筆者在做随機過程作業的時候遇見了一道題蔔瓦松過程的題目，憑借直覺填寫答案後總覺得邏輯上理不太順。但是一直也沒想具體的原因（實在是懶啊~摸魚不好嗎），
今天上團課時候突然想起來，這裡記錄一下。
題目為如下的37題（來自龔光魯11版習題），還算清晰，不再抄題了。
這裡求解的是兩次替換之間的平均時間 = E(檢修隊連續兩次發現故障并替換期間的時間)，此處的E表示均值的求解。
解析圖的符号：三角标志檢修隊到來檢查，下标1,2，.....,i,i+1為次數
x表示在此處器件已壞，√表示器件正常，或者檢修隊對壞的器件進行了更換。
這裡需要注意的是，在“1”處之前器件已經損壞，當檢修隊以泊松在‘1’點到來，對其進行了第一次的更換。
在檢修隊第‘i’次抵達時器件仍然正常，從此處到第‘i+1’次檢修隊到達之間的時間，器件損壞。檢修隊第‘i+1’次抵達時候進行第二次的更換。
是以可以推導得：
兩次器件更換的時間間隔 T = T1+T2。T1為從第一次更換後到器件再次毀壞的時間間隔，而T2是從毀壞到再次被檢修隊發現并且更換的時間間隔。
那麼求平均即是 E(T) = E(T1+T2) = E(T1)+E(T2) , 這裡的T1是隻與器件的壽命有關的，完全服從參數為1/u的指數分布，故可求得第一部分的參數結果。
而在求解第二個分量 E(T2）的時候最開始的時候思路是混亂的，單純憑借檢修隊行為是一種蔔瓦松過程，鄰近兩次的到達時間的間隔是服從參數為
（後面用y表示）
的指數分布，即Si+1 - Si是服從 E(
）的。但是這裡的T2 是Si+1 - Si的一部分，是否符合指數分布呢？如果符合，那就是說指數分布其部分分量也服從了相同參量的
指數分布，那我這裡借助于對稱性完全可以猜測Si+1 - Si中除了T2的另一部分T3 = {機器壞的時間 - 檢修隊第i次檢修的時間}也服從相同參量的指數分布，那麼有
Si+1 - Si = T2+T3，而三者都服從了指數分布，我們知道這是不可能的。（詳情參考伽馬分布與指數分布）
至此以上的假設必然有一種是錯的：（1）蔔瓦松過程兩個到達時間的間隔服從指數分布（T or F?）
(2) T2服從指數分布（T or F?）
我們知道（1）是以定理形式經過嚴格的數學推導給出的，不可能錯（真的是這樣嗎？？QAQ~）,那麼（2）必然就是錯的，但是答案就是1/u+1/
,按照這個答案來說
那（2）一定是正确的。本着有答案就算對，然後用答案倒推過程的精神，我在這裡展開了探索發現這其實是蔔瓦松過程中的很經典的inspection 悖論。
先說結論：上面的（1）中的結論的确是對的，但是有條件：那就是必須得是兩個确定的相鄰的兩個到達事件之間的間隔時間，而本題中的檢修隊到達次數 ‘ i ’也是
一個變量，在這種情況下（1）就不能用在本題的題設條件下。結果就是在本題中（1）不可用，（2）是符合的。
本文旨在用題目的解答過程來引出Inspection Paradox的結論，以使讀者能夠應用，具體的關于T2符合指數分布詳細的數學推導和Inspection Paradox相關論證可參考文獻。
故本題中T1~E( u ) ， T2~E（
），最後結果：E(T) = E(T1+T2) = E(T1)+E(T2) = 1/u+1/