複現經典：《統計學習方法》第 7 章 支援向量機

本文是李航老師的《統計學習方法》[1]一書的代碼複現。

作者：黃海廣[2]

備注：代碼都可以在github[3]中下載下傳。

我将陸續将代碼釋出在公衆号“機器學習初學者”，敬請關注。

代碼目錄

• 第 1 章 統計學習方法概論
• 第 2 章 感覺機
• 第 3 章 k 近鄰法
• 第 4 章 樸素貝葉斯
• 第 5 章 決策樹
• 第 6 章 邏輯斯谛回歸
• 第 7 章 支援向量機
• 第 8 章 提升方法
• 第 9 章 EM 算法及其推廣
• 第 10 章 隐馬爾可夫模型
• 第 11 章 條件随機場
• 第 12 章 監督學習方法總結

代碼參考：wzyonggege[4],WenDesi[5],火燙火燙的[6]

第 7 章 支援向量機

1．支援向量機最簡單的情況是線性可分支援向量機，或硬間隔支援向量機。建構它的條件是訓練資料線性可分。其學習政策是最大間隔法。可以表示為凸二次規劃問題，其原始最優化問題為

求得最優化問題的解為

，

，得到線性可分支援向量機，分離超平面是

分類決策函數是

最大間隔法中，函數間隔與幾何間隔是重要的概念。

線性可分支援向量機的最優解存在且唯一。位于間隔邊界上的執行個體點為支援向量。最優分離超平面由支援向量完全決定。二次規劃問題的對偶問題是

通常，通過求解對偶問題學習線性可分支援向量機，即首先求解對偶問題的最優值

，然後求最優值

和

，得出分離超平面和分類決策函數。

2．現實中訓練資料是線性可分的情形較少，訓練資料往往是近似線性可分的，這時使用線性支援向量機，或軟間隔支援向量機。線性支援向量機是最基本的支援向量機。

對于噪聲或例外，通過引入松弛變量

，使其“可分”，得到線性支援向量機學習的凸二次規劃問題，其原始最優化問題是

求解原始最優化問題的解

和

，得到線性支援向量機，其分離超平面為

分類決策函數為

線性可分支援向量機的解

唯一但

不唯一。對偶問題是

線性支援向量機的對偶學習算法，首先求解對偶問題得到最優解

，然後求原始問題最優解

和

，得出分離超平面和分類決策函數。

對偶問題的解

中滿

的執行個體點

稱為支援向量。支援向量可在間隔邊界上，也可在間隔邊界與分離超平面之間，或者在分離超平面誤分一側。最優分離超平面由支援向量完全決定。

線性支援向量機學習等價于最小化二階範數正則化的合頁函數

3．非線性支援向量機

對于輸入空間中的非線性分類問題，可以通過非線性變換将它轉化為某個高維特征空間中的線性分類問題，在高維特征空間中學習線性支援向量機。由于線上性支援向量機學習的對偶問題裡，目标函數和分類決策函數都隻涉及執行個體與執行個體之間的内積，是以不需要顯式地指定非線性變換，而是用核函數來替換當中的内積。核函數表示，通過一個非線性轉換後的兩個執行個體間的内積。具體地，

是一個核函數，或正定核，意味着存在一個從輸入空間 x 到特征空間的映射

，對任意

，有

對稱函數

，任意正整數

，對稱函數

對應的 Gram 矩陣是半正定的。

是以，線上性支援向量機學習的對偶問題中，用核函數

替代内積，求解得到的就是非線性支援向量機

4．SMO 算法

SMO 算法是支援向量機學習的一種快速算法，其特點是不斷地将原二次規劃問題分解為隻有兩個變量的二次規劃子問題，并對子問題進行解析求解，直到所有變量滿足 KKT 條件為止。這樣通過啟發式的方法得到原二次規劃問題的最優解。因為子問題有解析解，是以每次計算子問題都很快，雖然計算子問題次數很多，但在總體上還是高效的。

分離超平面：

點到直線距離：

為 2-範數：

直線為超平面，樣本可表示為：

margin：

函數間隔：

幾何間隔：

，當資料被正确分類時，幾何間隔就是點到超平面的距離

為了求幾何間隔最大，SVM 基本問題可以轉化為求解:(

為幾何間隔，(

為函數間隔)

分類點幾何間隔最大，同時被正确分類。但這個方程并非凸函數求解，是以要先 ① 将方程轉化為凸函數，② 用拉格朗日乘子法和 KKT 條件求解對偶問題。

① 轉化為凸函數：

先令

，友善計算（參照衡量，不影響評價結果）

再将

轉化成

求解凸函數，1/2 是為了求導之後友善計算。

② 用拉格朗日乘子法和 KKT 條件求解最優值：

整合成：

推導：

根據 KKT 條件：

代入

再把 max 問題轉成 min 問題：

以上為 SVM 對偶問題的對偶形式

kernel

在低維空間計算獲得高維空間的計算結果，也就是說計算結果滿足高維（滿足高維，才能說明高維下線性可分）。

soft margin & slack variable

引入松弛變量

，對應資料點允許偏離的 functional margin 的量。

目标函數：

對偶問題：

Sequential Minimal Optimization

首先定義特征到結果的輸出函數：

.

