從本質出發了解掌握三大坐标系下的三大方程（三）--旋度公式

對于很多數學和工程問題，我們常常需要使用到梯度、散度和旋度方程，而有的時候，在使用這些方程時，我們卻對它們其中的數學、實體意義不甚清楚，結果便是看着很多在此基礎上建立的公式而一頭霧水。這篇文章便從這三大方程的本質入手，推導它們在三大經典坐标系下的形式，揭露其”廬山真面目“！

文章目錄

• 旋度公式
• • 旋度的了解
  • 笛卡爾坐标系下的旋度公式
  • 柱面坐标系下的旋度公式
  • 球面坐标系下的旋度公式
  • 感謝閱讀！
  • 參考文獻

旋度公式

旋度的了解

​ 旋度，單從字面上不難看出，它是個描述旋轉劇烈程度的量，大自然中有很多旋轉的現象，例如水的漩渦、地球的自轉等，是以我們需要有個來描述這些旋轉現象劇烈程度的"工具"，于是，旋度就被先輩們提出來了。那麼，接下來的問題是，我們該如何定義某個實體量（必須是向量，理由見下文）的旋度呢？這便是我們接下來需要讨論的問題。

​ 我相信，在閱讀本篇文章的讀者應該對環量不會陌生（如果您現在不清楚環量的概念，或者已經忘記環量的概念，筆者強烈建議您先去學習環量的概念後再閱讀此文），所謂環量，直白地講就是對空間中一條封閉的曲線做第二類曲線積分，環量代表着某一實體量在該曲線上的集度，因為是第二類曲線積分，是以很明顯被積的實體量得是向量。舉個簡單的例子，你晨跑時繞着操場跑了一圈，這裡，操場便能被看成一條封閉曲線，而你繞着跑一圈的過程中，速度在操場上的投影繞操場的積分就是速度環量。這個繞操場跑的事件，我們可以看成是繞操場某一中心點旋轉的過程，想象一下，如果有兩個人在同一操場上的同一條跑道上用時不同地跑完了一圈，誰的速度環量大呢？答案很明顯，那個用時短的人速度環量大，因為積分的路徑不變，速度提高了，速度積分自然也就增大了。我們也可以想象到跑的快的人繞操場的"旋轉"越快。從這個例子出發，我們很自然地能類推出在其它一些實體現象中，如果積分路徑相同，環量大的自然旋轉越劇烈。那麼，如果我們需要描述空間中的某個點所在區域上的旋轉劇烈程度呢？很簡單，點可以看成是個面積無窮小的曲面，我們隻需要把積分曲線無限縮小，最終趨于一個點，我們把這時獲得的實體向量的環量除以該封閉積分曲線所包圍曲面的面積（無窮小），定義為某一實體向量在該點處的環量密度，也就是旋度，旋度的大小就可以代表出該點所在區域的旋轉劇烈程度。

圖1.繞操場跑圈

笛卡爾坐标系下的旋度公式

​ 我們現在已經知道了旋度是咋計算的，接下來就來推導一下它在三大坐标系下的公式吧。老規矩，先來推導最經典的笛卡爾坐标系下的旋度公式。

圖2.笛卡爾坐标系

​ 上圖中，在D點處有個 ω \boldsymbol \omega ω的角速度，我們知道，角速度也是個矢量，是以我們可以将它分解到 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z軸上，我們先來看繞 x x x軸的旋轉。假設該空間中有個實體向量 A \boldsymbol A A，其繞DCGH的環量我們分開來看，DC上，我們發現實體向量 A \boldsymbol A A随着y的改變也是變化的，但因為我們現在已經把DCGH縮小到無限小，于是我們可以認為實體向量 A \boldsymbol A A沿着DC是單調變化的，我們可以得到以下不等式：

A y ( x , y , z ) d y ⩽ ∫ D C A y d y ⩽ A y ( x , y + d y , z ) d y A_y(x,y,z)dy \leqslant \int_{D}^{C}A_ydy\leqslant A_y(x,y+dy,z)dy Ay​(x,y,z)dy⩽∫DC​Ay​dy⩽Ay​(x,y+dy,z)dy

根據夾逼準則，因為 d y dy dy趨于無窮小，是以最終得

∫ D C A y d y = A y ( D 點 處 的 值 ) d y = A y ( x , y , z ) d y \int_{D}^{C}A_ydy=A_y(D點處的值)dy=A_y(x,y,z)dy ∫DC​Ay​dy=Ay​(D點處的值)dy=Ay​(x,y,z)dy

