文/峰哥
前言
航空航天飛行器結構承受慣性載荷，發動機渦輪工作時要承受極大的離心力，大型土木建築中結構自重是不可忽略的重要載荷。
了解載荷敏度抑制方法，有利于深入了解渦輪盤拓撲結構，進而進行優化和改進。
相關理論闡述
自重和慣性力這類載荷的特點是結構與載荷互相耦合，結構的變化會引起載荷大小的變化，呈現“沒有結構則沒有載荷”的特征，稱為設計相關載荷。
基于變密度結構拓撲優化模型，應用優化準則法推導慣性載荷下的求解疊代格式，針對設計相關載荷固體各向同性材料懲罰模型的材料附屬效應，運用一種新的指數材料性能近似模型，提出一種新的密度過濾方法。
針對設計相關載荷帶來的目标函數非單調問題，提出一種載荷敏度抑制方法。
同時讨論了載荷敏度抑制因子與渦輪盤拓撲結構的關系。通過有限元模組化，比較分析了所得到的單輻闆和雙輻闆渦輪盤結構。
結構拓撲優化模型
1、模型理論基礎
針對設計相關載荷的結構拓撲優化方法得到了國内外學者的廣泛關注。有人針對目标函數對設計變量的非單調性，提出在優化準則法的疊代式中對慣性載荷敏度進行修正。
自專利文獻提出一種新型雙輻闆渦輪盤以來，國内外衆多學者開展了針對航空發動機渦輪盤在設計相關載荷下的拓撲優化研究。
如果采用漸進結構優化算法對渦輪盤進行拓撲優化，可得到雙輻闆渦輪盤的結構形式。也可以先通過拓撲優化得到雙輻闆渦輪盤基礎輪廓，再通過形狀優化對雙輻闆渦輪盤形狀進行設計。
2、優化模型設計思路
以結構柔度最小化為優化目标的變密度法結構拓撲優化數學模型如下：
模型式（１）中目标函數對設計變量的靈敏度和基于特定條件的設計變量疊代格式分别如式（２）和式（３）所示：
在疊代式（３）中，若為設計無關載荷，則此時敏度為負值，目标函數單調。
若為設計相關載荷，則此項不為０，目标函數不再保持單調。
材料插值模型與灰階抑制方法
1、材料插值模型
若變密度拓撲優化方法中插值模型函數如下，則彈性模量、自重或離心載荷等設計相關載荷與單元相對密度之間的關系為：
由上式可知，在低密度單元中，設計相關載荷與彈性模量的比值會非常大，如圖所示。
這種由于插值模型引起的弱材料單元無法承載自身慣性載荷現象，被稱為“材料附屬效應”。這種附屬效應會導緻計算無法進行或者使優化結果不穩定，也可能會使優化的拓撲結構存在不合理的分支結構。
為了克服這種材料附屬效應，可以應用一種改進的分段固體各向同性材料懲罰模型方法，使得在低密度單元兩者的比例不再趨于無限大。而采用輻射機載測量程式模型，其材料插值函數如式（６）所示：
載荷與 彈性模量的比值如式（７）所示：
由式（７）繪制固體各向同性材料懲罰模型對應的載荷與彈性模量之間的比值示意圖，如圖２所示：
由圖可知在固體各向同性材料懲罰模型中，低密度單元上兩者比值始終在有限值範圍内。
根據式（９）繪制對應的載荷與彈性模量之間的比值示意圖，如圖所示：
由式（9）及圖可知，該模型中，在低密度區間内，載荷與彈性模量的比值也始終保持在有限值範圍内，同時算例表明這種材料插值模型能夠有效提高優化疊代的收斂速度。
2、新的灰階抑制方法
結構邊界不清晰，灰階單元多是拓撲優化結果中普遍存在的問題，基于材料插值模型，提出了一種灰階抑制方法。基于此方法的新的疊代格式如式（10）所示：
為了驗證基于上述模型的灰階抑制方法的可行性，對經典懸臂梁結構分别進行不使用灰階抑制和使用上述模型灰階抑制進行拓撲優化。
如圖所示，設計域為長Ｌ、寬０.５Ｌ的矩形平闆結構，将設計域離散為8０×４０個有限單元，結構左側固定位移全限制，右側受到向下的固定載荷Ｆ。
圖為不使用灰階抑制和使用上述模型灰階抑制方法得到的拓撲優化結構。
由圖可知，使用上述灰階抑制之後的拓撲結構明顯更加清晰，單元灰階更小。
由表１可知，在目标函數接近的情況下，使用後比未進行灰階抑制的結構灰階值降低了84.5％，疊代收斂的步數也降低了70％.