因為

有

參考資料：

[1] :Lagrange Multiplier and KKT[7]

[2] :推導 SVM[8]

[3] :機器學習算法實踐-支援向量機(SVM)算法原理[9]

[4] :Python 實作 SVM[10]

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import  train_test_split
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline      

# data
def create_data():
    iris = load_iris()
    df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
    df['label'] = iris.target
    df.columns = [
        'sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label'
    ]
    data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
    for i in range(len(data)):
        if data[i, -1] == 0:
            data[i, -1] = -1
    # print(data)
    return data[:, :2], data[:, -1]      

X, y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.25)      

plt.scatter(X[:50,0],X[:50,1], label='0')
plt.scatter(X[50:,0],X[50:,1], label='1')
plt.legend()      

class SVM:
    def __init__(self, max_iter=100, kernel='linear'):
        self.max_iter = max_iter
        self._kernel = kernel


    def init_args(self, features, labels):
        self.m, self.n = features.shape
        self.X = features
        self.Y = labels
        self.b = 0.0


        # 将Ei儲存在一個清單裡
        self.alpha = np.ones(self.m)
        self.E = [self._E(i) for i in range(self.m)]
        # 松弛變量
        self.C = 1.0


    def _KKT(self, i):
        y_g = self._g(i) * self.Y[i]
        if self.alpha[i] == 0:
            return y_g >= 1
        elif 0 < self.alpha[i] < self.C:
            return y_g == 1
        else:
            return y_g <= 1


    # g(x)預測值，輸入xi（X[i]）
    def _g(self, i):
        r = self.b
        for j in range(self.m):
            r += self.alpha[j] * self.Y[j] * self.kernel(self.X[i], self.X[j])
        return r


    # 核函數
    def kernel(self, x1, x2):
        if self._kernel == 'linear':
            return sum([x1[k] * x2[k] for k in range(self.n)])
        elif self._kernel == 'poly':
            return (sum([x1[k] * x2[k] for k in range(self.n)]) + 1)**2


        return 0


    # E（x）為g(x)對輸入x的預測值和y的差
    def _E(self, i):
        return self._g(i) - self.Y[i]


    def _init_alpha(self):
        # 外層循環首先周遊所有滿足0<a<C的樣本點，檢驗是否滿足KKT
        index_list = [i for i in range(self.m) if 0 < self.alpha[i] < self.C]
        # 否則周遊整個訓練集
        non_satisfy_list = [i for i in range(self.m) if i not in index_list]
        index_list.extend(non_satisfy_list)


        for i in index_list:
            if self._KKT(i):
                continue


            E1 = self.E[i]
            # 如果E2是+，選擇最小的；如果E2是負的，選擇最大的
            if E1 >= 0:
                j = min(range(self.m), key=lambda x: self.E[x])
            else:
                j = max(range(self.m), key=lambda x: self.E[x])
            return i, j


    def _compare(self, _alpha, L, H):
        if _alpha > H:
            return H
        elif _alpha < L:
            return L
        else:
            return _alpha


    def fit(self, features, labels):
        self.init_args(features, labels)


        for t in range(self.max_iter):
            # train
            i1, i2 = self._init_alpha()


            # 邊界
            if self.Y[i1] == self.Y[i2]:
                L = max(0, self.alpha[i1] + self.alpha[i2] - self.C)
                H = min(self.C, self.alpha[i1] + self.alpha[i2])
            else:
                L = max(0, self.alpha[i2] - self.alpha[i1])
                H = min(self.C, self.C + self.alpha[i2] - self.alpha[i1])


            E1 = self.E[i1]
            E2 = self.E[i2]
            # eta=K11+K22-2K12
            eta = self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) + self.kernel(
                self.X[i2],
                self.X[i2]) - 2 * self.kernel(self.X[i1], self.X[i2])
            if eta <= 0:
                # print('eta <= 0')
                continue


            alpha2_new_unc = self.alpha[i2] + self.Y[i2] * (
                E1 - E2) / eta  #此處有修改，根據書上應該是E1 - E2，書上130-131頁
            alpha2_new = self._compare(alpha2_new_unc, L, H)


            alpha1_new = self.alpha[i1] + self.Y[i1] * self.Y[i2] * (
                self.alpha[i2] - alpha2_new)


            b1_new = -E1 - self.Y[i1] * self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) * (
                alpha1_new - self.alpha[i1]) - self.Y[i2] * self.kernel(
                    self.X[i2],
                    self.X[i1]) * (alpha2_new - self.alpha[i2]) + self.b
            b2_new = -E2 - self.Y[i1] * self.kernel(self.X[i1], self.X[i2]) * (
                alpha1_new - self.alpha[i1]) - self.Y[i2] * self.kernel(
                    self.X[i2],
                    self.X[i2]) * (alpha2_new - self.alpha[i2]) + self.b


            if 0 < alpha1_new < self.C:
                b_new = b1_new
            elif 0 < alpha2_new < self.C:
                b_new = b2_new
            else:
                # 選擇中點
                b_new = (b1_new + b2_new) / 2


