正交坐标系以及梯度、散度和旋度

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直角坐标、極坐标、柱坐标和球坐标這幾種坐标系都是正交坐标系，證明似乎并不麻煩（沒證明過，想象了一下）；當我們将直角坐标系下的積分變換到其他坐标（或者更靈活一點，随便變來變去），并将其他坐标也畫成正交的形式（比如極坐标的r和Θ），那麼經過變換後的圖形是不一樣的。例如直角坐标下圓心在原點的圓弧變換到極坐标下就變成了線段（r固定）。由此可以想象，當進行積分運算的時候，大概就要對被積函數乘以一個因子，這個因子就是雅克比行列式的絕對值。

直角坐标下，梯度grad(f)=df/dxax+df/dyay+df/dzaz

df=df/dx·dx+df/dy·dy+df/dz·dz=grad(f)·dl

圓柱坐标下，可以用類似的方法得到梯度表達式：

df=df/dr·dr＋df/dφ·dφ＋df/dz·dz=grad(f)·dl

dl=drar+rdφaφ+dzaz

于是grad(f)就有了。

圓柱和球坐标下的散度和旋度：使用向量運算恒等式将散度和旋度轉換為梯度運算。見第一行。

梯度場的旋度為0；

旋度場的散度為0。

梯度場總是指向函數增長最快的方向。

旋度的散度為零，意味着一個散度場任意疊加上一個有旋場不會改變其散度，也就是說光憑矢量場的散度無法唯一地确定這個矢量場。而光憑矢量場的旋度也無法唯一地确定這個矢量，這是因為有旋場可以疊加上這麼一個矢量場而不改變其旋度，而這個矢量場是一個标量函數的梯度。

向量旋度并*不*表示向量“”形态”是否是“旋轉”的。例如，無限長直導線周圍*不*包含導線的區域形态似乎是“旋轉”的，但其旋度為0。（不過從另一個角度來說，隻要所取區域不包含導線，沿磁力線方向就沒辦法從起點旋轉回來。是以，具有旋轉形态但旋不回來的向量旋度為0？）

旋度是環量（矢量場繞閉合路徑的線積分）的度量。仍以無限長直導線周圍的磁場為例，空間任一點磁通密度沿周圍的無限小閉合路徑的線積分為0：設該閉合路徑垂直于z軸，四邊分别沿ρ和φ，那麼兩條沿ρ的邊積分為0，兩條沿φ的邊積分反向是以和為0。

在計算向量場的散度或旋度時，将x，y，z看做獨立變量：因為在向量場的表達式中它們就是獨立變量啊。

下面示範使用Matlab畫出一個向量場M=-y/(x2+y2)，N=x/(x2+y2)

>> [x,y]=meshgrid(1 : .1 : 2 , 1 : .1 : 2);

>> M=-y./(x.*x+y.*y);

>> N=x./(x.*x+y.*x);

>> quiver(x,y,M,N);

這是一個無旋場。

如果你想看有旋場，可以用下面這個向量：

M=-y

N=x