第四章泊松过程2

泊松过程2

• 1泊松过程的等价定义
• • 1.1定义
  • 1.2定理
  • 1.3例题
• 2泊松过程到达的条件分布
• • 2.1仅有一个点到达的情况
  • 2.2更一般的情况
  • 2.3例题

1泊松过程的等价定义

1.1定义

1. N 0 = 0 N_0=0 N0​=0

2. N是平稳的独立增量过程

   对于很小的h，有

3. P { N t + h − N t = 1 } = λ h + o ( h ) P\{N_{t+h}-N_t=1\}=\lambda h+o(h) P{Nt+h​−Nt​=1}=λh+o(h)
4. P { N t + h − N t = 0 } = 1 − λ h + o ( h ) P\{N_{t+h}-N_t=0\}=1-\lambda h+o(h) P{Nt+h​−Nt​=0}=1−λh+o(h)

   

1.2定理

1. 泊松过程必满足“0-1”律
2. 如果计数过程满足独立平稳增量且满足“0-1”律，则该过程为泊松过程

1.3例题

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解：

1. T 100 T_{100} T100​
2. E [ T 100 ] = n / λ = 100 / 5 = 20 E[T_{100}]=n/\lambda=100/5=20 E[T100​]=n/λ=100/5=20
3. τ \tau τ服从指数分布， f ( τ ) = λ e − λ τ f(\tau)=\lambda e^{-\lambda\tau} f(τ)=λe−λτ
4. E [ τ n ] E[\tau_n] E[τn​]

2泊松过程到达的条件分布

2.1仅有一个点到达的情况

设 N = { N t , t ≥ 0 } N=\{N_t,t\geq 0\} N={Nt​,t≥0}服从泊松分布，那么在 N t = 1 N_t=1 Nt​=1的条件下，过程的第一个随机点到达的时间 T 1 T_1 T1​服从 [ 0 , t 1 ] [0,t_1] [0,t1​]上的均匀分布即

P ( T 1 < s ∣ N t = 1 ) = s / t P(T_1<s|N_t=1)=s/t P(T1​<s∣Nt​=1)=s/t

证明：

P ( T 1 < s ∣ N t = 1 ) = P ( T 1 < s , N t = 1 ) P ( N t = 1 ) = P ( N s = 1 , N t − N s = 0 ) P ( N t = 1 ) = λ s e − λ s e − λ ( t − s ) / λ t e − λ t = s / t P(T_1<s|N_t=1)=\frac{P(T_1<s,N_t=1)}{P(N_t=1)}=\frac{P(N_s=1,N_t-N_s=0)}{P(N_t=1)}=\lambda se^{-\lambda s}e^{-\lambda (t-s)}/\lambda te^{-\lambda t}=s/t P(T1​<s∣Nt​=1)=P(Nt​=1)P(T1​<s,Nt​=1)​=P(Nt​=1)P(Ns​=1,Nt​−Ns​=0)​=λse−λse−λ(t−s)/λte−λt=s/t

2.2更一般的情况

设 N = { N t , t ≥ 0 } N=\{N_t,t\geq 0\} N={Nt​,t≥0}服从泊松分布，那么在 N t = n N_t=n Nt​=n的条件下，随机点的n个到达时刻 T 1 < T 2 < . . . < T n T_1<T_2<...<T_n T1​<T2​<...<Tn​有以下联合概率密度函数：

p ( u 1 , u 2 , . . . , u n ) = n ! t n p(u_1,u_2,...,u_n)=\frac{n!}{t^n} p(u1​,u2​,...,un​)=tnn!​

证明：

所以 p ( u 1 , u 2 , . . . , u n ) = n ! t n p(u_1,u_2,...,u_n)=\frac{n!}{t^n} p(u1​,u2​,...,un​)=tnn!​

2.3例题