【随機過程】随機過系列之特征函數、寬平穩與平穩獨立增量

2022-11-06 22:29:51

1. 特征函數

随機過程常見表示方式：${X(t); t \in T}$，有四個特征函數，見下表。

特征函數	表達式	了解
均值函數	$\mu_X(t) = E[X(t)]$	相當于随機變量的均值，知當t确定時$X(t)$是一個随機變量，也就可以求期望，當t不同時，對應的期望也會随t的變動而變動，是以稱之為函數。
方差函數	$Var[X(t)] = E[(X(t)-\mu(t))]^2$	了解方式同均值函數
相關函數	$R(t_1, t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]]$	同一個随機過程兩個時刻随機變量乘積的期望
協方差函數	$\gamma(t_1, t_2)=E{[X(t_1)-\mu(t_1)][X(t_2)-\mu(t_2)]} = R(t_1, t_2)-\mu(t_1)\mu(t_2)$	表示同一個随機過程兩個随機變量的相關性大小，可以轉換為相關函數的表達式

由題意可知，A服從正太分布，B服從均勻分布，直接帶入對應的特征函數公式即可，要注意

處的t的條件範圍，

處方差和均值之間的轉換以及

處相關函數和協方差函數的轉換。

平穩即随着時間的變化卻保持不變，不同的統計性質會有不一樣的平穩。

考察随機過程是否為寬平穩從以下角度進行：二階矩存在（方差和期望存在），均值函數為常數：

振幅調制過程：$X(t) = A(t)cos(2\pi f_0t+\theta)$，其中振幅調制函數A(t)是随機的，相位調制函數中的θ在(0, 2$\pi$)上均勻分布，二者互相獨立($\theta$和$t$無關)，判斷其是否為寬平穩。

通過一階矩考察條件一是否滿足

$E(X) = E(A(t))E(cos(2\pi f_0t+\theta)) = E(A(t) = \int_0^{2\pi}frac{1}{2\pi}cos(2\pi f_0t+\theta))d\theta =0$
通過二階矩（相關性$R_X(t, s)$）考察滿足條件二

$R_X(t, s) = E(A(t)A(s))E(cos(2\pi f_0t+\theta)(cos(2\pi f_0s+\theta))$

(上一步到下一步運用的是
積化和差
)

$= E(A(t)A(s))\frac{1}{2}(E(cos(2\pi f_0(t+s)+2\theta) + E(cos(2\pi f_0(t-s))$

（巧妙的轉化出了$2\theta$，即最終$cos(2\pi f_0(t+s)+2\theta)$一定為0）

$= \frac{1}{2}E(A(t)A(s))cos(2\pi f_0(t-s))$

（是以最終落腳點在于$E(A(t)A(s))$是否為寬平穩，如果是，則可以推出下式）

$=\frac{1}{2}R_A(t-s)cos(2\pi f_0(t-s))$（完畢）

而由寬平穩局部具有的特性可以推出（決定）整體，簡言之，部分區間連續則整體連續，部分區間呈現周期性，則整體呈現周期性。

是因為處由于s和t時刻随機變量不相關。

: 這裡要求時間段不交叉，示意圖如下：

: 對相同長度的時間段h均有相同的分布，對時間段是否交叉沒有限制。