Lagrange插值函數及其Matlab代碼

一.為什麼要引進插值函數

在實際問題中，兩個變量的關系y=f(x)經常要 靠實驗和觀測來獲得，而在通常的情況下隻能得到f(x)在有限個點上的值

=

(

),  i=0,1,2,...,n

人們希望找到f(x)的一個近似函數y=

(x),使得

,i=0,1,2,...,n                                   (0.1)

此時，

稱為被插函數，點

稱為插值結點，

稱為插值函數，（0.1）稱為插值條件。

在處理插值問題的時候，首先根據需要選擇

是哪一類函數，如果選擇

為代數多項式就産生了代數插值問題。類似地，有三角多項式插值，有理函數插值和樣條函數插值等問題，本文主要考慮代數多項式插值問題。

二.Lagrange插值的定義

由于大家都學過推到過程，我就不一一推導了，直接上公式：

n次Lagrange插值多項式：

其中

是

次基函數               

這裡着重講一下一次Lagrange插值和二次Lagrange插值，又分别稱為線性Lagrange插值和抛物線性Lagrange插值。

例如我們通過實驗或觀測已知如下表所示的資料，要求構造一個抛物線插值函數。

抛物線插值問題

X
Y

直接帶入公式可得：

                                                                                               （1）

                        其中     

Lagrange插值多項式不必死記硬背，其基函數

隻有在x=

時，基函數才為1，在x等于其他點時，

=0.記住這個特性，基函數公式就特别簡單推到了。

三.Lagrange插值多項式的應用

光說不練都是假把戲，接題：

已知

，求

設

=100，

=10，

=121，

=11，

=144，

=12

代入（1）得                

将（2）整理下，然後将x=115代入得y=10.7228，可以驗證同精度比較，該結果具有4位有效數字。

四.Lagrange插值多項式的Matlab程式

function s=LagrangeInter(x,y,x0)
%% LagrangeInter：求拉格朗日插值多項式函數
% x為節點X坐标向量
% y為節點Y坐标向量
% x0為待計算點的x坐标

syms p;
n=length(x);             %讀取x向量維數                             
s=0;
for i=1:n
    Li=y(i); 
%構造基函數
    for j=1:i-1
        Li=Li*(p-x(j))/(x(i)-x(j));      
    end
    for j=i+1:n
        Li=Li*(p-x(j))/(x(i)-x(j));    
    end
    s=s+Li;                        
    simplify(s);                       
end
%對輸入參數個數做判斷，如果隻有兩個參數直接給出插值多項式
%如果三個參數  則給出插值點的插值結果,第三個參數可以為向量
if(nargin==2)
  s=subs(s,'p','x');  
  s=collect(s);        %展開多項式
%  s=vpa(s,4);          %把系數取到6位精度表達         
else
    s = subs(s,'p',x0);
    %   m=length(x0);     %讀取t長度
%分别對t的每一個分量插值 
%   for i=1:m
%      temp(i)=subs(s,'p',x0(i)); 
%   end  
%     s=temp;
end