傅里叶变换学习一

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傅里叶变换（Fotrier transform）：线性的积分变换

• 连续傅里叶变换： F(w)=F[f(t)]=∫∞−∞f(t)e−iwtdt

• 连续傅里叶逆变换： f(t)=F−1[F(w)]=12π∫∞−∞F(w)eiwtdw

  其中， w 可表示为w=2πf

傅里叶级数：连续傅里叶变换是傅里叶级数的推广

• f(x)=∑∞n=−∞Fneinx

• Fn=a0+∑∞n=1[ancos(nx)+bnsin(nx)]

  an 、 bn 表示实频率分量的幅度

离散时域傅里叶变换（DTFT）：傅里叶级数的逆变换，时域离散，频域周期

离散傅里叶变换（DFT）：时域、频域均为离散，DTFT频域的再次采样

• xn=∑N−1k=0Xkei2πNknn=0,⋯,N−1

  其中， Xk 为傅里叶幅度，计算复杂度为 O(n2) ，使用快速傅里叶变换（FFT）复杂度为 O(nlog(n))

1. 傅里叶变换的提出：

任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合来逼近。

对于有限长度离散的信号：（1）延拓为无限长信号，成为非周期性离散信号，使用DTFT；（2）延拓为无限长信号，成为周期性离散信号，使用DFT

计算机能处理的信号：离散的、有限长度数据，采用DFT处理

2. 实数离散傅里叶变换（Real DFT）

​ 在计算机中，N个点可以表示周期为 0、1、2、3⋯N2 的余弦信号和正弦信号。因此，对于一个长度为N的离散信号，可以表示为 (N2+1) 个正弦信号、 (N2+1) 个余弦信号的和。

时域	频域
x[0:N-1]	Re X[0: N2 ]、Im X[0: N2 ]
N个时间点对应的幅值信号	N2+1 个频率对应的余弦、正弦幅值信号

频率种类固定，关键在于每个频率幅度的估计

DFT频率到时间的合成公式：

​ x[i]=∑N2k=0ReX^[k]cos(2πkiN)+∑N2k=0ImX^[k]sin(2πkiN)

其中， i 表示第i时刻

ReX^[k] 、 ImX^[k] 表示每 2N 频谱范围的幅度和，其中， k=0、N/2 表示每 1N 频谱范围的幅度和，而 ReX[k] 、 ImX[k] 表示整个（1个）频谱范围的幅度总和，因此满足：

​ ReX^[k]=2ReX[k]N ， ReX^[0]=ReX[0]N ， ReX^[N/2]=ReX[N/2]N

​ ImX^[k]=−2ImX[k]N ， ImX^[0]=−ImX[0]N ， ImX^[N/2]=−ImX[N/2]N

其中， ReX[k] 、 ImX[k] 可利用相关性计算：

​ ReX[k]=∑N−1i=0x[i]cos(2πkiN)

ImX[k]=−∑N−1i=0x[i]sin(2πkiN)

由上，实现时域到频域的变换。

3. 复数傅里叶变换

根据Tayler展开，可推导得到欧拉等式：

Mejθ=Mcosθ+jMsinθ=a+jb

1）从时域到频域的变换

• 频率为 k 时的频谱密度可以表示为：

​

ReX[k]=∑i=0N−1x[i]cos(2πkiN)

ImX[k]=−∑i=0N−1x[i]sin(2πkiN)

​ 将其表示为复数形式：

​

X[k]=∑i=0N−1x[i][cos(2πkiN)−jsin(2πkiN)]=∑i=0N−1x[i]e−j2πkiN

​ 其中， k 的取值范围为0,1⋯N−1

​ 【注：与实数傅里叶变换相异，实数傅里叶变换频谱范围只能取 0,1⋯N2 ，而复数傅里叶变换可以取负的频谱 −1⋯−N2 ，根据对称性，可取 k 为0,1⋯N−1】

• 频率为 k 时的频谱幅度可以表示为：

  此时频率k所占据频谱范围变成 22N ，可得频谱幅度：

  X^[k]=1N∑i=0N−1x[i]e−j2πkiNk∈0,1⋯N−1

  ​

4. 逆向傅里叶变换

​ 按照傅里叶变换的思路，通过相关性计算时域的幅值，可推得以下表达式：

​

x[i]=∑k=0N−1X^[k][cos(2πkiN)+jsin(2πkiN)]=∑k=0N−1X^[k]ej2πkiNi∈0,1⋯N−1

​ 直观上理解，将每个频域该时刻的幅值相加即得该时刻的幅值。如何进行数学上推导？