文/峰哥
前言
航空航天飞行器结构承受惯性载荷，发动机涡轮工作时要承受极大的离心力，大型土木建筑中结构自重是不可忽略的重要载荷。
了解载荷敏度抑制方法，有利于深入了解涡轮盘拓扑结构，从而进行优化和改进。
相关理论阐述
自重和惯性力这类载荷的特点是结构与载荷相互耦合，结构的变化会引起载荷大小的变化，呈现“没有结构则没有载荷”的特征，称为设计相关载荷。
基于变密度结构拓扑优化模型，应用优化准则法推导惯性载荷下的求解迭代格式，针对设计相关载荷固体各向同性材料惩罚模型的材料附属效应，运用一种新的指数材料性能近似模型，提出一种新的密度过滤方法。
针对设计相关载荷带来的目标函数非单调问题，提出一种载荷敏度抑制方法。
同时讨论了载荷敏度抑制因子与涡轮盘拓扑结构的关系。通过有限元建模，比较分析了所得到的单辐板和双辐板涡轮盘结构。
结构拓扑优化模型
1、模型理论基础
针对设计相关载荷的结构拓扑优化方法得到了国内外学者的广泛关注。有人针对目标函数对设计变量的非单调性，提出在优化准则法的迭代式中对惯性载荷敏度进行修正。
自专利文献提出一种新型双辐板涡轮盘以来，国内外众多学者开展了针对航空发动机涡轮盘在设计相关载荷下的拓扑优化研究。
如果采用渐进结构优化算法对涡轮盘进行拓扑优化，可得到双辐板涡轮盘的结构形式。也可以先通过拓扑优化得到双辐板涡轮盘基础轮廓，再通过形状优化对双辐板涡轮盘形状进行设计。
2、优化模型设计思路
以结构柔度最小化为优化目标的变密度法结构拓扑优化数学模型如下：
模型式（１）中目标函数对设计变量的灵敏度和基于特定条件的设计变量迭代格式分别如式（２）和式（３）所示：
在迭代式（３）中，若为设计无关载荷，则此时敏度为负值，目标函数单调。
若为设计相关载荷，则此项不为０，目标函数不再保持单调。
材料插值模型与灰度抑制方法
1、材料插值模型
若变密度拓扑优化方法中插值模型函数如下，则弹性模量、自重或离心载荷等设计相关载荷与单元相对密度之间的关系为：
由上式可知，在低密度单元中，设计相关载荷与弹性模量的比值会非常大，如图所示。
这种由于插值模型引起的弱材料单元无法承载自身惯性载荷现象，被称为“材料附属效应”。这种附属效应会导致计算无法进行或者使优化结果不稳定，也可能会使优化的拓扑结构存在不合理的分支结构。
为了克服这种材料附属效应，可以应用一种改进的分段固体各向同性材料惩罚模型方法，使得在低密度单元两者的比例不再趋于无限大。而采用辐射机载测量程序模型，其材料插值函数如式（６）所示：
载荷与 弹性模量的比值如式（７）所示：
由式（７）绘制固体各向同性材料惩罚模型对应的载荷与弹性模量之间的比值示意图，如图２所示：
由图可知在固体各向同性材料惩罚模型中，低密度单元上两者比值始终在有限值范围内。
根据式（９）绘制对应的载荷与弹性模量之间的比值示意图，如图所示：
由式（9）及图可知，该模型中，在低密度区间内，载荷与弹性模量的比值也始终保持在有限值范围内，同时算例表明这种材料插值模型能够有效提高优化迭代的收敛速度。
2、新的灰度抑制方法
结构边界不清晰，灰度单元多是拓扑优化结果中普遍存在的问题，基于材料插值模型，提出了一种灰度抑制方法。基于此方法的新的迭代格式如式（10）所示：
为了验证基于上述模型的灰度抑制方法的可行性，对经典悬臂梁结构分别进行不使用灰度抑制和使用上述模型灰度抑制进行拓扑优化。
如图所示，设计域为长Ｌ、宽０.５Ｌ的矩形平板结构，将设计域离散为8０×４０个有限单元，结构左侧固定位移全约束，右侧受到向下的固定载荷Ｆ。
图为不使用灰度抑制和使用上述模型灰度抑制方法得到的拓扑优化结构。
由图可知，使用上述灰度抑制之后的拓扑结构明显更加清晰，单元灰度更小。
由表１可知，在目标函数接近的情况下，使用后比未进行灰度抑制的结构灰度值降低了84.5％，迭代收敛的步数也降低了70％.
