傅裡葉變換學習一

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傅裡葉變換（Fotrier transform）：線性的積分變換

• 連續傅裡葉變換： F(w)=F[f(t)]=∫∞−∞f(t)e−iwtdt

• 連續傅裡葉逆變換： f(t)=F−1[F(w)]=12π∫∞−∞F(w)eiwtdw

  其中， w 可表示為w=2πf

傅裡葉級數：連續傅裡葉變換是傅裡葉級數的推廣

• f(x)=∑∞n=−∞Fneinx

• Fn=a0+∑∞n=1[ancos(nx)+bnsin(nx)]

  an 、 bn 表示實頻率分量的幅度

離散時域傅裡葉變換（DTFT）：傅裡葉級數的逆變換，時域離散，頻域周期

離散傅裡葉變換（DFT）：時域、頻域均為離散，DTFT頻域的再次采樣

• xn=∑N−1k=0Xkei2πNknn=0,⋯,N−1

  其中， Xk 為傅裡葉幅度，計算複雜度為 O(n2) ，使用快速傅裡葉變換（FFT）複雜度為 O(nlog(n))

1. 傅裡葉變換的提出：

任何連續周期信号都可以由一組适當的正弦曲線組合來逼近。

對于有限長度離散的信号：（1）延拓為無限長信号，成為非周期性離散信号，使用DTFT；（2）延拓為無限長信号，成為周期性離散信号，使用DFT

計算機能處理的信号：離散的、有限長度資料，采用DFT處理

2. 實數離散傅裡葉變換（Real DFT）

​ 在計算機中，N個點可以表示周期為 0、1、2、3⋯N2 的餘弦信号和正弦信号。是以，對于一個長度為N的離散信号，可以表示為 (N2+1) 個正弦信号、 (N2+1) 個餘弦信号的和。

時域	頻域
x[0:N-1]	Re X[0: N2 ]、Im X[0: N2 ]
N個時間點對應的幅值信号	N2+1 個頻率對應的餘弦、正弦幅值信号

頻率種類固定，關鍵在于每個頻率幅度的估計

DFT頻率到時間的合成公式：

​ x[i]=∑N2k=0ReX^[k]cos(2πkiN)+∑N2k=0ImX^[k]sin(2πkiN)

其中， i 表示第i時刻

ReX^[k] 、 ImX^[k] 表示每 2N 頻譜範圍的幅度和，其中， k=0、N/2 表示每 1N 頻譜範圍的幅度和，而 ReX[k] 、 ImX[k] 表示整個（1個）頻譜範圍的幅度總和，是以滿足：

​ ReX^[k]=2ReX[k]N ， ReX^[0]=ReX[0]N ， ReX^[N/2]=ReX[N/2]N

​ ImX^[k]=−2ImX[k]N ， ImX^[0]=−ImX[0]N ， ImX^[N/2]=−ImX[N/2]N

其中， ReX[k] 、 ImX[k] 可利用相關性計算：

​ ReX[k]=∑N−1i=0x[i]cos(2πkiN)

ImX[k]=−∑N−1i=0x[i]sin(2πkiN)

由上，實作時域到頻域的變換。

3. 複數傅裡葉變換

根據Tayler展開，可推導得到歐拉等式：

Mejθ=Mcosθ+jMsinθ=a+jb

1）從時域到頻域的變換

• 頻率為 k 時的頻譜密度可以表示為：

​

ReX[k]=∑i=0N−1x[i]cos(2πkiN)

ImX[k]=−∑i=0N−1x[i]sin(2πkiN)

​ 将其表示為複數形式：

​

X[k]=∑i=0N−1x[i][cos(2πkiN)−jsin(2πkiN)]=∑i=0N−1x[i]e−j2πkiN

​ 其中， k 的取值範圍為0,1⋯N−1

​ 【注：與實數傅裡葉變換相異，實數傅裡葉變換頻譜範圍隻能取 0,1⋯N2 ，而複數傅裡葉變換可以取負的頻譜 −1⋯−N2 ，根據對稱性，可取 k 為0,1⋯N−1】

• 頻率為 k 時的頻譜幅度可以表示為：

  此時頻率k所占據頻譜範圍變成 22N ，可得頻譜幅度：

  X^[k]=1N∑i=0N−1x[i]e−j2πkiNk∈0,1⋯N−1

  ​

4. 逆向傅裡葉變換

​ 按照傅裡葉變換的思路，通過相關性計算時域的幅值，可推得以下表達式：

​

x[i]=∑k=0N−1X^[k][cos(2πkiN)+jsin(2πkiN)]=∑k=0N−1X^[k]ej2πkiNi∈0,1⋯N−1

​ 直覺上了解，将每個頻域該時刻的幅值相加即得該時刻的幅值。如何進行數學上推導？