算例表明基于上述材料插值模型的灰階抑制方法的有效性，此方法可以有效地減少拓撲結構中的灰階單元并且可以更快達到收斂。
載荷敏度抑制方法
由式（２）可知，當載荷為設計相關載荷時，目标函數對單元密度的敏度式不再恒為負，即目标函數不再單調。
為此提出一種載荷敏度抑制算法，在式（２）載荷敏度項前添加一個抑制因子１／（ｐ＋１）。添加抑制因子之後，目标函數對設計變量的靈敏度為：
抑制因子作用于優化過程的每一次疊代中，其作用如圖所示，其中實線為剛度敏度，點劃線為抑制前的載荷敏度，虛線為抑制後的載荷敏度。
經過載荷敏度抑制使目标函數保持單調。
為了驗證此方法的有效性，對照其他文獻中的自重載荷算例，在相同計算條件下使用所提出的載荷敏度抑制算法進行計算，對拓撲優化結果進行比較。
表中為文獻中算例的計算參數設定。
本文載荷敏度抑制算法得到的目标函數值3.79，收斂疊代步數30，目标函數值略低且收斂速度更快，說明載荷敏度抑制算法在自重載荷拓撲優化中的有效性。
發動機渦輪盤拓撲優化
航空發動機渦輪盤工作時要承受極大的離心載荷，是一種典型的設計相關載荷的結構優化問題。
在美國“綜合高性能渦輪發動機技術”計劃的第３階段中，驗證了雙輻闆渦輪盤在結構傳力路徑等方面的優勢，且其較單輻闆渦輪盤品質減輕、轉速提高。
相關研究已經表明，在相同的載荷和設計邊界條件下，雙輻闆渦輪盤較單輻闆渦輪盤具有降低最大應力、變形小等優勢。
但是從拓撲優化算法角度，單輻闆與雙輻闆結構之間如何演化，以及這樣的演化受到哪些因素的影響未見文獻報道。以下根據本文提出的載荷敏度抑制算法進行讨論。
1、抑制因子對渦輪盤拓撲結構的影響
有學者為避免設計相關載荷目标函數的非單調問題，在優化疊代計算時直接忽略載荷敏度項，将渦輪盤的徑向截面設定為一個高寬為Ｌ×２Ｌ的矩形平面，離散為50×100個四邊形有限單元。
矩形平面繞左側距離為ｒ的軸旋轉，轉速為ｗ，如圖所示。
在抑制系數取0.1、1、10、100、1000、10000、100000和無窮大（即不考慮疊代式中的載荷敏度項）的情況下，對應的渦輪盤拓撲結構演化規律如圖所示，其中橫坐标為抑制系數的常用對數。
由圖可見，渦輪盤徑向截面的拓撲結構随抑制系數的增大（載荷敏度在疊代式中的影響變小），由雙輻闆結構逐漸演化為單輻闆結構。
抑制系數取1000和10000之間存在一個臨界點，在此臨界點附近拓撲結構從雙輻闆向單輻闆突變。應用二分法計算的臨界點為2301和2302，如圖所示：
當抑制系數取2301時，結構為雙輻闆結構；取2302時，結構為單輻闆結構。
為了進一步探究抑制系數對結構演化的作用，分别計算抑制系數取2301和2302時，優化疊代過程中拓撲結構的演變過程。
從圖可以看到，２個抑制系數下拓撲結構在疊代65步之前得到的結構是相似的，在65～72步之間結構發生不同演變，ｌ＝2301時結構的上下輻闆得到加強，逐漸演化為雙輻闆結構。ｌ＝2302時結構中間的輻闆得到加強，逐漸演化為單輻闆結構。
一方面設計相關載荷的載荷敏度對最終的拓撲優化結構有關鍵性作用。當抑制系數較小，即載荷敏度在疊代式中保留較大時，渦輪盤徑向截面優化拓撲為雙輻闆結構。抑制系數較大，即載荷敏度在疊代式中保留較小時，拓撲結構為單輻闆結構。
另一方面，從圖可以看出，渦輪盤從雙輻闆結構向單幅闆結構演化過程中，目标函數逐漸增加，即結構柔度增大，剛度減小。
但圖顯示，在抑制系數的臨界點附近，雙輻闆結構可能與單輻闆結構剛度相當甚至更差。
2、幾何模組化與有限元分析
當抑制系數取值非常小時渦輪盤的拓撲結構為典型的雙輻闆結構，當抑制系數取值無窮大時渦輪盤的拓撲結構為單輻闆結構，見圖13：
對２種拓撲結構分别建立渦輪盤的幾何模型，如圖所示：
對２個幾何模型分别施加相同的限制條件，進行有限元分析，得到應力、應變能結果以及模型的品質如表所示：
由表可知，在徑向截面面積相同的情況下，雙輻闆渦輪盤整體的品質比單輻闆減輕16％。
２種渦輪盤結構在相同限制和載荷條件下的應力和應變能雲圖如圖所示。
圖顯示了單、雙輻闆的應力分布狀況，最大應力均在輪心位置，這與文獻得到的結果相同。相比于單輻闆，雙輻闆的最大應力下降了23％。
由圖可以看出，雙輻闆的應變能分布均勻，整體應變能低于單輻闆。
結論
（1）針對設計相關載荷拓撲優化中存在的“材料附屬效應”問題，運用一種指數型材料插值模型，并且基于此模型建構了一種新的灰階抑制方法。算例表明，該方法具有單元灰階少、結構清晰、收斂速度快的特點。
（2）對設計相關載荷變密度拓撲優化中存在的目标函數非單調問題，提出一種載荷敏度抑制方法。算例表明了該方法對自重和大慣性載荷下結構拓撲優化的有效性。
（３）應用本文提出的算法對發動機渦輪盤的徑向截面進行拓撲優化。通過抑制系數的讨論，說明了設計相關載荷的載荷敏度對渦輪盤的徑向截面拓撲結構的影響。
揭示了傳統單輻闆渦輪盤結構與近年廣泛研究的雙輻闆渦輪盤結構之間的演化規律和内在聯系。在相同限制和離心載荷條件下對兩種結構渦輪盤進行了有限元分析。
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