同理，我們來算CG上（僅z變化）的積分：

∫ C G A z d z = A z ( C 點 處 的 值 ) d z = A z ( x , y + d y , z ) d z \int_{C}^{G}A_zdz=A_z(C點處的值)dz=A_z(x,y+dy,z)dz ∫CG​Az​dz=Az​(C點處的值)dz=Az​(x,y+dy,z)dz

GH上（僅y變化）的積分：

∫ G H A y d y = − A y ( H 點 處 的 值 ) d y = − A y ( x , y , z + d z ) d y \int_{G}^{H}A_ydy=-A_y(H點處的值)dy=-A_y(x,y,z+dz)dy ∫GH​Ay​dy=−Ay​(H點處的值)dy=−Ay​(x,y,z+dz)dy

HD上（僅z變化）的積分：

∫ H D A z d z = − A z ( D 點 處 的 值 ) d z = − A z ( x , y , z ) d z \int_{H}^{D}A_zdz=-A_z(D點處的值)dz=-A_z(x,y,z)dz ∫HD​Az​dz=−Az​(D點處的值)dz=−Az​(x,y,z)dz

是以， A \boldsymbol A A在DCGH上的積分為：

∮ D C H G A ⋅ d l = A y ( x , y , z ) d y + A z ( x , y + d y , z ) d z − A y ( x , y , z + d z ) d y − A z ( x , y , z ) d z \oint_{DCHG}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l=A_y(x,y,z)dy+A_z(x,y+dy,z)dz-A_y(x,y,z+dz)dy-A_z(x,y,z)dz ∮DCHG​A⋅dl=Ay​(x,y,z)dy+Az​(x,y+dy,z)dz−Ay​(x,y,z+dz)dy−Az​(x,y,z)dz

并且易得DCHG的面積為 d y d z dydz dydz，我們将式6除以這個面積即可得到繞 x x x軸旋轉引起的旋度：

∮ D C H G A ⋅ d l d y d z = d A z d y − d A y d z \frac{\oint_{DCHG}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dydz}=\frac{dA_z}{dy}-\frac{dA_y}{dz} dydz∮DCHG​A⋅dl​=dydAz​​−dzdAy​​

同理我們可以得到繞y軸旋轉引起的旋度：

∮ D H E A A ⋅ d l d z d x = d A x d z − d A z d x \frac{\oint_{DHEA}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dzdx}=\frac{dA_x}{dz}-\frac{dA_z}{dx} dzdx∮DHEA​A⋅dl​=dzdAx​​−dxdAz​​

繞z軸旋轉引起的旋度：

∮ D A B C A ⋅ d l d x d y = d A y d x − d A x d y \frac{\oint_{DABC}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dxdy}=\frac{dA_y}{dx}-\frac{dA_x}{dy} dxdy∮DABC​A⋅dl​=dxdAy​​−dydAx​​

将式7，8，9相加起來，我們即得到D點處的旋度：

c u r l    A = ( d A z d y − d A y d z ) i + ( d A x d z − d A z d x ) j + ( d A y d x − d A x d y ) k curl\;\boldsymbol A=(\frac{dA_z}{dy}-\frac{dA_y}{dz})\boldsymbol i+(\frac{dA_x}{dz}-\frac{dA_z}{dx})\boldsymbol j+(\frac{dA_y}{dx}-\frac{dA_x}{dy})\boldsymbol k curlA=(dydAz​​−dzdAy​​)i+(dzdAx​​−dxdAz​​)j+(dxdAy​​−dydAx​​)k

柱面坐标系下的旋度公式

圖3. 柱面坐标系

​ 柱面坐标系下旋度公式的推導過程和笛卡爾坐标系下的旋度公式相同。我們同樣來考察D點處的旋度，将角速度分解到 e ρ 、 e ϕ 、 e z \boldsymbol e_\rho、\boldsymbol e_\phi、\boldsymbol e_z eρ​、eϕ​、ez​方向上，這裡我們以推導繞 ρ \rho ρ軸旋轉引起的旋度為例：

沿DC上的積分：

∫ D C A ϕ ρ d ϕ = A ϕ ( D 點 處 的 值 ) ρ d ϕ = A ϕ ( ρ , ϕ , z ) ρ d ϕ \int_{D}^{C}A_\phi \rho d\phi=A_\phi(D點處的值)\rho d\phi=A_\phi(\rho,\phi,z) \rho d\phi ∫DC​Aϕ​ρdϕ=Aϕ​(D點處的值)ρdϕ=Aϕ​(ρ,ϕ,z)ρdϕ

