零的故事是數學曆史的經典故事。一種思想誕生了；經過幾個地方和幾個世紀的流傳, 它得到了提煉, 并被傳播開來；它變成了國際數學文化的一部分。數學是全世界人都能夠自豪分享的傑作。
古印度數學大緻可以追溯到古埃及的草紙書和古巴比倫的泥闆時代, 一個迷人且未解決的問題就是這些人之間接觸的程度。肯定有人懷疑古印度和中國數學之間有互相作用, 但是說到這一互相作用的規模和趨勢, 恐怕誰也不可得知。
無論如何, 古印度人在數學方面是十分優秀的。其中,他們最重要的成就是三角學的發展。他們在這個領域的大部分工作滲入後來的阿拉伯文化, 又在 15 世紀傳入歐洲。當代世界得益于偉大的古印度三角學家甚多。
古印度人還解決了一些非常奇妙的代數類問題, 盡管當時沒有符号體系。其中一個問題應該歸功于婆什伽羅, 也叫巴斯卡拉或“婆什伽羅老師”, 他生活的年代大約是公元 1150 年。例如, 有一個問題是求兩個整數, 使得第一個數的平方的 61 倍比第二個數的平方少 1。用現代的記法, 這相當于求兩個數 x 和 y 使得 61x² = y² -1。這個問題在 17 世紀的歐洲再一次被提出來, 給數學家們帶來相當大的考驗, 婆什伽羅給出了這個問題的正确解。他的答案是 x = 226 153 980, y =1 766 319 049 ,這很難不令人驚訝。
古印度人還給我們留下很多具有啟發性的幾何結果, 其中最引人注目的就是求圓内接四邊形面積的婆羅摩笈多公式。圓内接四邊形（cyclic quadrilateral）是内接于一個圓的四邊形, 如圖 O-6 所示。婆羅摩笈多是公元 7 世紀的天文學家和數學家, 他說邊長為 a, b, c, d 的任意四邊形的面積可由下面的公式給出：
其中 s = ½(a + b + c + d), 稱為這個四邊形的半周長。
來看一下它的應用, 考慮圖 O-7 所示的邊長為 a 和 b 的矩形。當然, 令矩形的對角線交點 O 為圓心, 就可以作這個矩形的外接圓。因為矩形可以是圓内接四邊形, 是以我們可以運用婆羅摩笈多公式。是以有
是以有 s − a = (a + b) − a = b 及 s − b = (a + b) − b = a。是以, 這個矩形的面積是
當然, 我們無須用像婆羅摩笈多公式這樣強大的武器去發現矩形的面積等于它的長與寬的乘積。這頗像用聯合收割機去割一根草一樣。
但是, 下面的例子就不是這樣初級了,它取自于古印度的課本。在這裡我們要求的是邊長為 a = 39, b = 60, c = 52, d =25 的圓内接四邊形的面積, 如圖 O-8 所示。如果沒有婆羅摩笈多公式的幫助, 這一定非常困難；有了婆羅摩笈多公式的幫助, 很快就會得出答案。這個圓内接四邊形的半周長是
是以面積是
婆羅摩笈多公式有一個有趣的推論。對于圖O-9, 如果我們沿着圓滑動頂點 D 到頂點 C, 此時這個圓内接四邊形就變成了三角形 ABC。在這樣的變換下, 邊長為0 ，是以這個三角形可以看成 “退化”的四邊形, 是以它的面積是
現在, s 是 △ABC 的半周長。有些讀者也許認出來了, 這個公式就是三角形面積的海倫公式, 它是以大約公元 75 年對此給出一個聰明證明的古希臘數學家的名字命名的。是以, 婆羅摩笈多公式是海倫公式到圓内接四邊形的擴充。這是幾何學中一個引人注目的例子。
我們已經簡要地提到了古印度數學最偉大的成就之一：在十進制體系内引入了零。我們不可能精确地給出這一思想的産生年代, 但是它也許可以追溯到公元第一個一千年的中期。這一時期的文獻和碑文非常清楚地展示出零, 與我們今天的零看起來很像。這一發明非常有用，不僅作為一個理論結構有用, 而且作為一個計算工具也非常有用。是以, 正是由于印度人采用了引入零的數字型系, 他們的技術才迅速地被與他們有來往的阿拉伯人采用。到了第一個一千年的末期, 阿拉伯學者撰寫了一本關于美妙的 “印度算術”的書。
正是通過阿拉伯人, 這些思想最終向西流入歐洲。其中最關鍵的一步就是 1202 年比薩的列昂納多出版的《算盤書》。列昂納多就是我們今天都知道的斐波那契, 他在北非度過了年輕時的大部分時光, 在那裡學習了阿拉伯語并研究了阿拉伯數學。就這樣, 他掌握了現在所謂的印度–阿拉伯數字型系。斐波那契的書把這些思想帶到意大利的學術中心, 從這裡開始, 這些思想很快就傳播到了歐洲大陸。
零的故事是數學曆史的經典故事。一種思想誕生了；經過幾個地方和幾個世紀的流傳, 它得到了提煉, 并被傳播開來；它變成了國際數學文化的一部分。數學是全世界人都能夠自豪分享的傑作。
作者：[美] 威廉·鄧納姆（William Dunham）譯者：馮速
一覽數學世界不可不談的偉大定理、難題和争論
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數學科普巨匠鄧納姆獻給鐘情數學以及單純好奇“數學到底是什麼”的讀者
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文章來源：圖靈新知