：
f(x) = x^2
f(x) = x^3
f(x) = sinx
當你的腦海中有了清晰直覺的圖像，不過将世界模型化，你用到的大多數函數，需要或多或少的混合，組合，微調這些函數。是以我們要了解一下複雜的組合是如何求導的。
我們遇到的函數一般隻會有這三種方式的層疊，它們想變多大變多大，但是你總能得到它。
加法法則
乘積
函數複合
鍊式法則，結合上面的函數複合了解。一個一個往裡面帶入，剝洋蔥呢。
是以數學家們就在想有沒有一個底數可以使這個系數為1。
是以就有了這個特殊的常數e。正是有了這個常數帶給我們的便捷，任何2t，3t這樣的函數，都可以寫成e的常數乘t次幂。
例如下圖，dx都是我假設出來的，是以還怎麼說dy呢？
是以這種曲線就叫做隐函數曲線，即滿足某種關于變量x，y的性質，所有（x，y）點的集合。而這種有多個變量的表達式求導究竟有什麼意思呢？這個奇怪的過程就叫做隐函數求導。
求導的正式化，極限的ε-δ定義，以及洛必達法則的原理。
處理 0 / 0 極限，1 / 1 極限。某些時候我們可以用一下伯努利法則。
積分，求導的運算。給個例子，基于前面的了解這個很容易想明白。
積分可以用來求連續變量的平均值。我們可以通過這一點來解釋為什麼積分和求導互為逆運算。
積分計算面積，微積分的基本定理，看圖也好了解。
位移--》速度--》加速度 就是一個很好的例子。
泰勒多項式是一種特别強大的尋找近似值的工具，而泰勒級數可以給出表示函數的新方法。
引入：高中實體問題：求單擺最低點表達式
這個cos在這裡就很讓人費解，讓我們很難看出單擺和其他的振蕩現象之間的關系。但是如果你這樣将它近似：
可以将近似的函數設定成P（x）的樣子，通過一定會過某點可以确定常量C0，通過某确定點的斜率确定C1。
還可以在這個多項式上加幾個更高次幂的項，來近似更高階的導數。無論我們的高階項什麼樣，都不會影響我們的低階項。（除階乘是因為求導後系數一次次遞減出來的）。
現在我們用幾何的方式來解釋泰勒多項式的二次項。
而當我們計算無窮多項的時候我們就可以說這個泰勒多項式是泰勒級數了，如果它無限趨近某個值，我們就可以說它是收斂的。但是有的函數可能到了到高次幂後，部分區間是近似的，其他的部分會随着高次幂的遞增 “搖擺”，我們就稱它是發散的。
變換的視角，它可以和更進階的微積分知識無縫的轉換，來一個例子：
連分數-趣味題
導數不能知識看做表示斜率的新函數，而是反映函數對于輸入值微小變化的敏感程度，而斜率隻是用圖像來分析函數時候的一種展現。
還有一種看導數的方式，輸入空間在各個區間内被壓縮或者拉伸的程度，一種映射方式（類似倆個數軸），有點像 線代-行列式 的感覺。
回到上面的問題，我們一般可以替換之後取極限。
用映射的角度來看待這個問題（被驚豔到了）
更新中…………