沿CG上的積分：

∫ C G A z d z = A z ( C 點 處 的 值 ) d z = A z ( ρ , ϕ + d ϕ , z ) d z \int_{C}^{G}A_zdz=A_z(C點處的值)dz=A_z(\rho,\phi+d\phi,z)dz ∫CG​Az​dz=Az​(C點處的值)dz=Az​(ρ,ϕ+dϕ,z)dz

沿GH上的積分：

∫ G H A ϕ ρ d ϕ = − A ϕ ( H 點 處 的 值 ) ρ d ϕ = − A ϕ ( ρ , ϕ , z + d z ) ρ d ϕ \int_{G}^{H}A_\phi \rho d\phi=-A_\phi(H點處的值)\rho d\phi=-A_\phi(\rho,\phi,z+dz) \rho d\phi ∫GH​Aϕ​ρdϕ=−Aϕ​(H點處的值)ρdϕ=−Aϕ​(ρ,ϕ,z+dz)ρdϕ

沿HD上的積分：

∫ H D A z d z = − A z ( D 點 處 的 值 ) d z = − A z ( ρ , ϕ , z ) d z \int_{H}^{D}A_zdz=-A_z(D點處的值)dz=-A_z(\rho,\phi,z)dz ∫HD​Az​dz=−Az​(D點處的值)dz=−Az​(ρ,ϕ,z)dz

又因為DCHG圍成的面積等于 ρ d ϕ d z \rho d\phi dz ρdϕdz，于是得繞 ρ \rho ρ軸旋轉引起的旋度為：

∮ D C H G A ⋅ d l ρ d ϕ d z = d A z ρ d ϕ − d A ϕ d z \frac{\oint_{DCHG}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{\rho d\phi dz}=\frac{dA_z}{\rho d\phi}-\frac{dA_\phi}{dz} ρdϕdz∮DCHG​A⋅dl​=ρdϕdAz​​−dzdAϕ​​

同理，繞 ϕ \phi ϕ軸引起的旋度為：

∮ D H E A A ⋅ d l d z d ρ = d A ρ d z − d A z d ρ \frac{\oint_{DHEA}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dz d\rho}=\frac{dA_\rho}{dz}-\frac{dA_z}{d\rho} dzdρ∮DHEA​A⋅dl​=dzdAρ​​−dρdAz​​

繞z軸引起的旋度為:

∮ D A B C A ⋅ d l ρ d ρ d ϕ = d ( ρ A ϕ ) ρ d ρ − d A ρ ρ d ϕ \frac{\oint_{DABC}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{\rho d\rho d\phi}=\frac{d(\rho A_\phi)}{\rho d\rho}-\frac{dA_\rho}{\rho d\phi} ρdρdϕ∮DABC​A⋅dl​=ρdρd(ρAϕ​)​−ρdϕdAρ​​

最終我們得到柱面坐标系下的D點處的旋度公式：

c u r l    A = ( d A z ρ d ϕ − d A ϕ d z ) e ρ + ( d A ρ d z − d A z d ρ ) e ϕ + ( d ( ρ A ϕ ) ρ d ρ − d A r h o ρ d ϕ ) e z curl\; \boldsymbol A=(\frac{dA_z}{\rho d\phi}-\frac{dA_\phi}{dz})\boldsymbol e_\rho+(\frac{dA_\rho}{dz}-\frac{dA_z}{d\rho})\boldsymbol e_\phi+(\frac{d(\rho A_\phi)}{\rho d\rho}-\frac{dA_rho}{\rho d\phi})\boldsymbol e_z curlA=(ρdϕdAz​​−dzdAϕ​​)eρ​+(dzdAρ​​−dρdAz​​)eϕ​+(ρdρd(ρAϕ​)​−ρdϕdAr​ho​)ez​

球面坐标系下的旋度公式

​ 有了笛卡爾坐标系和柱面坐标系的推導經驗，我相信你現在可以推導球面坐标系下的旋度公式了，拿出紙筆動動手吧，如果在推導過程中有啥問題，可以在評論區留言哦！這裡我們直接給出球面坐标系下的旋度公式，推導完成後你可以校對一下哦😀：

圖4. 球面坐标系

球面坐标系下的旋度公式為：

感謝閱讀！

​ 與諸君共前行！

參考文獻

1. Del in cylindrical and spherical coordinates - 維基百科(https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates)
2. 高等數學（西工大版本）