            # 更新參數
            self.alpha[i1] = alpha1_new
            self.alpha[i2] = alpha2_new
            self.b = b_new


            self.E[i1] = self._E(i1)
            self.E[i2] = self._E(i2)
        return 'train done!'


    def predict(self, data):
        r = self.b
        for i in range(self.m):
            r += self.alpha[i] * self.Y[i] * self.kernel(data, self.X[i])


        return 1 if r > 0 else -1


    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        for i in range(len(X_test)):
            result = self.predict(X_test[i])
            if result == y_test[i]:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)


    def _weight(self):
        # linear model
        yx = self.Y.reshape(-1, 1) * self.X
        self.w = np.dot(yx.T, self.alpha)
        return self.w      

svm = SVM(max_iter=200)      

svm.fit(X_train, y_train)      

'train done!'      

svm.score(X_test, y_test)      

0.92      

scikit-learn 執行個體

from sklearn.svm import SVC
clf = SVC()
clf.fit(X_train, y_train)      

SVC(C=1.0, cache_size=200, class_weight=None, coef0=0.0,
  decision_function_shape='ovr', degree=3, gamma='auto', kernel='rbf',
  max_iter=-1, probability=False, random_state=None, shrinking=True,
  tol=0.001, verbose=False)      

clf.score(X_test, y_test)      

0.96      

sklearn.svm.SVC

(C=1.0, kernel='rbf', degree=3, gamma='auto', coef0=0.0, shrinking=True, probability=False,tol=0.001, cache_size=200, class_weight=None, verbose=False, max_iter=-1, decision_function_shape=None,random_state=None)

參數：

• C：C-SVC 的懲罰參數 C?預設值是 1.0

C 越大，相當于懲罰松弛變量，希望松弛變量接近 0，即對誤分類的懲罰增大，趨向于對訓練集全分對的情況，這樣對訓練集測試時準确率很高，但泛化能力弱。C 值小，對誤分類的懲罰減小，允許容錯，将他們當成噪聲點，泛化能力較強。

• kernel ：核函數，預設是 rbf，可以是‘linear’, ‘poly’, ‘rbf’, ‘sigmoid’, ‘precomputed’

  – 線性：u'v

  – 多項式：(gamma*u'*v + coef0)^degree

  – RBF 函數：exp(-gamma|u-v|^2)

  – sigmoid：tanh(gamma*u'*v + coef0)

• degree ：多項式 poly 函數的次元，預設是 3，選擇其他核函數時會被忽略。
• gamma ：‘rbf’,‘poly’ 和‘sigmoid’的核函數參數。預設是’auto’，則會選擇 1/n_features
• coef0 ：核函數的常數項。對于‘poly’和 ‘sigmoid’有用。
• probability ：是否采用機率估計？.預設為 False
• shrinking ：是否采用 shrinking heuristic 方法，預設為 true
• tol ：停止訓練的誤內插補點大小，預設為 1e-3
• cache_size ：核函數 cache 緩存大小，預設為 200
• class_weight ：類别的權重，字典形式傳遞。設定第幾類的參數 C 為 weight*C(C-SVC 中的 C)
• verbose ：允許備援輸出？
• max_iter ：最大疊代次數。-1 為無限制。
• decision_function_shape ：‘ovo’, ‘ovr’ or None, default=None3
• random_state ：資料洗牌時的種子值，int 值

主要調節的參數有：C、kernel、degree、gamma、coef0。

參考資料

[1] 《統計學習方法》: https://baike.baidu.com/item/統計學習方法/10430179

[2] 黃海廣: https://github.com/fengdu78

[3] github: https://github.com/fengdu78/lihang-code

[4] wzyonggege: https://github.com/wzyonggege/statistical-learning-method

[5] WenDesi: https://github.com/WenDesi/lihang_book_algorithm

[6] 火燙火燙的

[7]:[Lagrange Multiplier and KK

[8]:[推導SVM

[9]:[機器學習算法實踐-支援向量機(SVM)算法原理: http://pytlab.org/2017/08/15/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%AE%9E%E8%B7%B5-%E6%94%AF%E6%8C%81%E5%90%91%E9%87%8F%E6%9C%BA-SVM-%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%8E%9F%E7%90%86/

[10] :[Python實作SVM