第四章蔔瓦松過程2

蔔瓦松過程2

• 1蔔瓦松過程的等價定義
• • 1.1定義
  • 1.2定理
  • 1.3例題
• 2蔔瓦松過程到達的條件分布
• • 2.1僅有一個點到達的情況
  • 2.2更一般的情況
  • 2.3例題

1蔔瓦松過程的等價定義

1.1定義

1. N 0 = 0 N_0=0 N0​=0

2. N是平穩的獨立增量過程

   對于很小的h，有

3. P { N t + h − N t = 1 } = λ h + o ( h ) P\{N_{t+h}-N_t=1\}=\lambda h+o(h) P{Nt+h​−Nt​=1}=λh+o(h)
4. P { N t + h − N t = 0 } = 1 − λ h + o ( h ) P\{N_{t+h}-N_t=0\}=1-\lambda h+o(h) P{Nt+h​−Nt​=0}=1−λh+o(h)

   

1.2定理

1. 蔔瓦松過程必滿足“0-1”律
2. 如果計數過程滿足獨立平穩增量且滿足“0-1”律，則該過程為蔔瓦松過程

1.3例題

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解：

1. T 100 T_{100} T100​
2. E [ T 100 ] = n / λ = 100 / 5 = 20 E[T_{100}]=n/\lambda=100/5=20 E[T100​]=n/λ=100/5=20
3. τ \tau τ服從指數分布， f ( τ ) = λ e − λ τ f(\tau)=\lambda e^{-\lambda\tau} f(τ)=λe−λτ
4. E [ τ n ] E[\tau_n] E[τn​]

2蔔瓦松過程到達的條件分布

2.1僅有一個點到達的情況

設 N = { N t , t ≥ 0 } N=\{N_t,t\geq 0\} N={Nt​,t≥0}服從泊松分布，那麼在 N t = 1 N_t=1 Nt​=1的條件下，過程的第一個随機點到達的時間 T 1 T_1 T1​服從 [ 0 , t 1 ] [0,t_1] [0,t1​]上的均勻分布即

P ( T 1 < s ∣ N t = 1 ) = s / t P(T_1<s|N_t=1)=s/t P(T1​<s∣Nt​=1)=s/t

證明：

P ( T 1 < s ∣ N t = 1 ) = P ( T 1 < s , N t = 1 ) P ( N t = 1 ) = P ( N s = 1 , N t − N s = 0 ) P ( N t = 1 ) = λ s e − λ s e − λ ( t − s ) / λ t e − λ t = s / t P(T_1<s|N_t=1)=\frac{P(T_1<s,N_t=1)}{P(N_t=1)}=\frac{P(N_s=1,N_t-N_s=0)}{P(N_t=1)}=\lambda se^{-\lambda s}e^{-\lambda (t-s)}/\lambda te^{-\lambda t}=s/t P(T1​<s∣Nt​=1)=P(Nt​=1)P(T1​<s,Nt​=1)​=P(Nt​=1)P(Ns​=1,Nt​−Ns​=0)​=λse−λse−λ(t−s)/λte−λt=s/t

2.2更一般的情況

設 N = { N t , t ≥ 0 } N=\{N_t,t\geq 0\} N={Nt​,t≥0}服從泊松分布，那麼在 N t = n N_t=n Nt​=n的條件下，随機點的n個到達時刻 T 1 < T 2 < . . . < T n T_1<T_2<...<T_n T1​<T2​<...<Tn​有以下聯合機率密度函數：

p ( u 1 , u 2 , . . . , u n ) = n ! t n p(u_1,u_2,...,u_n)=\frac{n!}{t^n} p(u1​,u2​,...,un​)=tnn!​

證明：

是以 p ( u 1 , u 2 , . . . , u n ) = n ! t n p(u_1,u_2,...,u_n)=\frac{n!}{t^n} p(u1​,u2​,...,un​)=tnn!​

2.3例題