算例表明基于上述材料插值模型的灰度抑制方法的有效性，此方法可以有效地减少拓扑结构中的灰度单元并且可以更快达到收敛。
载荷敏度抑制方法
由式（２）可知，当载荷为设计相关载荷时，目标函数对单元密度的敏度式不再恒为负，即目标函数不再单调。
为此提出一种载荷敏度抑制算法，在式（２）载荷敏度项前添加一个抑制因子１／（ｐ＋１）。添加抑制因子之后，目标函数对设计变量的灵敏度为：
抑制因子作用于优化过程的每一次迭代中，其作用如图所示，其中实线为刚度敏度，点划线为抑制前的载荷敏度，虚线为抑制后的载荷敏度。
经过载荷敏度抑制使目标函数保持单调。
为了验证此方法的有效性，对照其他文献中的自重载荷算例，在相同计算条件下使用所提出的载荷敏度抑制算法进行计算，对拓扑优化结果进行比较。
表中为文献中算例的计算参数设置。
本文载荷敏度抑制算法得到的目标函数值3.79，收敛迭代步数30，目标函数值略低且收敛速度更快，说明载荷敏度抑制算法在自重载荷拓扑优化中的有效性。
发动机涡轮盘拓扑优化
航空发动机涡轮盘工作时要承受极大的离心载荷，是一种典型的设计相关载荷的结构优化问题。
在美国“综合高性能涡轮发动机技术”计划的第３阶段中，验证了双辐板涡轮盘在结构传力路径等方面的优势，且其较单辐板涡轮盘质量减轻、转速提高。
相关研究已经表明，在相同的载荷和设计边界条件下，双辐板涡轮盘较单辐板涡轮盘具有降低最大应力、变形小等优势。
但是从拓扑优化算法角度，单辐板与双辐板结构之间如何演化，以及这样的演化受到哪些因素的影响未见文献报道。以下根据本文提出的载荷敏度抑制算法进行讨论。
1、抑制因子对涡轮盘拓扑结构的影响
有学者为避免设计相关载荷目标函数的非单调问题，在优化迭代计算时直接忽略载荷敏度项，将涡轮盘的径向截面设置为一个高宽为Ｌ×２Ｌ的矩形平面，离散为50×100个四边形有限单元。
矩形平面绕左侧距离为ｒ的轴旋转，转速为ｗ，如图所示。
在抑制系数取0.1、1、10、100、1000、10000、100000和无穷大（即不考虑迭代式中的载荷敏度项）的情况下，对应的涡轮盘拓扑结构演化规律如图所示，其中横坐标为抑制系数的常用对数。
由图可见，涡轮盘径向截面的拓扑结构随抑制系数的增大（载荷敏度在迭代式中的影响变小），由双辐板结构逐渐演化为单辐板结构。
抑制系数取1000和10000之间存在一个临界点，在此临界点附近拓扑结构从双辐板向单辐板突变。应用二分法计算的临界点为2301和2302，如图所示：
当抑制系数取2301时，结构为双辐板结构；取2302时，结构为单辐板结构。
为了进一步探究抑制系数对结构演化的作用，分别计算抑制系数取2301和2302时，优化迭代过程中拓扑结构的演变过程。
从图可以看到，２个抑制系数下拓扑结构在迭代65步之前得到的结构是相似的，在65～72步之间结构发生不同演变，ｌ＝2301时结构的上下辐板得到加强，逐步演化为双辐板结构。ｌ＝2302时结构中间的辐板得到加强，逐步演化为单辐板结构。
一方面设计相关载荷的载荷敏度对最终的拓扑优化结构有关键性作用。当抑制系数较小，即载荷敏度在迭代式中保留较大时，涡轮盘径向截面优化拓扑为双辐板结构。抑制系数较大，即载荷敏度在迭代式中保留较小时，拓扑结构为单辐板结构。
另一方面，从图可以看出，涡轮盘从双辐板结构向单幅板结构演化过程中，目标函数逐步增加，即结构柔度增大，刚度减小。
但图显示，在抑制系数的临界点附近，双辐板结构可能与单辐板结构刚度相当甚至更差。
2、几何建模与有限元分析
当抑制系数取值非常小时涡轮盘的拓扑结构为典型的双辐板结构，当抑制系数取值无穷大时涡轮盘的拓扑结构为单辐板结构，见图13：
对２种拓扑结构分别建立涡轮盘的几何模型，如图所示：
对２个几何模型分别施加相同的约束条件，进行有限元分析，得到应力、应变能结果以及模型的质量如表所示：
由表可知，在径向截面面积相同的情况下，双辐板涡轮盘整体的质量比单辐板减轻16％。
２种涡轮盘结构在相同约束和载荷条件下的应力和应变能云图如图所示。
图显示了单、双辐板的应力分布状况，最大应力均在轮心位置，这与文献得到的结果相同。相比于单辐板，双辐板的最大应力下降了23％。
由图可以看出，双辐板的应变能分布均匀，整体应变能低于单辐板。
结论
（1）针对设计相关载荷拓扑优化中存在的“材料附属效应”问题，运用一种指数型材料插值模型，并且基于此模型构建了一种新的灰度抑制方法。算例表明，该方法具有单元灰度少、结构清晰、收敛速度快的特点。
（2）对设计相关载荷变密度拓扑优化中存在的目标函数非单调问题，提出一种载荷敏度抑制方法。算例表明了该方法对自重和大惯性载荷下结构拓扑优化的有效性。
（３）应用本文提出的算法对发动机涡轮盘的径向截面进行拓扑优化。通过抑制系数的讨论，说明了设计相关载荷的载荷敏度对涡轮盘的径向截面拓扑结构的影响。
揭示了传统单辐板涡轮盘结构与近年广泛研究的双辐板涡轮盘结构之间的演化规律和内在联系。在相同约束和离心载荷条件下对两种结构涡轮盘进行了有限元分析。
参考文献
［1］高彤，张卫红，朱继宏．惯性载荷作用下结构拓扑优化
［2］力学学报，2009，41（4）：530－541．
［3］张晖，刘书田，张雄．考虑自重载荷作用的连续体结构拓扑优化［J］．力学学报，2009，41（1）：98－104．
［4］易垒，文毅．惯性载荷作用下火箭橇结构拓扑优化设计.
［5］应用力学学报，2013，30（1）：80－85，148．
［6］董少静，申秀丽，康滨鹏，等．高推质比双辐板涡轮盘结构研究及光弹试验验证［Ｊ］．航空动力学报，2015，30（1）：114－120．
［7］张乘齐，黄文周，刘学伟，等．低惯量涡轮转子结构设计与优化［Ｊ］．燃气涡轮试验与研究，2013，26（4）：33－36，50．